体积单位和长方体正方体的体积
【知识精要】
1．体积单位
(1)．体积概念：物体所占空间的大小叫做物体的体积
区别于面积：面积是指物体所占面的大小。
(2)．常用的体积单位有：立方厘米、立方分米、立方米
用字母表示是cm3
、dm3
、m3
棱长为1厘米的正方体，它的体积就是1立方厘米，记作1；
棱长为1分米的正方体，它的体积就是1立方分米，记作1；
棱长为1米的正方体，它的体积就是1立方米，记作1。
如：骰子、一节手指头等的体积接近1立方厘米
（3）各体积单位之间的关系
2．体积
体积：
长方体体积＝＝
正方体体积＝
棱长和：
长方体棱长和＝
总正方体棱长和＝
表面积：
长方体表面积＝
正方体表面积＝
A．长方体（非正方体）一般有（
）个面的面积相等，最多有（
）个面的面积相等；【当一对面为正方形时】
B．长方体（非正方体）一般有（
）条棱的长度相等，最多有（
）条棱的长度相等；【当一对面为正方形时】
长方体或正方体的拼、切过程，表面积变化：切一刀，增加2个面；拼一次，减少2个面；
若是一个长方体的高增加或减少多少，它就变成了一个正方体，这里隐含着一个条件：
这个长方体的下底面是个正方形，即长方体的长和宽相等
★★★一个棱长为a厘米的正方体，表面涂有彩色，切割成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体，一共有个，其中：
（1）三面带有彩色的小正方体有（
）个，和顶点有关；
（2）两面带有彩色的小正方体有
个，和棱有关，一条棱上
个；
（3）一面带有彩色的小正方体有
个，和面有关，一个面上有
个；
（4）一面也不带彩色的小正方体有【总数减去上面三种的总数】
个；
【热身练习】
（1）下面的两个长方体都是由棱长1厘米的正方体摆成的，体积各是多少立方厘米？
SHAPE
\
MERGEFORMAT
（2）下面的物体都是用棱长1厘米的小正方体拼成的，它们的体积各是多少？
1
（3）小明用几个1立方厘米的正方体木块摆了一个物体。下面是从不同的方向看到的图形。这个物体的体积是多少立方厘米？
正面
上面
侧面
（4）棱长为8厘米的正方体，表面涂满红色，把它切割成棱长为1厘米的小正方体，其中：
①三面带有红色的小正方体有
个；
②两面带有红色的小正方体有
个；
③一面带有红色的小正方体有
个；
④一面也不带红色的小正方体有
个；
【精解名题】
例1、求下面几何体的体积（单位：cm）
例2、有甲.乙.丙三个正方体水池。它们的内边长分别为40dm.30dm.20dm,在乙.丙水池中分别铺上碎石，两个水池的水面分别升高了6cm和6.5cm.
如果将这些碎石铺在甲水池中，甲水池水面将升高多少分米？
例3、将棱长和分别为36厘米、48厘米和60厘米的3个铁质正方体熔铸成一个大正方体，求这个大正方体的体积。
例4、一个长方体和一个正方体的棱长相等，已知长方体的长6分米，宽5分米，高4分米，那么正方体的棱长是多少分米？它们的体积相等吗？如果不相等，分别是多少立方分米？若一物体能使正方体中液面高度上升3分米，那这物体能使长方体液面上升多高？
【备选例题】
1、用24个棱长是1厘米的小正方体摆成形状不同的长方体，可以有几种摆法？把各种摆法的长方体的长、宽、高分别记录下来。
2、
在一个边长为3cm的正方体木块的每面中心打一个相通的洞，洞口是边长1cm的正方形。每个面与正方体相对的面平行（如下图），挖洞后正方体木块的体积是多少？
3、商场促销活动中，某款月饼推出买三送一活动的促销装，把四盒包装成一大盒。每个小盒是一个长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，四盒可以怎样包装？你认为哪种方案比较合理？
4、在内侧棱长为8厘米的正方体容器里装满水后如图放置，这时流出的水正好能装满内侧棱长为4厘米的正方体容器，求图中AB的长度。
