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第12章全等三角形12.3角的平分线的性质【中考真题专练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2019·浙江中考真题）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（
）
A．24
B．30
C．36
D．42
2．（2018·黑龙江大庆?中考真题）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
3．（2018·湖南常德?中考真题）如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（
）
A．6
B．5
C．4
D．
4．（2016·江苏淮安?中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（
）
A．15
B．30
C．45
D．60
5．（2015·福建漳州?中考真题）下列命题中，是假命题的是（
）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
二、填空题
6．（2018·山东东营?中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．
7．（2018·山东德州?中考真题）如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________．
8．（2016·湖南常德?中考真题）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为__________.
9．（2015·贵州毕节?中考真题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝________．
10．（2015·江西南昌?中考真题）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有____对全等三角形．
三、解答题
11．（2015·湖南株洲?中考真题）如图，在ABC中，∠C＝90?，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长
12．（2015·浙江温州?中考真题）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D，
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
13．（2014·广东中考真题）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A
（1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）.
14．（2015·广西河池?中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=AD
（1）作∠A的平分线交CD于E；
（2）过B作CD的垂线，垂足为F；
（3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明．
15．（2018·山东青岛?中考真题）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
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第12章全等三角形12.3角的平分线的性质【中考真题专练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2019·浙江中考真题）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（
）
A．24
B．30
C．36
D．42
【答案】B
【解析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=4，
∴四边形的面积
故选B.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（2018·黑龙江大庆?中考真题）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
【答案】B
【解析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．
【详解】作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.
3．（2018·湖南常德?中考真题）如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（
）
A．6
B．5
C．4
D．
【答案】D
【解析】根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.
【详解】∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE
=3，
故选D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.
4．（2016·江苏淮安?中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（
）
A．15
B．30
C．45
D．60
【答案】B
【解析】解：作DE⊥AB于E，由基本作图可知，AP平分∠CAB．∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=×AB×DE=30．故选B．
5．（2015·福建漳州?中考真题）下列命题中，是假命题的是（
）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
【答案】B
【解析】试题分析：A．对顶角相等，所以A选项为真命题；
B．两直线平行，同旁内角互补，所以B选项为假命题；
C．两点确定一条直线，所以C选项为真命题；
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以D选项为真命题．
故选B．
考点：命题与定理．
二、填空题
6．（2018·山东东营?中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．
【答案】15
【解析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
【详解】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=?AC?DQ=×10×3=15，
故答案为15．
【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
7．（2018·山东德州?中考真题）如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________．
【答案】3
【解析】分析：过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．
【详解】过C作CF⊥AO．
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF．
∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．（2016·湖南常德?中考真题）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为__________.
【答案】3．
【解析】试题分析：如图，过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，已知PC=3，所以PD=3．
考点：角平分线的性质．
9．（2015·贵州毕节?中考真题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝________．
【答案】2
【解析】试题分析：根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．
∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2，
考点：含30度角的直角三角形；角平分线的性质
10．（2015·江西南昌?中考真题）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有____对全等三角形．
【答案】3
【解析】试题分析：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP，
在Rt△AEP与Rt△BFP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴图中有3对全等三角形，
故答案为3．
考点：角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
三、解答题
11．（2015·湖南株洲?中考真题）如图，在ABC中，∠C＝90?，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【解析】（1）考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL”；（2）利用全等得到线段AM＝BE，AM＝AF，利用正方形OECF，得到四边都相等，从而利用OE与BE、AF及AB的关系求出OE的长
【详解】解：（1）过点O作OM⊥AB于点M
∵正方形OECF
∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F
∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E
∴OM＝OE＝OF
∵OM⊥AB于M，
OE⊥BC于E
∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°
∵
∴Rt△AMO≌Rt△AFO
∴∠MA0＝∠FAO
∴点O在∠BAC的平分线上
(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12
∴AB＝13
∴BE＝BM，AM＝AF
又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE
∴BE＝12－OE，AF＝5－OE
∴BM＋AM＝AB
即BE＋AF＝13
12－OE＋5－OE＝13
解得OE＝2
【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，掌握HL定理的判定方法及全等三角形的性质是本题的解题关键.
12．（2015·浙江温州?中考真题）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D，
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠D=75°．
【解析】（1）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB=CD；
（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
【详解】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C．
在△ABE和△DCF中，∠A＝∠D
∠C＝∠B
AE＝DF，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AB=CD．
解：（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，
∵AB=CF，
∴CD=CF．
∴△CDF是等腰三角形，
∵∠C=∠B=30°,
∴∠D=×(180°?30°)＝75°．
【点睛】考核知识点：全等三角形，等腰三角形判定.
13．（2014·广东中考真题）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A
（1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）.
【答案】（1）作图见解析；
（2）DE∥AC.
【解析】(1)、根据角平分线的画法画出角平分线；(2)、根据角平分线的性质和三角形外角的性质得出DE和AC平行.
【详解】解：(1)、如图所示：
（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．
(2)、DE∥AC.
考点：(1)、角平分线的画法；(2)、角平分线的性质.
14．（2015·广西河池?中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=AD
（1）作∠A的平分线交CD于E；
（2）过B作CD的垂线，垂足为F；
（3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明．
【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）△ACE≌△ADE，△ACE≌△CFB．
【解析】试题分析：（1）利用角平分线的作法得出∠A的平分线；
（2）利用钝角三角形高线的作法得出BF；
（3）利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定得出答案．
试题解析：（1）如图所示：AE即为所求；
（2）如图所示：BF即为所求；
（3）如图所示：△ACE≌△ADE，△ACE≌△CFB，
∵AC=AD，AE平分∠CAD，∴AE⊥CD，EC=DE，在△ACE和△ADE中，∵AE=AE，∠AEC=∠AED，EC=ED，∴△ACE≌△ADE（SAS）．
考点：1．作图—复杂作图；2．全等三角形的判定．
15．（2018·山东青岛?中考真题）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析.
【解析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】∵点P在∠ABC的平分线上，
∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵点P在线段BD的垂直平分线上，
∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
如图所示：
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
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