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12.2全等三角形的判定【填空题专练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．如图，把两根钢条AB′、BA′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，若测得AB＝5米，则槽宽为________米．
【答案】5
【解析】连接AB，A′B′，根据O为AB′和BA′的中点，且∠A′OB′=∠AOB即可判定△OA′B′≌△OAB，即可求得A′B′的长度．
【详解】连接AB，A′B′，
O为AB′和BA′的中点，
∴OA′=OB，OA=OB′，
∵∠A′OB′=∠AOB
∴△OA′B′≌△OAB（SAS），
∴A′B′=AB，
又∵AB＝5米
∴A′B′=5米.
故答案是：5．
【点睛】考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质，本题中求证△OA′B′≌△OAB是解题的关键．
2．已知AD是△ABC的一条中线，AB＝9，AC＝7，则AD的取值范围是_____．
【答案】1＜AD＜8
【解析】根据题意画出图形，延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
∵BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD，（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜16，
∴1＜AD＜8．
故答案为1＜AD＜8．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，解题关键在于作辅助线.
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，BE⊥CD，AD=3，DE=4，则BE=
______
．
【答案】7
【解析】根据垂直的定义与直角三角形的两个锐角互余的性质可以推知△ACD≌△CBE（ASA）；最后根据全等三角形的对应边相等知CE=AD=3，由BE=CD=CE+ED求解．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BE⊥CD，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE（等量代换）；
∴在△ACD和△CBE中，
AC=BC，
∠ADC=∠BEC=90°，
∠ACD=∠CBE，
∴△ACD≌△CBE（ASA），
∴CE=AD=3（全等三角形的对应边相等），
∴BE=CD=CE+ED=3+4=7；
故答案为7．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解答该题时，围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定对应线段相等．
4．如图所示：要说明△ABC≌△BAD，已知∠1=∠2，若要以SAS为依据，则可添加一个条件是______；
【答案】AC=BD.
【解析】由∠1=∠2,而AB=BA,要以SAS为依据，判断△ABC≌△BAD,则要已知∠1与∠2的另一边AC与BD相等.
【详解】添加AC=BD,
∵在△ABC和△BAD中,
,
∴△ABC≌△BAD（SAS）,
故答案为:AC=BD.
【点睛】本题主要考查边角边判定定理,解决本题的关键是要熟练掌握边角边判定定理.
5．已知如图，AB=AD，请你添加一个适当的条件______________，使△ABC≌△ADC．
【答案】BC=DC
【解析】根据全等三角形的判定即可写出.
【详解】∵AB=AD，AC=AC,故添加BC=DC，利用SSS证明△ABC≌△ADC，
故填：BC=DC.
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知SSS判定三角形全等.
6．如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是_____．
【答案】∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD
【解析】根据全等三角形的判定解答即可.
【详解】因为AC=BC,
∠C=∠C,
所以添加∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或
CE=CD,可得△ADC与△BEC全等,
利用全等三角形的性质得出AD=BE,
故答案为:
∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD.
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS,ASA,AAS,HL.注意:
AAA、
SSA不能判定两个三角形全等,
判定两个三角形全等时,
必须有边的参与,
若有两边一角对应相等时,
角必须是两边的夹角.
7．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过_____秒时，△DEB与△BCA全等．
【答案】0,4,12,16
【解析】设点E经过t秒时,ΔDEB≌ΔBCA;由斜边ED=CB,分类讨论BE=AC或BE=AB
或AE=0时的情况,求出的值即可.
【详解】解:设点E经过t秒时,
ΔDEB≌ΔBCA;此时AE=3t
分情况讨论:(1)当点E在点B的左侧时,
BE=24-3t=12,
t=4;
(2)当点E在点B的右侧时,
①BE=AC
时,3t=24+12,
t=12;
②
BE=AB时,
3t=24+24,
t=16.
(3)当点E与A重合时,AE=0,t=0;
综上所述,因此,
本题正确答案是:0,4,12,16.
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，注意分类讨论思想的运用.