【巩固练习】
1、括号里填上合适的体积或容积单位
（1）一个火柴盒的体积大约是11（
）
（2）卡车车厢的体积大约是6（
）
（3）一个油桶能盛油120（
）
（4）一台电视机的体积大约是292（
）
（5）一只茶杯的容积大约是250（
）
（6）一只微波炉占空间的大小是63（
）
2、1个底面积为0.6平方分米，高2分米的杯子可以盛(
)升可乐，把它平均分给四个小朋友，每人分到（
）毫升
3、一个长方体的体积为24cm3。现在把长宽高分别增加3cm，2cm，1cm，则体积比原来（
）。
增加6cm3
B、增加9cm3
C、增加12cm3
D、都不对
4、一容器装满了液体，现把两个体积相同的小球沉入容器中，排出4千克的液体。已知1dm3液体重0.8千克，求一个小球的体积是（
）
A、2dm3
B、0.4
dm
3
C、2.5dm3
D、4dm3
5、下列每个物体都是由体积为1的正方体积木搭成的，求出它的体积？
6、一块正方体石料，棱长是8米，它的体积是多少立方米？
7、一个长方体长7米，宽6米，高4米，它的体积是多少立方米？
8、一根长方体木料，长5米，横截面的面积是0.06平方米，这根木料的体积是多少？
9、一个无盖的长方体玻璃鱼缸，底面积是32平方分米，高5分米，倒入144立方分米水后，水面离鱼缸口几厘米？
10、求下列图形的体积（单位：cm）
【备选练习】
1、求下图的体积（单位：cm3）
（1）
（2）
2、将两个棱长分别是5厘米和3厘米的正方体铁块熔铸成一个宽2厘米、高2.5厘米的长方体铁块，求铁块的长。
3、现有甲乙两个球，已知甲球的体积是乙球体积的3倍，现在先把乙球沉入盛满水的容器然后取出（不计水的损耗），再把甲球放入刚才的容器中，量出排出的水的体积为24cm3。如果把甲球沉入另一个装有水但未溢出的底面积是正方形的容器中，水面上升高度为4cm，求这个容器底面的周长？
4、一个长方体和一个正方体的棱长相等，已知长方体的长6分米，宽5分米，高4分米，那么正方体的棱长是多少分米？它们的体积相等吗？如果不相等，分别是多少立方分米？若一物体能使正方体中液面高度上升3分米，那这物体能使长方体液面上升多高？
【课后作业】
1.填空
0.001升=（
）立方厘米
50升=（
）立方分米
14580立方厘米
=（
）升
0.52立方分米
=（
）毫升
1432Ml=(
)
8752L=(
)=（
）
4.84L=(
)
=(
)
2835Ml=(
)
=(
)
2、有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，再从剩余的部分尽可能大的切下一个正方体。最后剩余的体积是多少？
3、如图,在一块平坦的水泥地上,用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池,墙厚为10厘米(底面利用原有的水泥地).这个水泥池的体积是
.
4、如图,从长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉2厘米的正方形,然后,沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是
立方厘米.
（1图）（单位：米）
（2图）
5、天安门广场矗立的人民英雄纪念碑高14.7米，宽2.9米，厚1米，求这块纪念碑的体积。
6、把一块棱长为12厘米的正方体钢材，锻造成高和宽是8厘米的钢材，锻造后的钢材长多少厘米？（损耗不计）
【备选作业】
1、求下图的体积（单位：cm）
（1）
（2）
2、一个长、宽和高分别为21厘米、15厘米和12厘米的长方体,现从它的上面尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体,剩下的体积是多少立方厘米?
