华东师大版九年级上册 数学 课件 21.1 二次根式 课件 61张PPT

21.1 二次根式
学习目标
知识回顾
典型例题和及时反馈
学习目标
1、能够比较熟练地应用二次根式的性质进行化简.
2、能够比较熟练地进行二次根式的运算.
3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际
问题.
学习目标
二 次 根 式
概念
性质
运算
加 、减、乘、除
知识回顾
最简二次根式
同类二次根式
二次根式
3、
4、
2、
1、

知识回顾
一、二次根式的意义
二、二次根式的性质
四、反思提升
三、二次根式的运算
一、二次根式的意义
你能说说对二次根式 的认识吗?
2.a可以是数,也可以是式.
3.形式上含有二次根号.
1.表示a的算术平方根.
4.a≥0， ≥0.
(双重非负性)
注:正确理解和运用二次根式的概念是学好本章的关键之一.
一、二次根式的意义
?
?
例1、下列各式中哪些是二次根式？哪 些不是？ 为什么？
⑧
⑦
⑥
④
⑤
①
②
③
思路启迪:
二次根式应同时具备下列三个条件：(1)含有根号；(2)根指数是2；(3)被开方数是非负数.

?
?
典型例题
典型例题
例2、x取何值时,下列二次根式有意义?
解:
思路启迪：判断二次根式是否有意义的基本 依据是:
①被开方数为非负数；
②分母不等于零。
典型例题
例3、二次根式的非负性的应用.
1、已知： + =0,求 x-y 的值.
2、已知x,y为实数,且 +3(y-2)2 =0,
则x-y的值为( 　 )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
D
典型例题
解：∵x-1=0 且 y-2=0 ；∴ x=1 y=2
若两个非负数的和为零，
则这两个数都为零。
点评：初中阶段，课本中出现的三种非负数已全部学完．这三种非负数是：实数的绝对值；实数的偶次方；非负数的算术平方根．利用非负数的意义求值，是解决代数式求值问题时常用的方法之一．
x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
及时反馈
及时反馈
二、二次根式的性质

二、二次根式的性质
1、 与 区别：
① 意义不同
表示a的算术平方根的平方，
表示a的平方的算术平方根．

② a的取值范围不同
(a≥o)；
(a为任意实数)．
2、联系：当a≥0时， = = a
3、积的算术平方根的性质
4、商的算术平方根的性质
二、二次根式的性质
注：正确理解和运用二次根式的性质是学好本章的关键之一.
计算:
典型例题
例1、



解：
思路启迪：利用 可以把二次根式化简．
典型例题
例2、把下列各式写成平方差的形式， 再在实数范围内分解因式；
典型例题
思路启迪：利用 可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式．
例2、把下列各式写成平方差的形式， 再在实数范围内分解因式；
典型例题
化简:
思考:
解:
典型例题
例3、
思路启迪：利用 可以把二次根式化简．
若x<0呢？
典型例题
例4、化简:
3
把a-3当做整体
化简形如 的二次根式，首先把
写成|a|的形式，再根据已知条件中
字母a 的取值范围，确定其结果.
方法小结
化简形如 的二次根式的方法:
一定要注意a的取值范围
例5、判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(字母为正数)
典型例题
?
?
思路启迪：根据最简二次根式的条件来判断，不满足其中任意一个条件的，都不是最简二次根式．
最简二次根式的三个条件：
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或 因式；
（2）被开方数不含分母；
（3）分母中不含有根号.
典型例题
例6、化简(字母为正数)
典型例题
例6、化简(字母为正数)
思路启迪：若被开方数是积的形式，把能开得尽的方的因数或因式开出来；若被开方数不是积的形式，应先化成积的形式，再把可以开得尽方的因数或因式开出来．
解：
典型例题
思路启迪：化去根号中的分母，可以将被开方数的分子和分母同乘以一个适当的数(或代数式)，从而使被开方数中的分母能够开的尽,这样也就将二次根式进行化简了.
典型例题
思路启迪：化去分母中的根号的关键是选择一个适当的数(或代数式)，用这个数(或代数式)去乘分式的分子和分母，可以使分母不含根号．这个数(或代数式)叫有理化因式。分母的有理化因式不是唯一的，应学会选择最简单的.
典型例题
思路启迪：根据本题的特点，将分子分解因式，然后约分，这样化简运算简便．
解、原式
解法二
方法小结
化二次根式为最简二次根式的一般步骤：
(1)把根号内能开得尽方的因数(或因式)移到根号外；
(2)化去根号内的分母．
(3)化去分母中的根号．(又称分母有理化)
1、计算
及时反馈
及时反馈
1、计算
及时反馈
答案：
2、把下列二次根化为最简二次根式.
及时反馈
3、化简下列各式：

