沪科版八年级上册 数学 课件： 15.4 角的平分线（22张）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级上册 数学 课件： 15.4 角的平分线（22张） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 687.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-23 09:27:52 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
15.4 角的平分线
学习目标
1．经历探索过程，学会证明角的平分线的判定定理，进一步发展推理证明意识和能力．
2．能够利用角的平分线的性质定理与判定定理证明相关结论，能理解其相关结论并能加以运用．
3．能够利用角的平分线的判定定理解决相关问题．
1、快速用尺规作一个已知角的平分线.
角平分线上的点到角两边的距离相等
2、角平分线的性质:
O
B
1
A
2
P
D
E
PD⊥OA，PE⊥OB
∵ OP是∠AOB的平分线
∴ PD＝PE
用符号语言表示为：
温故知新
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
思考
角平分线性质定理的逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义）
在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO＝QO（公共边）
QD=QE （已知）
∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴ ∠ QOD＝∠QOE
（全等三角形对应角相等）
∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义）
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证一证
角平分线判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用符号语言表示为：
角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
所以：
角平分线可以看做到角的两边距离相等的所有点的集合而形成的一条射线
问题1：
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
s
活动探究，解决问题
解： 作夹角的角平分线OC，在OC上截取OD=2.5cm ,则点D即为所求。
D
C
s
O
问题2： 如图,能否找到一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等？若能请作出此点P.
C●
D●
A
B
O
P
解：能。如上图,连接C、D，作线段CD的垂直平分线和∠AOB的平分线，两线交于点P，则点P就是所要找的点。
例1、已知：如图，△ABC中， ∠ABC的平分线BM与∠ACB的平分线CN相交于点P.
求证：点P在∠BAC的平分线上.
A
B
C
P
E
F
G
M
N
例题讲解
结论：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上（已知） FG⊥AE， FM⊥BC（辅助线作法）
∴FG＝FM（角平分线上的点到角的两边距离相等）
同理：FM＝FH
∴FG＝FH（等量代换）
∴点F在∠DAE的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
结论：三角形相邻两个外角平分线与第三个内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
变式探究
利用结论，解决问题
1、画一画
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画出三个内角的平分线吗
2、选一选
直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处 B.两处
C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
D
例2、已知：如图，在Rt△ABC与Rt△EDC中，∠BAC=∠DEC=90°，CB=CD，BA=DE，AB、ED的延长线相交于点P。
求证：CP平分∠APE
P
D
E
C
A
B
例题讲解
已知：如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，BD=CD。
求证：AD平分∠BAC
A
B
C
D
E
F
巩固达标
丰收乐园
将你今天的收获与大家共同分享吧！
1、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用符号语言表示为：
2、角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
课堂小结
3、三角形内角平分线相交的结论：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
课堂小结
4、三角形外角平分线相交的结论：三角形相邻两个外角平分线与第三个内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。
求证：AM平分∠DAB
A
B
C
D
M
能力提升
作业
同步练习
谢 谢
15.4 角的平分线
学习目标
1．经历探索过程，学会证明角的平分线的判定定理，进一步发展推理证明意识和能力．
2．能够利用角的平分线的性质定理与判定定理证明相关结论，能理解其相关结论并能加以运用．
3．能够利用角的平分线的判定定理解决相关问题．
1、快速用尺规作一个已知角的平分线.
角平分线上的点到角两边的距离相等
2、角平分线的性质:
O
B
1
A
2
P
D
E
PD⊥OA，PE⊥OB
∵ OP是∠AOB的平分线
∴ PD＝PE
用符号语言表示为：
温故知新
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
思考
角平分线性质定理的逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义）
在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO＝QO（公共边）
QD=QE （已知）
∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴ ∠ QOD＝∠QOE
（全等三角形对应角相等）
∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义）
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证一证
角平分线判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用符号语言表示为：
角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
所以：
角平分线可以看做到角的两边距离相等的所有点的集合而形成的一条射线
问题1：
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
s
活动探究，解决问题
解： 作夹角的角平分线OC，在OC上截取OD=2.5cm ,则点D即为所求。
D
C
s
O
问题2： 如图,能否找到一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等？若能请作出此点P.
C●
D●
A
B
O
P
解：能。如上图,连接C、D，作线段CD的垂直平分线和∠AOB的平分线，两线交于点P，则点P就是所要找的点。
例1、已知：如图，△ABC中， ∠ABC的平分线BM与∠ACB的平分线CN相交于点P.
求证：点P在∠BAC的平分线上.
A
B
C
P
E
F
G
M
N
例题讲解
结论：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上（已知） FG⊥AE， FM⊥BC（辅助线作法）
∴FG＝FM（角平分线上的点到角的两边距离相等）
同理：FM＝FH
∴FG＝FH（等量代换）
∴点F在∠DAE的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
结论：三角形相邻两个外角平分线与第三个内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
变式探究
利用结论，解决问题
1、画一画
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画出三个内角的平分线吗
2、选一选
直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处 B.两处
C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
D
例2、已知：如图，在Rt△ABC与Rt△EDC中，∠BAC=∠DEC=90°，CB=CD，BA=DE，AB、ED的延长线相交于点P。
求证：CP平分∠APE
P
D
E
C
A
B
例题讲解
已知：如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，BD=CD。
求证：AD平分∠BAC
A
B
C
D
E
F
巩固达标
丰收乐园
将你今天的收获与大家共同分享吧！
1、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用符号语言表示为：
2、角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
课堂小结
3、三角形内角平分线相交的结论：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
课堂小结
4、三角形外角平分线相交的结论：三角形相邻两个外角平分线与第三个内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。
求证：AM平分∠DAB
A
B
C
D
M
能力提升
作业
同步练习
谢 谢