8．根据以下条件：能用尺规作出唯一的三角形有________（填序号）．
①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角.利用尺规作图，
【答案】①②③
【解析】把尺规作图的唯一性转化成全等三角形的判定,根据全等三角形的判定方法逐项判定即可．
【详解】解：：已知三边,是边边边（SSS）故①正确,已知两边和夹角,满足SAS,可知该三角形是唯一的,故②正确,
已知两角及其夹边,是ASA故③正确,
已知两边及其中一边的对角,可知该三角形不是唯一的,故④错误；
故答案为:①②③.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键,即SSS、SAS、ASA、AAS和HL,注意AAA和SSA不能证明三角形全等．
9．已知下列命题：①若，则；②若，则；③有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中是真命题的个数有_________个．
【答案】1
【解析】根据不等式的性质、
三角形全等的性质和判定、
等腰三角形的性质和判定、
相反数逐个判断即可.
【详解】解:①当b<0时,如果,那么a②若a+b=0,则|a|=|b|正确，故②正确;
③有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等要求角为两边的夹角，所以此两个三角形不一定全等，故③错误;
④底角相等的两个等腰三角形不一定全等,故④错误;
故答案：1.
【点睛】本题主要考查不等式的性质、
三角形全等的性质和判定、
等腰三角形的性质和判定、
相反数等，注意熟记并灵活运用各性质.
10．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中正确的是_____．
【答案】①②④
【解析】利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，再根据图形表示出表示出AE、AF，再整理即可得到AC﹣AB＝2BE．
【详解】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC﹣FC，
∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，
即AC﹣AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故答案为①②④．
【点睛】考核知识点：全等三角形判定“HL”.理解判定定理是关键.
11．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：_____，使△AEH≌△CEB．
【答案】AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE．
【解析】根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
在Rt△AEH中，∠EAH＝90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH＝∠BAD，
∴∠BAD＝90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD＝∠AHE，
∴∠EAH＝∠DCH，
∴∠EAH＝90°﹣∠CHD＝∠BCE，
所以根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；
根据ASA添加AE＝CE．
可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm．动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥MN于E，QF⊥MN于F．则点P运动时间为_____秒时，△PEC与△QFC全等．
【答案】或．
【解析】根据题意化成二种情况,根据全等三角形的性质得出CP=CQ,代入得出关于t的方程,求出即可.
【详解】解:由题意得分为二种情况:
如图1,
P在AC上,Q在BC上,
PE⊥l,QF⊥l,∠PEC=∠QFC=90,
ACB=90,
∠EPC+∠PCE=90,∠PCE+∠QCF=90,
∠EPC=∠QCF,
则△PCE≌△CQF,
PC=CQ,
即5-t=12-3t,解得t=;
当P、Q均在AC上的时候，此时4＜t＜5，
如图：
AP=5-t，CQ=3t-12，
5-t=3t-12，解得t=；
故答案为:或.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的对应边相等.
13．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A(如图1)．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：
如图2所示：
(1)用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；
(2)将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB，所以，直线AB即为所求．
老师说：“小凡的作法正确．”
请回答：小凡的作图依据是_____．
【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】根据平行线的判断方法即可解决问题.
【详解】由图可知，与是一对内错角，且，
直线（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：内错角相等，两直线平行.
【点睛】本题主要考查的是平行线的判定、平移的性质、尺规作图，依据作图过程发现是解题的关键.
14．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝________．
【答案】100°
【解析】试题分析：根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得∠ABC=2∠DBC=2×50°=100°．
考点：角平分线的性质．
15．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF
=
CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是
．（只需写一个，不添加辅助线）
【答案】AC=DF（答案不唯一）
【解析】试题分析：由BF
=
CE，根据等量加等量，和相等，得BF＋FC
=
CE＋FC，即BC=EF；由AC∥DF，根据平行线的内错角相等的性质，得∠ACB=∠DFE，△ABC和△DEF中有一角一边对应相等，
∴根据全等三角形的判定，添加AC=DF，可由SAS得△ABC≌△DEF；添加∠B=∠E，可由ASA得△ABC≌△DEF；添加∠A=∠D，可由AAS得△ABC≌△DEF．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
（1）作出AB边的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD；
（2）下列结论正确的是：?????????????????
