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第12章全等三角形12.3角的平分线的性质【选择题专练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长为(
)
A．12
B．17
C．17或19
D．19
2．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（
）
A．PD＝PE
B．OD＝OE
C．∠DPO＝∠EPO
D．PD＝OP
3．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,∠CAP=∠APQ,PR=PS,下面的结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
6．某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（
）
A．仅有一处
B．有四处
C．有三处
D．有无数处
7．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（
）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点
D．以上均不正确
8．如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分交CD于点E，，，则的面积等于（
）
A．6
B．8
C．9
D．18
9．如图在中，平分交于，于，若，则的周长是（
）
A．
B．
C．
D．
10．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（
）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
11．作的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧使两弧在的内部相交于一点，则这个适当的长度（
）
A．大于
B．等于
C．小于
D．以上都不对
12．如图，在中，，是的平分线，于点，平分，则等于（
）
A．22．5°
B．30°
C．25°
D．40°
13．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点．则下列结论：①；②；③；④连接，平分．其中正确的是（
）．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
14．如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC＝60°，则∠BOC＝（ ）
A．120°
B．125°
C．130°
D．140°
15．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
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精品试卷·第
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第12章全等三角形12.3角的平分线的性质【选择题专练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长为(
)
A．12
B．17
C．17或19
D．19
【答案】C
【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和7，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】当腰为5时，三边长分别为5，5，7，符合三角形的三边关系，则其周长是5×2+7=17；
当腰为7时，三边长为7，7，5，符合三角形三边关系，则其周长是7×2+5=19．
所以其周长为17或19．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；题目涉及分类讨论的思想方法，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
2．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（
）
A．PD＝PE
B．OD＝OE
C．∠DPO＝∠EPO
D．PD＝OP
【答案】D
【详解】∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵OP=OP，
∴Rt△POE≌Rt△POD（HL），
∴OD=OE，∠DPO=∠EPO.
∴A、B、C正确，D错误，
故选D
3．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
4．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【详解】由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
5．如图,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,∠CAP=∠APQ,PR=PS,下面的结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】A
【解析】连接AP，由已知条件利用角平行线的判定可得∠1=∠2，由三角形全等的判定得△APR≌△APS，得AS=AR，由已知可得∠2=∠3，得到∠1=∠3，得QP∥AR，答案可得．
【详解】连接AP，
∵PR=PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，
∴AP是∠BAC的平分线，∠1=∠2，
∴△APR≌△APS，
∴AS=AR，
又AQ=PQ，
∴∠2=∠3，
又∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴QP∥AR，
BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故选A．
【点睛】本题主要考查角平分线的判定和平行线的判定；准确作出辅助线是解决本题的关键，做题时要注意添加适当的辅助线，是十分重要的，要掌握．
6．某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（
）
A．仅有一处
B．有四处
C．有三处
D．有无数处
【答案】A
【解析】利用角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以是三个内角平分线的交点有1个，外角平分线的交点有3个，又要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建，所以只有三个内角平分线的交点符合要求．
【详解】解：∵砂石场到三条公路的距离相等，
∴该点应该是三个角的角平分线的交点，满足条件的点有：
三角形内部：三个内角平分线交点1个；
三角形外部：三个外角角平分线3个，
∵要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建，
∴满足条件的只有1个，即为三个内角的角平分线的交点．
故选A．
【点睛】本题考查了学生对角平分线的性质的理解和掌握．解答此题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理．
7．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（
）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点
D．以上均不正确
【答案】B
【解析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点．
【详解】要使凉亭到草坪三边的距离相等，
凉亭应在三条角平分线的交点处．
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别．
8．如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分交CD于点E，，，则的面积等于（
）
A．6
B．8
C．9
D．18
【答案】A
【解析】作EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EH=DE=2，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于点H．
平分，CD是AB边上的高线，，
，
的面积为，
故选A．
【点睛】本题考查的是三角形高的含义，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．如图在中，平分交于，于，若，则的周长是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题目的已知条件应用AAS易证△CAD≌△EAD，得DE=CD，于是BD+DE=BC=AC=AE，则周长可利用对应边相等代换求解．
【详解】解：如图：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED=90°．
在△CAD和△EAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（AAS），
∴AC=AE，CD=DE．
∵AC=BC，
∴BC=AE．
∴△DEB的周长为：DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=AB=6.
故选择：A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质；解决本题的关键是利用全等把所求的三角形的周长的各边整理到已知的线段上．
10．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（
）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得答案．
【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：D．
【点睛】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
11．作的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧使两弧在的内部相交于一点，则这个适当的长度（
）
A．大于
B．等于
C．小于
D．以上都不对
【答案】A
【解析】根据作已知角的角平分线的方法即可判断．
【详解】因为分别以C，D为圆心画弧时，要保证两弧在的内部交于一点，所以半径应大于，
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
12．如图，在中，，是的平分线，于点，平分，则等于（
）
A．22．5°
B．30°
C．25°
D．40°
【答案】B
【解析】利用全等直角三角形的判定定理HL证得Rt△ACD≌Rt△AED，则对应角∠ADC=∠ADE；然后根据已知条件“DE平分∠ADB”、平角的定义证得∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°；最后由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠B=30°．
【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，
∴CD=ED．
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC=∠ADE（全等三角形的对应角相等）．
∵∠ADC+∠ADE+∠EDB=180°，DE平分∠ADB，
∴∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°．
∴∠B+∠EDB=90°，
∴∠B=30°．
故选：B．
【点睛】此题考查角平分线的性质．解题关键在于掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
13．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点．则下列结论：①；②；③；④连接，平分．其中正确的是（
）．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【答案】D
【解析】①根据角平分线的性质与平角的性质即可判断；②易证证，即可判断；③证明即可判断；④过点作于点，于点，得到，故可判断.
【详解】，分别为，的平分线，，
，故①对。
，，
∴∠F=∠BAP
∴，
，故②对。
由②可知，，，故③对。
过点作于点，于点，
又，，点在的平分线上，故④对
故选D.
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质及全等三角形的判定.
14．如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC＝60°，则∠BOC＝（ ）
A．120°
B．125°
C．130°
D．140°
【答案】A
【解析】由条件可知O为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）．在△BOC中利用三角形的内角和定理可求得∠BOC．
【详解】∵O到三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）．
∵∠A=60°，∴∠OBC+∠OCB=60°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣60°=120°．
故选A．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理，掌握三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
15．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】C
【解析】过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
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