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第12章全等三角形12.3角的平分线的性质【填空题专练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为
．
2．不一定在三角形内部的线段是__（填“角的平分线”或“高线”或“中线”）．
3．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．
4．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝________．
5．如图，在中，，平分，已知，，则的面积是____．
6．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.
由作法得△OCP≌△ODP的根据是_________．
7．如图,在△ABC中,OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过点O作EF∥BC,分别与边AB、AC相交于点E、F,AB=8,AC=7,那么△AEF的周长等于_______.
8．如图，的周长为12，，的平分线相交于点O，于点D，且，则________．
9．如图，中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为________．
10．如图，在中，AD是的平分线，，，则________．
11．在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，
AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
CD=4，AE=10，则四边形ABCD的周长是____________________.
12．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8．若S△ABC=28，则DE=
．
13．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．
14．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=50°，则∠BOC=
．
15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=
cm．
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第12章全等三角形12.3角的平分线的性质【填空题专练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为
▲
．
【答案】4
【解析】作DE⊥AB，则DE即为所求，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．
∵CD=4，∴DE=4．
2．不一定在三角形内部的线段是__（填“角的平分线”或“高线”或“中线”）．
【答案】高
【解析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解．
【详解】三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的概念是解题的关键
3．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．
【答案】1
【解析】由Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，可得S△ABC=AC?BC=(AC+BC+AB)?r，继而可求得答案．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，
∴S△ABC=AC?BC=(AC+BC+AB)?r，
∴3×4=(3+4+5)×r，
解得：r=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握S△ABC=AC?BC=(AC+BC+AB)?r．
4．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝________．
【答案】100°
【解析】试题分析：根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得∠ABC=2∠DBC=2×50°=100°．
考点：角平分线的性质．
5．如图，在中，，平分，已知，，则的面积是____．
【答案】5
【解析】由题意作，交AB于点E，利用角平分线的性质以及三角形面积公式进行分析计算即可求值.
【详解】解：作，交AB于点E，
∵在中，，平分，，
∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵，，
∴的面积是.
故答案为：5.
【点睛】本题主要考查角平分线的性质的应用，注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
6．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.
由作法得△OCP≌△ODP的根据是_________．
【答案】SSS
【解析】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD．以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP．在△OCP和△ODP中，∵OC=OD，OP=OP，CP=DP，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故答案为SSS．
点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．如图,在△ABC中,OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过点O作EF∥BC,分别与边AB、AC相交于点E、F,AB=8,AC=7,那么△AEF的周长等于_______.
【答案】15
【解析】由题易知BE=OE，OF=FC，可得到△AEF的周长实际为AB+AC的长度
【详解】∵EF∥BC
∴∠EOB=∠OBC,
∠FOC=∠COF
∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线
∴∠OBC=∠OBE,
∠FOC=∠OCB
∴∠EOB=∠OBC=∠OBE，∠FOC=∠COF=∠OCB
∴BE=OE，OF=FC
∴△AEF的周长=AE+OE+OF+AF=AE+BE+FC+AF=AB+AC=8+7=15
故填15
【点睛】本题综合了三角形周长计算，等腰三角形性质和平行线性质，能够进行边的替换是解题关键
8．如图，的周长为12，，的平分线相交于点O，于点D，且，则________．
【答案】12
【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O到AB、BC、AC的距离相等，然后利用三角形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点O作于点E，作于点F，连接OA．
，OC分别平分和，，，，．
∵
．
故答案为12．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，掌握性质是解题的关键．
9．如图，中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为________．
【答案】
【解析】本题先通过三角形内角和求解∠BAC与∠BCA的和，继而利用邻补角以及角分线定义求解∠EAC与∠ECA的和，最后利用三角形内角和求解此题．
【详解】∵，
∴，
又∵，，
∴．
∵三角形的外角和的平分线交于点E，
∴，，
∴，
即．
故填：．
【点睛】本题考查三角形内角和公式以及角分线和邻补角的定义，难度较低，按照对应考点定义求解即可．
10．如图，在中，AD是的平分线，，，则________．
【答案】
【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AB、AC的距离相等，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求解．
【详解】是的平分线，
点D到AB，AC的距离相等，
．
过点A作于点E，
，，
．
故答案为:3:4.
【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质与等高的三角形的面积的关系是解题关键．
11．在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，
AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
CD=4，AE=10，则四边形ABCD的周长是____________________.
【答案】28
【解析】根据题意作图，延长AB，作CF⊥AB延长线于F，根据角平分线的性质得到CE=CF，进而得到AE=AF，再根据∠BAD+∠BCD=180°，证明△ECD≌△FCB，得到BF=DE,CD=BC,再根据四边形周长的定义即可求解.
【详解】根据题意作图，延长AB，作CF⊥AB延长线于F，
∵CE⊥AD，AC平分∠BAD，
∴CE=CF，∠BAC=∠DAC，∠F=∠AEC=90°，
又∵AC=AC，
∴△ACF≌△ACE，
∴AE=AF=10，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC+∠FBC=180°
∴∠FBC=∠EDC，
又CF⊥AB，CE⊥AD，CF=CE,
∴△FCB≌△ECD
∴BC=DC=4
∴四边形ABCD的周长
=AB+BC+DC+AD
=AF-BF+CD+CD+AE+DE
=AF+2CD+AE
=2AE+2CD
=28
故填：28.
【点睛】此题主要考查四边形的周长，解题的关键是熟知角平分线的性质及全等三角形的判定.
12．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8．若S△ABC=28，则DE=
．
【答案】4
【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵AB=6，BC=8，
∴S△ABC=AB?DE+BC?DF=×6DE+×8DE=28，
即3DE+4DE=28，
解得DE=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，是基础题，熟记性质是解题的关键．
13．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．
【答案】150°
【解析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
【详解】∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．
故答案为150°
【点睛】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．
14．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=50°，则∠BOC=
．
【答案】115°.
【解析】试题分析：根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=130°，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点O是△ABC角平分线的交点，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB=65°，然后在△OBC中，利用三角形内角和定理列式进行计算∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣65°=115°．
故答案为115°．
考点：三角形内角和定理；角平分线的性质.
15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=
cm．
【答案】3．
【解析】∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°．
∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°．∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中，∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°，
∴△ABC≌△FEC（ASA）．∴AC=EF．
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm．
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