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12.1全等三角形【简答题专练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．
2．在等腰直角三角形ABC中，，，交BC于点F，过F作交BE的延长线于点G，求证：.
3．如图，AB=CD，AD=BC，O为DB的中点，过O点作直线与AD、BC的延长线交于E、F，若∠ADB=60°，EO=10.求∠DBC的度数及FO的长．
4．已知与是两个大小不同的等腰直角三角形．
如图①所示，连接，，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由；
如图②所示，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由．
5．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，
求证：PB=PD．
6．将下图分成四个全等的图形,而且每一份图形中恰好有“巧分图形”四个字.
周长相等的两圆相同，周长相等的两个正方形相同，那么，周长相等的两个三角形全等吗？
8．已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．
9．你能沿虚线把下面图形划分成两个全等图形吗？请找出三种方法．
10．如图，在中，已知是的中点，，求证：．
11．如图，在中，已知，平分，且，求证：．
12．如图，在中，的角平分线交于，且．求证：．
13．如图，在已知中，，点在上，过点的直线分别交于点，交的延长线于点，且．求证：．
14．如图，在中，，点，、分别在边、、上，，，是的中点，求证：．
15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．
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12.1全等三角形【简答题专练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．
【答案】详见解析
【解析】根据AB=BC，AM=MC，得出BM⊥AC，且∠ABM=∠CBM=∠ABC=45°，进而得出△ADM≌△BEM，即可得出DM=EM．
【详解】证明：连接BM，
∵AB＝BC，AM＝MC，
∴BM⊥AC，且∠ABM＝∠CBM＝∠ABC＝45°，
∵AB＝BC，所以∠A＝∠C＝＝45°，
∴∠A＝∠ABM，所以AM＝BM，
∵BD＝CE，AB＝BC，
∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，
在△ADM和△BEM中，
∴△ADM≌△BEM（SAS），
∴DM＝EM，
∴△DEM是等腰三角形．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题关键在于得出BM⊥AC.
2．在等腰直角三角形ABC中，，，交BC于点F，过F作交BE的延长线于点G，求证：.
【答案】见解析
【解析】过C作AB的平行线交AF的延长线于P，证明△ABE≌△CAP，△MCF≌△PCF，得BE=AP．MF=PF，EG=MG，即可推出答案．
【详解】证明：过点C作CP∥AB，交AF的延长线于P，
易证△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAP+∠ABE=90°,∠ACD+∠FMC=90°
∴∠BAP=∠FMC，
又∵AB∥PC，
∴∠BAP=∠P
∴∠FMC=∠P.
∵AF⊥BE,∠BAC=90°，
∵∠BAE=∠ACP=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠PAC+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠PAC,
∵AB=AC，
∴△ABE≌△CAP，
∴BE=AP.
∵CP∥AB,∠ACP=90°,∠ACB=45°，
∴∠MCF=∠PCF=45°，
∵
，
∴△MCF≌△PCF，
∴MF=PF，∠P=∠FMC，
又∵∠FMC=∠GME，
∴∠GEM=∠GME，
∴GE=GM，
则BG=BE+EG=AP+MG
=AF+FP+MG
=AF+FM+MG
=AF+FG，
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解题关键在于作辅助线
3．如图，AB=CD，AD=BC，O为DB的中点，过O点作直线与AD、BC的延长线交于E、F，若∠ADB=60°，EO=10.求∠DBC的度数及FO的长．
【答案】60°；10．
【解析】因为AB=CD,AD=BC,BD=BD,所以△ABD≌△CDB,所以∠ADB=∠DBC=60;因为∠OBF=∠ODE,OB=OD,∠FOB=∠DOE,所以△FOB≌△EOD,则OE=OF=10.
【详解】解:在△ABD和△CDB中，
△ABD≌△CDB.
∠ADB=∠DBC=60,∠OBF=∠ODE,
O为BD中点,
OB=OD,
在△FOB和△EOD中,
△FOB≌△EOD,
OE=OF,
EO=10,
FO=10.
故∠DBC=60，FO=10.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质;此题把全等三角形的判定和性质结合求解.有利于考查学生综合运用数学知识的能力.
4．已知与是两个大小不同的等腰直角三角形．
如图①所示，连接，，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由；
如图②所示，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由．
【答案】（1），，证明见解析；（2），，证明见解析.
【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定定理证明RtBCD≌Rt△ACE，根据全等三角形的性质进行解答即可；
（2）证明△EBD≌△ADF，根据全等三角形的性质证明即可.
【详解】（1），，理由如下：
如图①，延长DB交AE于点H，
∵与是等腰直角三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2），，理由如下：
如图②，设与交于，
由题意得，，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键.
5．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，
求证：PB=PD．
【答案】证明见解析.
【解析】试题分析：易证△ABC和△ADC均为直角三角形，即可证明RT△ABC≌RT△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，即可证明△BAP≌△DAP，可得PB＝PD，即可解题．
试题解析：
∵AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴CB=CD（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠BAD（在一个角的内部，
到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
∵AB=AD，∠BAP=∠ADP，AP=AP
∴△APB≌△APD.(SAS)
∴PB=PD.
