2019-2020学年山东省德州市乐陵市九年级上学期期末数学试卷 （word，解析版）

2019-2020学年山东省德州市乐陵市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共16小题）.
1．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实根，则k的值为（　　）
A．k＝﹣4 B．k＝4 C．k≥﹣4 D．k≥4
2．（3分）在反比例函数y＝的图象的每个象限内，y随x的增大而增大，则k值可以是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
3．（3分）如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点O是△ABC的外心．则∠BOC＝（　　）
A．110° B．117.5° C．140° D．125°
5．（3分）下列各说法中：
①圆的每一条直径都是它的对称轴；
②长度相等的两条弧是等弧；
③相等的弦所对的弧也相等；
④同弧所对的圆周角相等；
⑤90°的圆周角所对的弦是直径；
⑥任何一个三角形都有唯一的外接圆；
其中正确的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（3分）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（　　）
A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4
8．（3分）若函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（　　）
A．1 B． C． D．
10．（3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
11．（3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
12．（3分）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使＜0成立的是（　　）
A．y＝3x﹣1（x＜0） B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0）
C．y＝﹣（x＞0） D．y＝x2﹣4x+1（x＜0）
13．（3分）如图，点A的坐标是（4，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值是（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
14．（3分）如图，以坐标原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（　　）
A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）
C．（sinα，cosα） D．（cosα，sinα）
15．（3分）如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．（3分）如图，正方形ABCD中，BE＝FC，CF＝2FD，AE、BF交于点G，连接AF，给出下列结论：①AE⊥BF； ②AE＝BF； ③BG＝GE； ④S四边形CEGF＝S△ABG，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共24分）
17．（3分）方程2x2＝x的根是　 　．
18．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝12t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了　 　m．
19．（3分）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为　 　．
20．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝72°，则∠CAD的度数为　 　．
21．（3分）婷婷和她妈妈玩猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时婷婷获胜，那么，婷婷获胜的概率为　 　．
22．（3分）某园进行改造，现需要修建一些如图所示圆形（不完整）的门，根据实际需要该门的最高点C距离地面的高度为2.5m，宽度AB为1m，则该圆形门的半径应为　 　m．
23．（3分）如图，边长为1的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O点所经过的路径长为　 　．
24．（3分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是　 　．
三、解答题（满分78分，共7个大题）
25．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
26．（10分）为了了解全校3000名同学对学校设置的体操、篮球，足球、跑步、舞蹈等课外活动目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若千名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请回答下列问题
（1）在这次问卷调查中，一共抽查了　 　名同学
（2）补全条形统计图
（3）估计该校3000名同学中喜爱足球活动的人数
（4）在体操社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加体操大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．
（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．
28．（10分）某型号飞机的机翼形状如图所示，已知CF、DG、BE所在直线互相平行且都与CE所在直线垂直，AB∥CE，CD＝6m，BE＝5m，∠BDG＝31°，∠ACF＝58°，求AB的长度（参考数据sin58°≈0.84，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）
29．（12分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC，垂足为E
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，⊙O的直径为5，求DE的长及cosC的值．
30．（12分）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目
如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）
请回答：∠ADB＝　 　°，AB＝　 　
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长
