总复习：长方体和正方体
【知识精要】
1、长方体（或正方体）棱长总和就是长方体（或正方体）12条棱的总长度。
长方体（或正方体）表面积就是长方体（或正方体）6个面的总面积。
长方体（或正方体）体积就是长方体（或正方体）所占空间的大小；容积是长方体（或正方体）内部空间的
大小（单位是毫升、升等体积单位）。
2、正方体、长方体都有6个面8个顶点12条棱；
正方体6个面、12条棱都相等；
长方体对面相等，一般是长方形，特殊的是正方形，长方体如果有2个面是正方形，那么另外4个面的面积相等；
长方体4条长、4条高、4条宽相等。
如果正方体的棱长扩大n倍，则表面积扩大n×n倍，体积扩大n×n×n倍。
如果将一个长方体（或正方体）切成2个长方体（或正方体），则增加2个面，如果将2个长方体（或正方体）拼成1个长方体（或正方体）则减少2个面。
3、计算公式：
正方体棱长总和=棱长×12
正方体表面积=棱长×棱长×6
正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×棱长
长方体棱长总和=（长+宽+高）×4
长方体表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2
长方体体积=长×宽×高=底面积×高=横截面×长
【热身练习】
选择题
1、如果把一个棱长是10厘米的正方体切成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和比原来的正方体表面积（
）。
A.增加了20平方厘米
B.减少了
200平方厘米
C.增加了200立方厘米
D.都不对
2、大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长之和是小正方体的（
）
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.8倍
3、把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和
（
）。
A.等于大正方体的表面积
B.等于大正方体表面积的2倍
C.等于大正方体表面积的3倍
D.等于大正方体表面积的4倍
填空题
1、一个正方体的底面周长是24，正方体的表面积是（
）。
2、需要（
）个棱长为3厘米的正方体，才能组成一个棱长为9厘米的正方体。
3、下图中能围成正方体的是（
）号图形。
①
②
③
④
三、计算表面积（单位：厘米）
1、将4个棱长都是2厘米的正方体如下图摆放，露在外面的面积是多少？
2、
2
6
5
【精解名题】
例1、一个长方体的长宽高分别是6、5、4厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体的表面积的和最大是多少平方厘米？
例2、一个正方体的表面涂满了红色，然后切成大小相同的27个小正方体。
⑴、三个面有红色的有几个？
⑵二个面有红色的有几个？
⑶一个面有红色的有几个？
⑷六个面都没有红色的有几个？
例3、一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，它的体积增加352立方厘米。原长方体的表面积是多少平方厘米？原长方体的体积是多少立方厘米？
【备选例题】
例1、一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面是正方形且边长15厘米的长方体铁块。这时容器里的水深0.5米。如果把铁块取出，容器里的水深是多少厘米？
例2、有大中小三个长方形水池，它们的池口都是正方形，边长分别为6分米，3分米和2分米。现在把两堆碎石分别沉入中小两个水池内。这两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果把这两堆碎石都沉入大池内，那么，大池的水面将升高多少厘米？（保留两位小数）
例3、有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米。乙缸长4分米，宽2分米，里面的水深1.5分米。现把乙缸的水倒进甲缸，水在甲缸比在乙缸深多少分米？
【巩固练习】
一、填空。
1、正方体是由（??
）个完全相同的（?
）围成的立体图形，正方体有（??
）条棱，它们的长度都（??
），正方体有（?
?
）个顶点。
2、相交于一个顶点的（??
）条棱，分别叫做长方体的（??
）、（??
）、（??
）。
3、一个长方体的棱长总和是80厘米，长10厘米，宽是7厘米。高是（??
）厘米。
4、至少需要（??
）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架。
5、一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就增加（
）倍。
6、一个长方体最多可以有（
）个面是正方形，最多可以有（
）条棱长度相等。
7、一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长、宽、高分别是6分米、4分米、2分米，正方体的体积是
。
8、把一个长方体的长平均分成4段后锯开，每锯一次损耗厘米，每段长6厘米。若表面积增加了24平方厘米，则原来长方体的体积是
立方厘米。
9、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，变成一个正方体。若表面积减少了120平方厘米，则原长方体的体积是
立方厘米。
10、一个长方体纸盒，展开其侧面可拼得一个边长为32分米的正方形。这个纸盒的最大体积是
11、3个长方体鱼缸，它们的三个棱长都是4分米、5分米、6分米，且以不同的棱长组合鱼缸的底，每个鱼缸都装上2分米高的水，但它们含水的体积不同。如果把其中一个鱼缸中的水倒入另一个鱼缸中，且要求使水面最高，那么水高是
分米，这时鱼缸中水的体积是
升。
计算
1、一个带盖的长方体木箱,体积是0.576立方米,它的长是12分米,宽是8分米,做这样一个木箱至少要用木板多少平方米?