及时反馈
4、若aA. a+b B. a-b C. -a-b D. -a+b
D
3、实数 在数轴上的位置如图所示,化简:
1
及时反馈
5、实数 在数轴上的位置如图所示,化简:
-1
2
1
0
6、已知三角形的三边长分别是 a、b、c，且 ，那么 等于（ ）
A、2a-b B、2c-b
C、b-2a D、b-2c
D
及时反馈
三、二次根式的运算
——乘除
1、二次根式的乘法法则
2、二次根式的除法法则
二次根式的除法可以先转化为乘法,然后再按乘法法则进行运算.
三、二次根式的运算（乘除）
例1：计算(字母为正数)
典型例题
典型例题
例2、计算
典型例题
点评：也可以用“除以一个数，等于乘以这个数的倒数”的法则进行计算．
在进行二次根式的加减运算时，首先要正确识别同类二次根式，关键是准确地化成最简二次根式，然后观察被开方数是否相同，对于被开方数相同的最简二次根式可以类似合并同类项的方法，即把根号外的因式相加减，根指数和被开方数都不变。
三、二次根式的运算
——加减
1、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
2、二次根式的加减
（1）先化简，
（2）再合并.
三、二次根式的运算
——加减
三、二次根式的运算（加减）
——化简
例、计算(字母为正数)
典型例题
——合并
把同类二次根式看成
“同类项”，按照合并同
类项的方法进行合并．
典型例题
例、计算(字母为正数)
典型例题
点评：在进行二次根式的加减运算时，应注意：1、根号外的系数因式需保留假分数的形式。2、化简后，被开方数不相同的二次根式不能合并；反之，能合并，若合并后的系数为多项式，需添括号。
1、混合运算的顺序：
二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
三、二次根式的运算
——混合运算
2、对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．
三、二次根式的运算（混合运算）
例、计算
典型例题
把二次根式看成“单项式”，
它类似于单项式乘多项式．
典型例题
典型例题
例、计算
它类似于特殊的多项式
乘法，可利用平方差公式。
典型例题
例、计算
可利用完全平方公式。
典型例题
例、计算
这要利用平方差和
完全平方两个公式。
典型例题
例、计算
它类似于多项式除以单项式．
点评：当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，这样计算很方便．
典型例题
例、计算
它也类似于
多项式除以单项式．
一样的类型，不一样的解法，应学会选择。
点评：有关二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过化去分母中的根号进行运算．
典型例题
例、计算
这里包含了二次根式的
乘方、乘法和加减运算．
二次根式的混合运算，要注意：
1、运算顺序；
2、灵活运用运算法则；
3、灵活运用运算律和乘法公式简便运算；
4、结果一定要化到最简。
方法小结
在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
计算：
及时反馈
及时反馈
计算：
及时反馈
及时反馈
(　 　)
B．
C．
D．
A．
四、反思提升
D
四、反思提升
.
1
1
)
1
(
到根号里面
中的根号外面的因式移
将
a
a
-
-
注意隐含条件:a＜1
四、反思提升
解：
思路启迪：要将根号外的因式移入根号内，根据 移入根号里面的必须是非负数，可以将 a-1写成-(1-a)，将1-a平方后移入根号内，“－”仍留在根号外面．
2、
3、计算：
思路启迪：由于本题中没有指明字母的取值范围，从题中可以看出字母的取值是任意的，在去掉根号时需要进行讨论。
解：
=
四、反思提升
四、反思提升
设a、b为实数,且| 2 -a|+ b-2 =0
√
四、反思提升
若a为底,b为腰,此时底边上的高为
∴三角形的面积为
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积.
设a、b为实数,且| 2 -a|+ b-2 =0
√
解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为
∴三角形的面积为
四、反思提升
注意隐含条件:
a、b同为负数
点评： 题目没有直接给出a和b的取值范围，但它隐含在条件中，不易发现．所以在化简二次根式时，挖掘隐含在题目中的条件是关键．
四、反思提升
解
二 次 根 式
概念
性质
运算
加 、减、乘、除
最简二次根式
同类二次根式
二次根式
3、
4、
2、
1、

关键
关键
重点
小结思考
小结思考
思想方法
2、类比——类比整式运算学习二次根式的运算
3、转化——灵活运用二次根式的性质进行化简与
运算
1、分类——二次根式、最简二次根式、同类二次
根式的识别
小结思考
谢 谢