31．（14分）如图1，抛物线y＝x2+mx+4m与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2满足x12+x22＝20，若对称轴在y轴的右侧．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，若点P为线段AB上的一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为斜边，在直线AB的同侧作等腰直角三角形△APM和△BPN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标．
（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（每小题3分，满分48分）
1．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实根，则k的值为（　　）
A．k＝﹣4 B．k＝4 C．k≥﹣4 D．k≥4
解：∵一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实根，
∴△＝42﹣4k＝0，
解得：k＝4，
故选：B．
2．（3分）在反比例函数y＝的图象的每个象限内，y随x的增大而增大，则k值可以是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
解：因为y＝的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，
所以k﹣1＜0，
即k＜1．
故选：A．
3．（3分）如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边有一个小正方形，
故选：B．
4．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点O是△ABC的外心．则∠BOC＝（　　）
A．110° B．117.5° C．140° D．125°
解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝70°，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC＝2∠A＝140°，
故选：C．
5．（3分）下列各说法中：
①圆的每一条直径都是它的对称轴；
②长度相等的两条弧是等弧；
③相等的弦所对的弧也相等；
④同弧所对的圆周角相等；
⑤90°的圆周角所对的弦是直径；
⑥任何一个三角形都有唯一的外接圆；
其中正确的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解：①对称轴是直线，而直径是线段，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，所以此项错误；
②在同一圆中，长度相等的两条弧是等弧，不在同一圆中不一定是等弧，所以此项错误；
③在同一圆中，相等的弦所对的弧也相等，不在同一圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，所以此项错误；
④根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，故此项正确；
⑤根据圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，故此项正确；
⑥根据三角形外接圆的定义可知，任何一个三角形都有唯一的外接圆，故此项正确．
故选：A．
6．（3分）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（　　）
A． B． C． D．
解：设PA＝PB＝PB′＝x，
在RT△PCB′中，sinα＝，
∴＝sinα，
∴x﹣1＝xsinα，
∴（1﹣sinα）x＝1，
∴x＝．
故选：A．
7．（3分）如图，A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（　　）
A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4
解：设A点的坐标是（a，b），则根据函数的对称性得出B点的坐标是（﹣a，﹣b），则AC＝2b，BC＝2a，
∵A点在y＝的图象上，
∴ab＝1，
∴△ABC的面积S＝＝＝2ab＝2×1＝2，
故选：A．
8．（3分）若函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0，
根据二次函数的图象确知a＞0，b＜0，
∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、四象限，
故选：B．
9．（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（　　）
A．1 B． C． D．
解：在Rt△ABD中，BD＝4，AD＝3，
∴tan∠ABC＝＝，
故选：D．
10．（3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则＝，
∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，
∴＝，
解得：CD＝0.4，
故选：C．
11．（3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如右图所示，
由已知可得，OB＝x，OA＝1，∠AOB＝90°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点C的纵坐标是y，
∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD＝180°，
∴∠DAO＝90°，
∴∠OAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠OAB＝∠DAC，
在△OAB和△DAC中，
，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB＝CD，
∴CD＝x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y＝x+1（x＞0）．
故选：A．
12．（3分）在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使＜0成立的是（　　）
A．y＝3x﹣1（x＜0） B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0）
C．y＝﹣（x＞0） D．y＝x2﹣4x+1（x＜0）
解：A、∵k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2，
∴当x＜0时，＞0，
故A选项不符合；
B、∵对称轴为直线x＝1，
∴当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，
∴当0＜x＜1时，当x1＞x2时，必有y1＞y2，
此时＞0，
故B选项不符合；
C、当x＞0时，y随x的增大而增大，
即当x1＞x2时，必有y1＞y2
此时＞0，
故C选项不符合；
D、∵对称轴为直线x＝2，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