2、有大、中、小三个长方体水池，它们的口都是正方形分别是5分米、3分米、2分米，现在把两块石头分别放入中、小水池内，这两个水池的水面分别升高6厘米，如果这两块石头都沉入大水池中，那么大水池的水面将升高多少厘米？
3、把一个正方体和一个等底面积的长方体拼成一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原俩正方体的表面积是多少平方厘米？
4、一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？
5、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水，如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？
6、长方体不同的三个面的面积分别为10、15和6平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？
7、一个游泳池长50米，宽25米，平均水深2米，它有5个进水管，每个管里每小时进水50吨。当5个水管同时进水时，需多少小时可放满池水的？（1立方米的水重1吨）
【自我测试】
一、填空
1、一个长方体的棱长总和是48cm，宽是2cm，长是宽的2倍，它的表面积是（????
）。
2、一个长方体方木，长2m，宽和厚都是30cm，把它的长截成2段，表面积增加（?????
）。
3、长方体中最多可以有（??
）条棱的长度相等，最少有（???
）条棱的长度相等。
4、两个完全相同的长方体，长10cm，宽7cm，高4cm，拼成一个表面积最大的长方体后，表面积是（??????
），比原来减少了（???
）；如果拼成一个表面积最小的长方体，表面积是（??????
），比原来减少了（???
）。
5、一个正方体的棱长总和是48厘米，它的表面积是（???????
）分米。
二、选择
1、一个棱长是1分米的正方体木块，横截成三个体积相等的小长方体后，表面积增加了（???
）
A、2平方分米?
B、4平方分米?
C、6平方分米
大正方体棱长是小正方体棱长的3倍，大正方体的表面积是小正方体表面积的（????
）倍。
A、3????
B、6
???C、9
一个正方体表面积是150平方厘米，把它平均分成两个长方体，每个长方体的表面积是（??
）
A、75平方厘米?
B、100平方厘米?
C、90平方厘米
4、一个长方体有四个面的面积相等，则其余两个面是（???
）
A、长方形???
B、正方形???
C、不一定
5、挖一个长8米、宽6米、深4.5米的长方体水池，这个水池的占地面积至少是（???
）
A、48平方米?
B、44平方米?
C、36平方米?
D、222平方米
计算
1、有三块完全一样的长方体木块，每块长8厘米，宽5厘米，高3厘米。要把它们粘成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是多少平方厘米？最少是多少平方厘米？
2、有一个正方体容器，边长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溢出多少立方厘米的水？
3、有两个水池，甲水池长8分米，宽6分米，水深3分米，乙水池空着，它长、宽、高都是4分米。现将从甲水池中抽出一部分水到乙水池，使两水池的水面同样高。求水面的高度。
4、一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它的上面尽可能地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
5、某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织带（如图所示），在三个方向上加固，所用尼龙编织带分别为365厘米、405厘米、485厘米。若每个尼龙带加固时接头重叠都是5厘米，问这个长方体包装的体积是多少立方米？
5
4
长
宽
高
PAGE总复习四：长方体和正方体
【知识精要】
1、长方体（或正方体）棱长总和就是长方体（或正方体）12条棱的总长度。
长方体（或正方体）表面积就是长方体（或正方体）6个面的总面积。
长方体（或正方体）体积就是长方体（或正方体）所占空间的大小；容积是长方体（或正方体）内部空间的
大小（单位是毫升、升等体积单位）。
2、正方体、长方体都有6个面8个顶点12条棱；
正方体6个面、12条棱都相等；
长方体对面相等，一般是长方形，特殊的是正方形，长方体如果有2个面是正方形，那么另外4个面的面积相等；
长方体4条长、4条高、4条宽相等。
如果正方体的棱长扩大n倍，则表面积扩大n×n倍，体积扩大n×n×n倍。
如果将一个长方体（或正方体）切成2个长方体（或正方体），则增加2个面，如果将2个长方体（或正方体）拼成1个长方体（或正方体）则减少2个面。
3、计算公式：
正方体棱长总和=棱长×12
正方体表面积=棱长×棱长×6
正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×棱长
长方体棱长总和=（长+宽+高）×4
长方体表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2
长方体体积=长×宽×高=底面积×高=横截面×长
【热身练习】
选择题
1、如果把一个棱长是10厘米的正方体切成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和比原来的正方体表面积（
D
）。
A.增加了20平方厘米
B.减少了
200平方厘米
C.增加了200立方厘米
D.都不对
2、大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长之和是小正方体的（
