三角形的外角
在一个三角形花坛的外围走一圈,在每一个拐弯的地方都转了一个角度(∠1,∠2,∠3),那么回到原来位置时(方向与出发时相同),一共转了多少度?
1
2
3
导入新课
A
B
C
D
三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
三角形的外角
A
B
C
每一个三角形都有6个外角.
每一个顶点相对应的外角都有2个,且这2个角为对顶角.
思考:画一个△ABC ,你能画出它的所有外角吗?请动手试一试.同时想一想△ABC的外角共有几个呢?
归纳:三角形的外角应具备的条件:
①角的顶点是三角形的顶点;
②角的一边是三角形的一边;
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角.
A
B
C
D
E
若∠BAC=55°,∠ B=60°,试求∠ ACB, ∠ACD, ∠CAE的度数.
分别是65°,115°,125°
练习:图中哪些角是三角形的内角,哪些角是三角形的外角?
内角有:∠B,∠BAC,∠ACB.
外角有:∠EAC,∠ACD.
通过上题的计算,你发现∠ACD, ∠CAE与三角形的内角之间有怎样的数量关系呢?请你试着用自己的语言说一说.你能简述一下推导过程吗?
∠ACD= ∠BAC+∠B; ∠ACD+ ∠ACB=180°.
∠CAE= ∠ACB+∠B; ∠CAE+ ∠BAC=180°.
B
C
A
D
E
三角形外角的性质
D
证明:过C作CE平行于AB,
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B,
(两直线平行,同位角相等)
∠2= ∠A ,
(两直线平行,内错角相等)
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知:如图,△ABC,求证:∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
三角形内角和定理的推论:
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
几何语言:
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
总结
练习.求下列各图中∠1的度数.
30°
60°
1
35°
120°
1
45°
50°
1
90°
95°
85°
2.如图,D是△ABC的BC边上一点,
∠B=∠BAD,∠ADC=80°,
∠BAC=70°.
求:(1)∠B的度数;
(2)∠C的度数.
A
B
C
D
80°
70°
【答案】(1)40° (2) 70°
A
B
C
1
2
3
∠1+∠2 +∠3 = ?
从哪些途径探究这个结果?
三角形的外角和
A
B
C
1
2
3
∠2+ ∠ABC=180°,
∠3+ ∠ACB=180°,
三个式子相加得到
∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠ACB=540°,
而∠BAC+ ∠ABC+∠ACB=180°,
故∠1+ ∠2+ ∠3=360°.
方法一:∠1+ ∠BAC=180°,
解:
解:方法二:过A作AD平行于BC,
∠3=∠4,
B
C
1
2
3
4
A
∠2=∠BAD,
所以, ∠1+ ∠2+ ∠3= ∠1+ ∠4+ ∠BAD=360°.
两直线平行,同位角相等
D
∠2+ ∠ 3= ∠ 4+∠BAD,
结论:三角形的外角和等于360°
练习:判断题:
1.三角形的外角和是指三角形所有外角的和.( )
2.三角形的外角和等于它内角和的2倍.( )
3.三角形的一个外角等于两个内角的和.( )
A
B
C
D
E
F
1
H
2
【例】已知:国旗上的一个五角星如图所示.
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
【解析】设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.
∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和等于180°),
又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义),
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式的性质).
【解析】∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义),
A
B
C
D
E
F
1
H
2
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
1
2
3
360°
A
B
C
D
E
F
【变式】
1.已知△ABC的一个外角为50°,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形或锐角三角形
【解析】 △ABC的一个外角为50°,则与这个外角相邻的内角是130°,所以△ABC一定是钝角三角形.
选B.
随堂演练
2.(昆明·中考)如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,∠A = 80°,∠ACB=60°,那么∠BDC=
( )
A.80° B.90° C.100° D.110°
D
A
B
C
【解析】选D.因为CD是∠ACB的平分线,
所以∠ACD= ×60°=30°,所以
∠BDC=∠A+∠ACD= 80°+ 30°= 110°.
3.(铜仁·中考)一副三角板,如图叠放在一起,∠1的度数是_______度.
【解析】∠1=∠CBE+∠ADB =45°+30°=75°.
【答案】75
4.(潼南·中考)如图,在△ABC中,∠A=80°,点D是BC延长线上一点,∠ACD=150°,则∠B= .
【解析】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,所以∠B=150°-80°=70°?.
【答案】70°
5.已知图中∠A,∠B,∠C分别为80°,20°,30°,求∠1的度数.
B
3
2
1
A
C
D
E
【解析】 ∠1= ∠2+ ∠B= ∠A+ ∠C+ ∠B
= 80°+ 30°+ 20°= 130°.
1.三角形内角和定理的推论:
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的外角和是360°.
课堂小结
谢 谢 观 看!