3、如图所示，下面各图中均有若干个正方体，每小题图中的几个正方体上A、B、C、D、E、F六个字母的排列顺序完全相同（即每个小题中正方体上刻字母的方式完全一样）。试判断各小题的图中A、B、C三个字母的对面依次是哪几个字母？
A
B
9
13
1.8
2
3
21
3
15
12
(
1
)
9
21
3
6
3
9
(
2
)体积单位和长方体正方体的体积
【知识精要】
1．体积单位
(1)．体积概念：物体所占空间的大小叫做物体的体积
区别于面积：面积是指物体所占面的大小。
(2)．常用的体积单位有：立方厘米、立方分米、立方米
用字母表示是cm3
、dm3
、m3
棱长为1厘米的正方体，它的体积就是1立方厘米，记作1；
棱长为1分米的正方体，它的体积就是1立方分米，记作1；
棱长为1米的正方体，它的体积就是1立方米，记作1。
如：骰子、一节手指头等的体积接近1立方厘米
（3）各体积单位之间的关系
2．体积
体积：
长方体体积＝＝
正方体体积＝
棱长和：
长方体棱长和＝
总正方体棱长和＝
表面积：
长方体表面积＝
正方体表面积＝
A．长方体（非正方体）一般有（
2）个面的面积相等，最多有（
4）个面的面积相等；【当一对面为正方形时】
B．长方体（非正方体）一般有（4
）条棱的长度相等，最多有（8
）条棱的长度相等；【当一对面为正方形时】
长方体或正方体的拼、切过程，表面积变化：切一刀，增加2个面；拼一次，减少2个面；
若是一个长方体的高增加或减少多少，它就变成了一个正方体，这里隐含着一个条件：
这个长方体的下底面是个正方形，即长方体的长和宽相等
★★★一个棱长为a厘米的正方体，表面涂有彩色，切割成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体，一共有个，其中：
（1）三面带有彩色的小正方体有（
8）个，和顶点有关；
（2）两面带有彩色的小正方体有个，和棱有关，一条棱上个；
（3）一面带有彩色的小正方体有个，和面有关，一个面上有个；
（4）一面也不带彩色的小正方体有【总数减去上面三种的总数】或个；
【热身练习】
（1）下面的两个长方体都是由棱长1厘米的正方体摆成的，体积各是多少立方厘米？
SHAPE
\
MERGEFORMAT
略
（2）下面的物体都是用棱长1厘米的小正方体拼成的，它们的体积各是多少？
7个
6个
10个
（3）小明用几个1立方厘米的正方体木块摆了一个物体。下面是从不同的方向看到的图形。这个物体的体积是多少立方厘米？
正面
上面
侧面
解：利用三视图还原，总共只有4个小正方体，所以体积是4立方厘米
（4）棱长为8厘米的正方体，表面涂满红色，把它切割成棱长为1厘米的小正方体，其中：
①三面带有红色的小正方体有
8
个；
②两面带有红色的小正方体有
12×（8－2）
个；
③一面带有红色的小正方体有
6×（8－2）×（8－2）
个；
④一面也不带红色的小正方体有
（8－2）的立方
个；
【精解名题】
例1、求下面几何体的体积（单位：cm）
解：V=
V=
V=
=5×5×14
=5×5×10
=5×5×18
=350
=250
=450
V=
V+
V+
V
=350+250+450
=1050（）
例2、有甲.乙.丙三个正方体水池。它们的内边长分别为40dm.30dm.20dm,在乙.丙水池中分别铺上碎石，两个水池的水面分别升高了6cm和6.5cm.
如果将这些碎石铺在甲水池中，甲水池水面将升高多少分米？
解析：乙、丙水池里水面升高后的体积，就是碎石的体积。碎石体积除以甲正方体的底面积，就可以求出甲水池的水面升高多少分米。
答案：6cm=0.6dm
6.5cm=0.65dm
(30×30×0.6+20×20×0.65)÷(40×40)
=(540+260)
÷1600
=0.5(dm)
答:甲水池水面将升高0.5dm。
例3、将棱长和分别为36厘米、48厘米和60厘米的3个铁质正方体熔铸成一个大正方体，求这个大正方体的体积。
解析：因为正方体的12条棱长度都相等，而36=3×12，所以这个正方体的棱长是3cm，用同样的方法求出另两个正方体的棱长，在分别计算出它们的体积，大正方体的体积就等于它们的体积之和。
36÷12=3，48÷12=4
，60÷12=5
3×3×3+4×4×4+5×5×5=216
答：个大正方体的体积的体积是216。
例4、一个长方体和一个正方体的棱长相等，已知长方体的长6分米，宽5分米，高4分米，那么正方体的棱长是多少分米？它们的体积相等吗？如果不相等，分别是多少立方分米？若一物体能使正方体中液面高度上升3分米，那这物体能使长方体液面上升多高？
解：4（6+5+4）=60dm。正方体的棱长为60÷12=5dm。
长方体体积：4×5×6=120dm3
正方体体积：5×5×5=125dm3.
3×25÷（6×5）=2.5dm
【备选例题】
1、用24个棱长是1厘米的小正方体摆成形状不同的长方体，可以有几种摆法？把各种摆法的长方体的长、宽、高分别记录下来。
解析：可以自己试着动手摆一摆。从方法的角度来探究，即是把24分解成三个非0自然数相乘的形式，有几种不同分法，就有几种摆法，24可以分解为一下几种形式：
24=24×1×1
24=12×2×1
24=8×3×1
24=6×2×2
24=6×4×1
24=4×3×2
2、
在一个边长为3cm的正方体木块的每面中心打一个相通的洞，洞口是边长1cm的正方形。每个面与正方体相对的面平行（如下图），挖洞后正方体木块的体积是多少？
解析：所剩木块的体积是原正方体的体积减去挖去的三个洞的体积，三个洞在正方体的正中心相交成一个棱长1cm的正方体，在减去三个洞的体积时多减去了两个相交的正方体的体积3×3×3-1×1×3×3+1×1×1×2
=20（）
答：挖洞后正方体木块的体积是20.