A
）
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.8倍
3、把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和
（
B
）。
A.等于大正方体的表面积
B.等于大正方体表面积的2倍
C.等于大正方体表面积的3倍
D.等于大正方体表面积的4倍
填空题
1、一个正方体的底面周长是24，正方体的表面积是（216
）。
2、需要（
27
）个棱长为3厘米的正方体，才能组成一个棱长为9厘米的正方体。
3、下图中能围成正方体的是（
③④
）号图形。
①
②
③
④
三、计算表面积（单位：厘米）
1、将4个棱长都是2厘米的正方体如下图摆放，露在外面的面积是多少？
解：14个面，14×4=56平方厘米
2、
2
6
5
2（24+12+8）=88平方厘米
a
(50+20a)平方厘米
【精解名题】
例1、一个长方体的长宽高分别是6、5、4厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体的表面积的和最大是多少平方厘米？
思路：这个长方体的原表面积为148平方厘米，每切割一刀，增加两个面，切成三个体积相等的小长方体要切2刀。一共增加4个面。要求增加面积最大，应增加4个30平方厘米的面。所以三个小长方体的表面积和最大是148＋6×5×4＝268（平方厘米）。
例2、一个正方体的表面涂满了红色，然后切成大小相同的27个小正方体。
⑴、三个面有红色的有几个？
⑵二个面有红色的有几个？
⑶一个面有红色的有几个？
⑷六个面都没有红色的有几个？
思路：三面有红色的正方体都在顶点处，所以有8个。两面有红色的小正方体都在棱上，所以有12个。只有一个面有红色的在六个面上，所以有6个，六个面都没有红色的在大正方体的中间，所以只有1个。
例3、一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，它的体积增加352立方厘米。原长方体的表面积是多少平方厘米？原长方体的体积是多少立方厘米？
解：设长宽高分别为a,b,h，则有题意，2bh=48;
3ah=99;
4ab=352,分别求出bh,
ah
,ab。表面积为2（ab+ah+bh）=290平方厘米。体积是abahbh=(abh)(abh)=3×8×11×3×8×11=264×264
所以，体积是264立方厘米。
【备选例题】
例1、一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面是正方形且边长15厘米的长方体铁块。这时容器里的水深0.5米。如果把铁块取出，容器里的水深是多少厘米？
思路：这里告诉的铁块高度是一个无用的条件，首先计算使水面升高的铁块的体积是：15×15×（0.5×100）＝11250（立方厘米），这时可计算铁块使水面升高的高度：11250÷（60×60）＝3.125（厘米）。则取出铁块后水的高度为50－3.125＝46.875（厘米）。
例2、有大中小三个长方形水池，它们的池口都是正方形，边长分别为6分米，3分米和2分米。现在把两堆碎石分别沉入中小两个水池内。这两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果把这两堆碎石都沉入大池内，那么，大池的水面将升高多少厘米？（保留两位小数）
解：根据商不变性质，（6×9+4×4）÷36=1.94厘米
例3、有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米。乙缸长4分米，宽2分米，里面的水深1.5分米。现把乙缸的水倒进甲缸，水在甲缸比在乙缸深多少分米？
解：1.5×4×2÷6=2分米。2-1.5=0.5分米
【巩固练习】
一、填空。
1、正方体是由（?6?
）个完全相同的（?正方形?
）围成的立体图形，正方体有（??12
）条棱，它们的长度都（?相等?
），正方体有（?8
?
）个顶点。
2、相交于一个顶点的（?3?
）条棱，分别叫做长方体的（?长?
）、（宽??
）、（?高?
）。
3、一个长方体的棱长总和是80厘米，长10厘米，宽是7厘米。高是（?3?
）厘米。
4、至少需要（?48?
）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架。
5、一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就增加（
63
）倍。
6、一个长方体最多可以有（
2
）个面是正方形，最多可以有（
8
）条棱长度相等。
7、一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长、宽、高分别是6分米、4分米、2分米，正方体的体积是
64立方分米
。
8、把一个长方体的长平均分成4段后锯开，每锯一次损耗厘米，每段长6厘米。若表面积增加了24平方厘米，则原来长方体的体积是
100
立方厘米。
9、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，变成一个正方体。若表面积减少了120平方厘米，则原长方体的体积是
396
立方厘米。
10、一个长方体纸盒，展开其侧面可拼得一个边长为32分米的正方形。这个纸盒的最大体积是2048立方分米
11、3个长方体鱼缸，它们的三个棱长都是4分米、5分米、6分米，且以不同的棱长组合鱼缸的底，每个鱼缸都装上2分米高的水，但它们含水的体积不同。如果把其中一个鱼缸中的水倒入另一个鱼缸中，且要求使水面最高，那么水高是
5
分米，这时鱼缸中水的体积是
100
升。
计算
1、一个带盖的长方体木箱,体积是0.576立方米,它的长是12分米,宽是8分米,做这样一个木箱至少要用木板多少平方米?