?①
BD平分∠ABC；?②
AD=BD=BC；③
△BDC的周长等于AB+BC；
④?
D点是AC中点；
【答案】（1）详见解析；（2）①②③.
【解析】根据线段的垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）求解即可求得答案,（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可.
(2)
由在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,根据等边对等角与三角形内角和定理,即可求得∠ABC与∠C的度数,又由AB的垂直平分线是DE,根据线段垂直平分线的性质,即可求得AD=BD,继而求得∠ABD的度数,则可知BD平分∠ABC,可得△BCD的周长等于AB+BC,又可求得∠BDC的度数，,求得AD=BD=BC,则可求得答案,注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】(1)
(2)
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵AB的垂直平分线是DE,
∴AD=BD,
∴∠ABD=∠A=36°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°=∠ABD,
∴BD平分∠ABC,故①正确,
∴△BCD的周长为:BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故③正确；
∵∠DBC=36°,∠C=72°,
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,
∴∠BDC=∠C,
∴BD=BC,
∴AD=BD=BC,故②正确；
∵BD＞CD,
∴AD＞CD,
∴点D不是线段AC的中点,故④?错误,
故答案为:
①②③.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识,解决本题的关键是注意数形结合思想的应用,注意等腰三角形的性质与等量代换．
17．已知∠α和线段m，n，求作△ABC，使BC＝m，AB＝n，∠ABC＝∠α，作法的合理顺序为________．(填序号即可)
①在射线BD上截取线段BA＝n；②作一条线段BC＝m；③以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α；④连接AC，△ABC就是所求作的三角形．
【答案】②③①④
【解析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可解题.
【详解】解：根据尺规作图方法可知,作∠ABC＝∠α的顺序是②③①④.
【点睛】本题考查了尺规作图的步骤,属于简单题,熟悉尺规作图的步骤是解题关键.
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12.2全等三角形的判定【填空题专练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．如图，把两根钢条AB′、BA′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，若测得AB＝5米，则槽宽为________米．
2．已知AD是△ABC的一条中线，AB＝9，AC＝7，则AD的取值范围是_____．
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，BE⊥CD，AD=3，DE=4，则BE=
______
．
4．如图所示：要说明△ABC≌△BAD，已知∠1=∠2，若要以SAS为依据，则可添加一个条件是______；
5．已知如图，AB=AD，请你添加一个适当的条件______________，使△ABC≌△ADC．
6．如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是_____．
7．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过_____秒时，△DEB与△BCA全等．
8．根据以下条件：能用尺规作出唯一的三角形有________（填序号）．
①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角.利用尺规作图，
9．已知下列命题：①若，则；②若，则；③有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中是真命题的个数有_________个．
10．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中正确的是_____．
11．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：_____，使△AEH≌△CEB．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm．动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥MN于E，QF⊥MN于F．则点P运动时间为_____秒时，△PEC与△QFC全等．
13．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A(如图1)．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：
如图2所示：
(1)用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；
(2)将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB，所以，直线AB即为所求．
老师说：“小凡的作法正确．”
请回答：小凡的作图依据是_____．
14．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝________．
15．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF
=
CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是
．（只需写一个，不添加辅助线）
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
（1）作出AB边的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD；
（2）下列结论正确的是：?????????????????
?①
BD平分∠ABC；?②
AD=BD=BC；③
△BDC的周长等于AB+BC；
④?
D点是AC中点；
17．已知∠α和线段m，n，求作△ABC，使BC＝m，AB＝n，∠ABC＝∠α，作法的合理顺序为________．(填序号即可)
①在射线BD上截取线段BA＝n；②作一条线段BC＝m；③以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α；④连接AC，△ABC就是所求作的三角形．
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