3、商场促销活动中，某款月饼推出买三送一活动的促销装，把四盒包装成一大盒。每个小盒是一个长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，四盒可以怎样包装？你认为哪种方案比较合理？
解析：4盒的包装方法分为两大类：（1）4×1×1即每行放4盒，放1行1层；（2）2×2×1即每行放2盒，放2行，放一层。由于长方体包装盒的每个面的大小不完全相同，每类又可以有几种不同的摆法。
从图中可以看出第一类拼法，大长方体的表面积与四个长方体的表面积之和相比减少了6个面的面积；第二类拼法，减少了8个面的面积，其中拼法C减少了4个9×6的面和4个9×4的面，减少的面积最多，剩下的包装面积最小，包装材料最节约，因此这一拼法比较合理。
4、在内侧棱长为8厘米的正方体容器里装满水后如图放置，这时流出的水正好能装满内侧棱长为4厘米的正方体容器，求图中AB的长度。
解析：因为流出的水正好能装满棱长为4厘米的正方体容器，所以可以求出这个正方体容器的容积，也就是求出了流出的水的体积。我们沿A点做一条与底面平行的平面，这个平面有水的地方，与流出的水的体积正好相等。平面下的水可以看成是一个长方体，这个长方体的长和宽都是8厘米，高就是AB的长度。这个长方体的体积等于大正方体的体积减去两个流出的水的体积。
（8×8×8－4×4×4×2）÷8÷8＝6（cm）
【巩固练习】
1、括号里填上合适的体积或容积单位
（1）一个火柴盒的体积大约是11（
）
（2）卡车车厢的体积大约是6（
）
（3）一个油桶能盛油120（
）
（4）一台电视机的体积大约是292（
）
（5）一只茶杯的容积大约是250（
）
（6）一只微波炉占空间的大小是63（
）
2、1个底面积为0.6平方分米，高2分米的杯子可以盛(
)升可乐，把它平均分给四个小朋友，每人分到（
）毫升
解析：1.（1）
（2）（3）L（4）
（5）mL（6）
2、1.2
300
3、一个长方体的体积为24cm3。现在把长宽高分别增加3cm，2cm，1cm，则体积比原来（
D
）。
增加6cm3
B、增加9cm3
C、增加12cm3
D、都不对
4、一容器装满了液体，现把两个体积相同的小球沉入容器中，排出4千克的液体。已知1dm3液体重0.8千克，求一个小球的体积是（
C
）
A、2dm3
B、0.4
dm
3
C、2.5dm3
D、4dm3
5、下列每个物体都是由体积为1的正方体积木搭成的，求出它的体积？
解析：7
11
19
6、一块正方体石料，棱长是8米，它的体积是多少立方米？
解：8×8×8=512立方米
7、一个长方体长7米，宽6米，高4米，它的体积是多少立方米？
解：7×6×4=168立方米
8、一根长方体木料，长5米，横截面的面积是0.06平方米，这根木料的体积是多少？
解：5×0.06=0.3立方米
9、一个无盖的长方体玻璃鱼缸，底面积是32平方分米，高5分米，倒入144立方分米水后，水面离鱼缸口几厘米？
解析：水是液体，其形状随容器的变化而变化。倒入鱼缸后，水的底面积与容器的底面积相同。
32×5-144=16（立方分米）
16÷32=0.5（dm）=5cm
10、求下列图形的体积（单位：cm）
解析：v=5×5×20+5×5×20+(25-
5-
5)×（20-
12）×5
=500+500+600
=1600（cm3）
【备选练习】
1、求下图的体积（单位：cm3）
（1）
（2）
解析：v=20×22×（10-6）+4×22×6×2
解析：v=24×10×5+5×8×10
=2640+1056
=1200+400
=3696（cm3）
=1600（cm3）
2、将两个棱长分别是5厘米和3厘米的正方体铁块熔铸成一个宽2厘米、高2.5厘米的长方体铁块，求铁块的长。
解析：在铁块熔铸的过程中，形状发生了变化，但是体积不变，即两个正方体铁块的体积等于长方体铁块的体积。可列方程如下：
设铁块的长为x厘米
5×5×5+3×3×3=2×2.5x
x=30.4
3、现有甲乙两个球，已知甲球的体积是乙球体积的3倍，现在先把乙球沉入盛满水的容器然后取出（不计水的损耗），再把甲球放入刚才的容器中，量出排出的水的体积为24cm3。如果把甲球沉入另一个装有水但未溢出的底面积是正方形的容器中，水面上升高度为4cm，求这个容器底面的周长？
解：若果设小球的体积是x，那么甲球是3x，要注意甲球排出水的体积其实是2x。所以甲球体积为36cm3，使水面上升4cm，那么底面积是9cm2
。所以底面正方形的周长为16cm。
4、一个长方体和一个正方体的棱长相等，已知长方体的长6分米，宽5分米，高4分米，那么正方体的棱长是多少分米？它们的体积相等吗？如果不相等，分别是多少立方分米？若一物体能使正方体中液面高度上升3分米，那这物体能使长方体液面上升多高？
解：4（6+5+4）=60dm。正方体的棱长为60÷12=5dm。
长方体体积：4×5×6=120dm3
正方体体积：5×5×5=125dm3.