（全等三角形的对应边相等）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证RT△ABC≌RT△ADC和△BAP≌△DAP是解题的关键．
6．将下图分成四个全等的图形,而且每一份图形中恰好有“巧分图形”四个字.
【答案】见解析.
【解析】试题分析：要分成四个全等的图形，且每个图形中恰好有“巧分图形”四个字，所以相同的字必须分开，由此分图即可.
试题解析：图(a)中共有36个小方格,平分成4份后,每份应是9个小方格;因为第一份中要有“巧分图形”四个字,所以相同的两个字必须分支;又因为分成的每一份一定要通过大正方形的中心点,所以正方形中间的四个小方格一定是分开的,其中有一块已有“巧”字,它的下面一格一定是与“图”字相连如图(b)
7．周长相等的两圆相同，周长相等的两个正方形相同，那么，周长相等的两个三角形全等吗？
【答案】不一定全等．
【解析】分析:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，周长相等的两个三角形，构成三角形的三条边不一定全部相等，可得周长相等的两个三角形不一定全等．
本题解析:例如，两个三角形的周长均为10，一个三角形的三边长为4，3，3，而另一个三角形的三边长为4，4，2，这两个三角形显然不全等，但当两个三角形为正三角形时，这两个三角形全等．
点睛：本题考查了全等图形的知识，要求学生熟练掌握全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
8．已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．
【答案】∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．
【解析】试题分析：关键是找准对应顶点．
试题解析：解：△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，则∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．
9．你能沿虚线把下面图形划分成两个全等图形吗？请找出三种方法．
【答案】如图所示：
【解析】试题分析：要把图片中的图形分成两个全等的图形，就要组成这两个图形的小正方形的个数相等，且两个图形的形状要一致．
如图所示：
考点：本题考查的是作图—复杂作图
点评：作此类画线平分图形的题，要先观察图形的对称性，然后按自己找出的规律画线最后验证是否符合条件．
10．如图，在中，已知是的中点，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM.构造出两三角形全等，可得MD=DF，三角形EFM中，ED⊥MF，MD=FD，那么ED就是MF的垂直平分线，可得EM=EF，最后根据三角形三边的关系即可证明.
【详解】
证明：延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM.
∵是的中点，
∴．
在与中，
，
∴≌（SAS）
∴．
在中，．
又∵，，
∴．
∴，即．
【点睛】本题考查了全等三角形和三角形三边关系；做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.
11．如图，在中，已知，平分，且，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】在上截取，连结，可得BE=CD，由角平分线的定义可得∠CAD=∠EAD，推出△ACD≌△ADE，易得DE=CD、∠C=∠AED，即DE=BE，由等腰三角形的性质可得∠B=∠BDE，∠CAB=∠B，进而得到∠C=∠DEB=∠DEA，即可得到结论.
【详解】
证明：在上截取，连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
在与中，
，
∴≌．
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
12．如图，在中，的角平分线交于，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】在上截取，易证△ACD≌△AED，则CD=DE，∠C=∠AED，可得DE=BE，由等边对等角可得：∠EDB=∠EBD，由三角形外角定理即可得到结论.
【详解】
证明：在上截取，
∵．
∴．
在和中
，
∴≌．
∴，．
∴D．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理，构造全等三角形、运用等腰三角形的知识是解答本题的关键.
13．如图，在已知中，，点在上，过点的直线分别交于点，交的延长线于点，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】过点作交于，根据平行的性质可得，，再根据等边对等角可得，进而得到，再根据等角对等边可得BE=GE，从而得到GE=CF，利用AAS证得≌，根据全等三角形的性质可得DE=DF.
【详解】
证明：过点作交于
∴，
∵
∴
∴
∴．
又∵
∴．
∵在和中
，
∴≌（AAS）．
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形的判定与性质，构造出全等三角形是解答本题的关键.
14．如图，在中，，点，、分别在边、、上，，，是的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】连结、，根据等腰三角形得到，利用SAS证明△BEF与△CFG全等，最后利用等腰三角形”三线合一”的性质证明即可.
【详解】
证明：连接、
∵
∴．
在与中，
，
∴≌（SAS）．
∴．
∵是的中点，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形和等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定方法是解答本题的关键.
15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．
【答案】80°，50°.
【解析】根据三角形外角与内角的性质及角平分线的性质求出∠
CAB，再利用直角三角形全等的判定定理，得出∠CAP=∠PAF，继而求出即可
【详解】解：如图所示：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA,PM⊥AC，
设∠PCD
=
x°
∵CP平分∠
ACD
∴∠ACP
=∠PCD
=
x°，PM=PN
∵BP平分∠
ABC
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN
∴PM=PF
∵∠BPC=40°
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD?∠BPC=（x?40）°
∴∠CAB=∠ACD?∠ABC=2x°?2（x?40）°=80°
∵PM=PF，AP=AP，PF⊥BA,PM⊥AC
∴Rt△PAF
≌
Rt
△PAM
∴∠CAP=∠PAF=（180°?∠CAB）=
（180°?80°）=50°
故本题答案应为：∠CAB=80°，∠CAP=50°
【点睛】三角形内角与外角的性质及角平分线的性质、直角三角形全等的判定都是本题的考点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.
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