即当x1＞x2时，必有y1＜y2
此时＜0，
故D选项符合；
故选：D．
13．（3分）如图，点A的坐标是（4，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值是（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
解：过点B作BC垂直OA于C，如图：
∵点A的坐标是（4，0），
∴AO＝4，
∵△ABO是等边三角形，
∴OC＝2，BC＝2，
∴点B的坐标是（2，2），
把（2，2）代入反比例函数y＝，得k＝4．
故选：D．
14．（3分）如图，以坐标原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（　　）
A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）
C．（sinα，cosα） D．（cosα，sinα）
解：作PC⊥OB于C，
在Rt△POC中，OC＝OP×cosα＝cosα，
PC＝OP×sinα＝sinα，
∴点P的坐标为（cosα，sinα），
故选：D．
15．（3分）如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
则BD∥B′E，
由题意得CD＝2，B′C＝2BC，
∵BD∥B′E，
∴△BDC∽△B′EC，
∴＝，即＝，
解得，CE＝4，
则OE＝CE﹣OC＝3，
∴点B'的横坐标是3，
故选：B．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，BE＝FC，CF＝2FD，AE、BF交于点G，连接AF，给出下列结论：①AE⊥BF； ②AE＝BF； ③BG＝GE； ④S四边形CEGF＝S△ABG，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90，
又∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∴∠FBC+∠BEG＝∠BAE+∠BEG＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF．
故①，②正确；
∵CF＝2FD，BE＝CF，AB＝CD，
∴，
∵∠EBG+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠EBG＝∠BAG，
∵∠EGB＝∠ABE＝90°，
∴△BGE∽△ABE，
∴，
故③不正确
∵△ABE≌△BCF，
∴S△ABE＝S△BFC，
∴S△ABE﹣S△BEG＝S△BFC﹣S△BEG，
∴S四边形CEGF＝S△ABG，
故④正确．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
17．（3分）方程2x2＝x的根是　x1＝0，x2＝　．
解：2x2＝x，
2x2﹣x＝0，
x（2x﹣1）＝0，
x＝0，2x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝，
故答案为：x1＝0，x2＝．
18．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝12t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了　6　m．
解：∵s＝12t﹣6t2＝﹣6（t﹣1）2+6，
∴当t＝1时，s取得最大值6，
即当t＝1时，汽车刹车后行驶的距离s取得最大值6m，
∴汽车刹车后到停下来前进了6m，
故答案为：6．
19．（3分）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为　60°　．
解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A＝∠D＝60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°．
20．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝72°，则∠CAD的度数为　18°　．
解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴∠ABD＝∠ACD＝72°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝18°，
故答案为：18°．
21．（3分）婷婷和她妈妈玩猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时婷婷获胜，那么，婷婷获胜的概率为　　．
解：根据题意画图如下：
共有25个等可能的结果，其中婷婷获胜的有13个，
则婷婷获胜的概率为；
故答案为：．
22．（3分）某园进行改造，现需要修建一些如图所示圆形（不完整）的门，根据实际需要该门的最高点C距离地面的高度为2.5m，宽度AB为1m，则该圆形门的半径应为　　m．
解：过圆心点O作OE⊥AB于点E，连接OC，
∵点C是该门的最高点，
∴＝，
∴CO⊥AB，
∴C，O，E三点共线，
连接OA，
∵OE⊥AB，
∴AE＝＝0.5m，
设圆O的半径为R，则OE＝2.5﹣R，
∵OA2＝AE2+OE2，
∴R2＝（0.5）2+（2.5﹣R）2，
解得：R＝，
故答案为：．
23．（3分）如图，边长为1的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O点所经过的路径长为　2π　．
解：如图，
∵正六边形的内角为120°
∴∠B′AF＝60°
∴＝＝
∴边长为1的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，
则它的中心O点所经过的路径长为×6＝2π．
故答案为2π．
24．（3分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是　①③⑤　．
解：∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，①正确；
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，②错误；
∵把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移3个单位，得到y＝ax2+bx+c﹣3，
∴顶点坐标A（1，3）变为（1，0），抛物线与x轴相切，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，③正确；
∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是（4，0），
∴与x轴的另一个交点是（﹣2，0），④错误；
∵当1＜x＜4时，由图象可知y2＜y1，
∴⑤正确．
正确的有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
三、解答题（满分78分，共7个大题）
25．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x2＝2，x1?x2＝m﹣1，x12+x22＝6x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝6x1?x2，