3×25÷（6×5）=2.5dm
【课后作业】
1.填空
0.001升=（
）立方厘米
50升=（
）立方分米
14580立方厘米
=（
）升
0.52立方分米
=（
）毫升
1432Ml=(
)
8752L=(
)=（
）
4.84L=(
)
=(
)
2835Ml=(
)
=(
)
答案：1
50
14.58
520
1432
8752
8.752
4.84
4840
2835
2.835
2、有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，再从剩余的部分尽可能大的切下一个正方体。最后剩余的体积是多少？
解：最好先画个草图，21×15×12-（12×12×12+9×9×9+6×6×6）=1107cm3
3、如图,在一块平坦的水泥地上,用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池,墙厚为10厘米(底面利用原有的水泥地).这个水泥池的体积是
.
解析：8.96
（注意是内部体积）
4、如图,从长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉2厘米的正方形,然后,沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是
立方厘米.
（1图）（单位：米）
（2图）
解析：90
5、天安门广场矗立的人民英雄纪念碑高14.7米，宽2.9米，厚1米，求这块纪念碑的体积。
解析：14.7×2.9×1=42.63
6、把一块棱长为12厘米的正方体钢材，锻造成高和宽是8厘米的钢材，锻造后的钢材长多少厘米？（损耗不计）
解析：12×12×12÷8÷8＝27
【备选作业】
1、求下图的体积（单位：cm）
（1）
（2）
解析：v=20×22×（10-6）+4×22×6×2
解析：v=24×10×5+5×8×10
=1760+1056
=1200+400
=2816（cm3）
=1600（cm3）
2、一个长、宽和高分别为21厘米、15厘米和12厘米的长方体,现从它的上面尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体,剩下的体积是多少立方厘米?
解析：第一次切下的尽可能大的正方体的棱长是12厘米,体积为(立方厘米)
这时剩余立体底面形状如图(1),其高是12厘米.这样第二次切下的尽可能大的正方体
棱长为9厘米,其体积是(立方厘米).
第二次切割后,剩下的立体可以看作是由两部分组成的:一部分
的底面形状如图(2),高为12厘米,另一部分底面形状如图3,高是3厘米.显然,第三次切下的尽可能大的正方体棱长为6厘米,其体积为(立方厘米).
所以,剩下的体积为21×15×12-1728-729-216=1107(立方厘米).
3、如图所示，下面各图中均有若干个正方体，每小题图中的几个正方体上A、B、C、D、E、F六个字母的排列顺序完全相同（即每个小题中正方体上刻字母的方式完全一样）。试判断各小题的图中A、B、C三个字母的对面依次是哪几个字母？
解析：（1）由图中可知，A与B、C、E、F都相邻，故A的对面是D。E、F位置可按右手关系得出：伸出右手，伸直大拇指按（1）中右图所示，让四指方向从A转动而指向F，此时大拇指正好指向E（向上）。如果判断为F在C对面，由（1）中左图所示，让四指的方向从A向F，此时大拇指指向B，与（1）中右图矛盾，故F在B的对面，E在C的对面。
~（4）按A、B、C顺序给出对面的字母：
同理可推（2）E、D、F
；
（3）F、E、D
；
A
B
9
13
1.8
2
3
21
3
15
12
(
1
)
9
21
3
6
3
9
(
2
)
9
(
3
)
9