解：576÷96=6分米，2（72+48+96）=432平方分米，4.32平方米
2、有大、中、小三个长方体水池，它们的口都是正方形分别是5分米、3分米、2分米，现在把两块石头分别放入中、小水池内，这两个水池的水面分别升高6厘米，如果这两块石头都沉入大水池中，那么大水池的水面将升高多少厘米？
解：根据商不变性质，6（9+4）÷25=3.12厘米
3、把一个正方体和一个等底面积的长方体拼成一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原俩正方体的表面积是多少平方厘米？
思路：把一个正方体和一个等底面积的长方体拼成一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了4个正方形的面积，每块正方形的面积是50÷4＝12.5（平方厘米），那么正方体的表面积是12.5×6＝75（平方厘米）
4、一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？
解：减少的就是正方体的4个面，4×12×12=576平方厘米
5、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水，如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？
思路：铁块的体积为9立方分米，沉入水中后，水上升的体积就是9立方分米，用这个体积除以水箱底面积就能得到水上升的高度。则30厘米＝3分米；3×3×3÷（15×12）＋10＝10.15（分米）
6、长方体不同的三个面的面积分别为10、15和6平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？
思路：长方体不同的三个面的面积分别为长×宽、长×高和宽×高。因此，15×10×6＝（长×宽×高）×（长×宽×高），而15×10×6＝900＝30×30。所以，这个长方体的体积是30立方厘米。
7、一个游泳池长50米，宽25米，平均水深2米，它有5个进水管，每个管里每小时进水50吨。当5个水管同时进水时，需多少小时可放满池水的？（1立方米的水重1吨）
解：50×25÷250=5小时
【自我测试】
一、填空
1、一个长方体的棱长总和是48cm，宽是2cm，长是宽的2倍，它的表面积是（?88cm2???
）。
2、一个长方体方木，长2m，宽和厚都是30cm，把它的长截成2段，表面积增加（?18平方分米????
）。
3、长方体中最多可以有（?8?
）条棱的长度相等，最少有（?4??
）条棱的长度相等。
4、两个完全相同的长方体，长10cm，宽7cm，高4cm，拼成一个表面积最大的长方体后，表面积是（?220cm2?????
），比原来减少了（?56cm2???
）；如果拼成一个表面积最小的长方体，表面积是（?136cm2?????
），比原来减少了（??140cm2???
）。
5、一个正方体的棱长总和是48厘米，它的表面积是（???0.96?????
）分米。
二、选择
1、一个棱长是1分米的正方体木块，横截成三个体积相等的小长方体后，表面积增加了（??B?
）
A、2平方分米?
B、4平方分米?
C、6平方分米
大正方体棱长是小正方体棱长的3倍，大正方体的表面积是小正方体表面积的（?C????
）倍。
A、3????
B、6
???C、9
一个正方体表面积是150平方厘米，把它平均分成两个长方体，每个长方体的表面积是（B??
）
A、75平方厘米?
B、100平方厘米?
C、90平方厘米
4、一个长方体有四个面的面积相等，则其余两个面是（??B??
）
A、长方形???
B、正方形???
C、不一定
5、挖一个长8米、宽6米、深4.5米的长方体水池，这个水池的占地面积至少是（?A??
）
A、48平方米?
B、44平方米?
C、36平方米?
D、222平方米
计算
1、有三块完全一样的长方体木块，每块长8厘米，宽5厘米，高3厘米。要把它们粘成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是多少平方厘米？最少是多少平方厘米？
解：6（40+24+15）=474平方厘米，474-4×15=414平方厘米，474-4×40314平方厘米
2、有一个正方体容器，边长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溢出多少立方厘米的水？
解：12×25=300立方厘米
3、有两个水池，甲水池长8分米，宽6分米，水深3分米，乙水池空着，它长、宽、高都是4分米。现将从甲水池中抽出一部分水到乙水池，使两水池的水面同样高。求水面的高度。
解：8×6×3÷（48+16）=2.25分米
4、一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它的上面尽可能地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
解：体积是21×15×12-（12×12×12+9×9×9+6×6×6）=3780-（1728+729+216）=1107立方厘米
5、某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织带（如图所示），在三个方向上加固，所用尼龙编织带分别为365厘米、405厘米、485厘米。若每个尼龙带加固时接头重叠都是5厘米，问这个长方体包装的体积是多少立方米？
解：实际用尼龙带是，360、400、480不妨设2（长+宽）=480
；2（长+高）=400
；2（宽+高）=360
把三个式子相加，（长+宽+高）=310
；所以宽为110，长为130，高为70.体积=1.1×1.3×0.7=1.001立方米
5
4
长
宽
高
PAGE