即4＝8（m﹣1），
解得：m＝．
∵m＝＜2，
∴符合条件的m的值为．
26．（10分）为了了解全校3000名同学对学校设置的体操、篮球，足球、跑步、舞蹈等课外活动目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若千名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请回答下列问题
（1）在这次问卷调查中，一共抽查了　50　名同学
（2）补全条形统计图
（3）估计该校3000名同学中喜爱足球活动的人数
（4）在体操社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加体操大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率
解：（1）∵喜欢跑步的有5名同学，占10%，
∴在这次问卷调查中，一共抽查了学生数：5÷10%＝50（名）；
故答案为：50；
（2）喜欢足球人数：50﹣5﹣20﹣5﹣3＝17（人）；
补全统计图：
（3）该校3000名同学中有人喜爱足球活动的有：3000×＝1020（名）；
（4）画树状图得：
∵共有12等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的有2种情况，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：＝．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．
（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．
解：（1）作BD⊥OC于D，
∵△BOC是等边三角形，
∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，
∴BD＝＝，
∴S△OBD＝OD×BD＝，
S△OBD＝|k|，
∴|k|＝，
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，
∴k＝，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵S△OBC＝OC?BD＝＝，
∴S△AOC＝3﹣＝2，
∵S△AOC＝OC?yA＝2，
∴yA＝2，
把y＝2代入y＝，求得x＝，
∴点A的坐标为（，2）．
28．（10分）某型号飞机的机翼形状如图所示，已知CF、DG、BE所在直线互相平行且都与CE所在直线垂直，AB∥CE，CD＝6m，BE＝5m，∠BDG＝31°，∠ACF＝58°，求AB的长度（参考数据sin58°≈0.84，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）
解：如图，
在Rt△BDE中，
∵tan∠EBD＝，
∴DE＝tan31°?BE＝0.60×5＝3m，
在Rt△APC中，
∵tan∠ACP＝，
∴AP＝tan58°?PC＝1.6×5＝8m，
∴AB＝BP﹣AP＝3+6﹣8＝1m，
答：AB的长度为1m．
29．（12分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC，垂足为E
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，⊙O的直径为5，求DE的长及cosC的值．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CED＝∠ODE，
∵DE⊥AC，
∴∠CED＝∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵⊙O过BC的中点D，
∴BD＝CD，
∴AC＝AB＝5，CD＝BD＝3，
∴AD＝4，
∴DE＝＝，cosC＝＝．
30．（12分）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目
如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）
请回答：∠ADB＝　75　°，AB＝　3　
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长
解：（1）如图2中，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，
∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴＝＝2，．
又∵AO＝，
∴OD＝2AO＝2，
∴AD＝AO+OD＝3．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝3；
故答案为75，3．
（2）如图3中，过点B作BE∥AD交AC于点E．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴＝＝＝2．
∵BO：OD＝1：3，
∵AO＝，
∴EO＝2，
∴AE＝3．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝3，
∴AB＝AC＝6，AD＝
在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2，
解得：CD＝（负根已经舍弃）．
31．（14分）如图1，抛物线y＝x2+mx+4m与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2满足x12+x22＝20，若对称轴在y轴的右侧．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，若点P为线段AB上的一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为斜边，在直线AB的同侧作等腰直角三角形△APM和△BPN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标．
（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，求a的取值范围．
解：（1）x1+x2＝﹣2m，x1x2＝8m，
则x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝20，
即（﹣2m）2﹣16m＝20，
解得：m＝5（舍去）或﹣1；
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）令y＝0，则x＝﹣2或4，故点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0），则AB＝6；
设：AP＝a，则PN＝6﹣a，∠MPN＝180°﹣∠MPA﹣∠NPB＝90°；
S△MPN＝×PN×PM
＝a××（6﹣a）
＝a（6﹣a）
＝﹣（a﹣3）2+；
∴当a＝3时，S△MPN最大，此时OP＝1，故点P（1，0）；
（3）函数的对称轴为x＝1，如图，
x＝﹣2.5和x＝关于函数对称轴对称，纵坐标均为，
由图象看，a≥﹣且a+2≤，
解得：﹣≤a≤．