§2 集合的基本关系
课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系．
1．子集的概念
对于两个集合A与B，如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A______集合B，或集合B______集合A，记作______(或B A)，这时我们说集合A是集合B的子集．
2．Venn图
我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．
3．集合A与集合B相等
对于两个集合A与B，如果集合A中的__________元素都是集合B中的元素，同时集合B中的__________元素都是集合A中的元素，就说集合A与集合B相等，记作______．
4．真子集
对于两个集合A与B，如果________，并且________，就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
5．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即______．
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么____________________________________．
(3)空集是任何集合的______，即 ____A.
一、选择题
1．集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是( )
A．P＝Q B．PQ
C．PQ D．P∩Q＝
2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x＝1} D．{1}
3．对于集合A、B，“A B不成立”的含义是( )
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B中的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
4．下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若 A，则A≠ .
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是( )
6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是( )
A．SPM B．S＝PM
C．SP＝M D．P＝M?S
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)
①M＝{π}，N＝{3.141 59}；
②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；
③M＝{x|－1
④M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}．
8．已知集合A＝{x|19．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．
三、解答题
10．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B A，求实数a的取值范围．
11．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B A，求实数m的取值范围．
能力提升
12．已知集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
13．已知集合A＝{x|11．子集概念的多角度理解
(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝ 时，A B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A B.
拓展 当A不是B的子集时，我们记作“AB”(或BA)．
2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展
(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“ ”表示．
(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：含于( )、包含( )、真包含于()、真包含()等，用这些符号时要注意方向，如A B与B A是相同的．
§2 集合的基本关系
知识梳理
1．任何一个 包含于 包含 A B 3.任何一个 任何一个 A＝B
4．A B A≠B 5.(1)A A (2)A C (3)子集
作业设计
1．B [∵P＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，
∴PQ.]
2．C [由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，
而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.]
3．C
4．B [只有④正确．]
5．B [由N＝{－1,0}，知NM，故选B.]
6．C [运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．]
7．④
解析 只有④中M和N的元素相等，故答案为④.
8．a≥2
解析 在数轴上表示出两个集合，可得a≥2.
9．6
解析 (1)若A中有且只有1个奇数，则A＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；(2)若A中没有奇数，则A＝{2}或 .
10．解 A＝{－3,2}．对于x2＋x＋a＝0，
(1)当Δ＝1－4a<0，即a>时，B＝ ，B A成立；
(2)当Δ＝1－4a＝0，即a＝时，B＝{－}，B A不成立；
(3)当Δ＝1－4a>0，即a<时，若B A成立，
则B＝{－3,2}
∴a＝－3×2＝－6.
综上：a的取值范围为a>或a＝－6.
11．解 ∵B A，
∴①若B＝ ，
则m＋1>2m－1，∴m<2.
②若B≠ ，将两集合在数轴上表示，如图所示．
要使B A，则
解得∴2≤m≤3.
由①、②，可知m≤3.
∴实数m的取值范围是m≤3.
12．6
解析 A可以为 ，{2}，{3}，{7}，{2,3}，{2,7}．
13．解 (1)当a＝0时，A＝ ，满足A B.
(2)当a>0时，A＝{x|又∵B＝{x|－1∴∴a≥2.
(3)当a<0时，A＝{x|∵A B，∴∴a≤－2.
综上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.§3 集合的基本运算
3．1 交集与并集
课时目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
1．一般地，由________________________的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作________(读作“A交B”)，即A∩B＝________________.
2．一般地，由属于________________的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作______(读作“A并B”)，即A∪B＝________________.
3．A∩A＝____，A∪A＝____，A∩ ＝____，A∪ ＝____.
4．若A B，则A∩B＝____，A∪B＝____.
5．A∩B____A，A∩B____B，A____A∪B，
A∩B____A∪B.
一、选择题
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于( )
A．{x|x<1} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1≤x<1}
3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是( )
A．A B B．B C
C．A∩B＝C D．B∪C＝A
4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为( )
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
5．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则( )
A．N∈M B．M∪N＝M
C．M∩N＝M D．M>N
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.
8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1三、解答题
10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}， C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝ .求p，q的值．
11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
能力提升
12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为( )
A．0 B．2
C．3 D．6
13．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．
1．对并集、交集概念全方面的感悟
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．
“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x B；x∈B但x A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
拓展 交集与并集的运算性质，除了教材中介绍的以外，还有A B A∪B＝B，A B A∩B＝A.这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法，十分有效．
§3 集合的基本运算
3．1 交集与并集
知识梳理
1．既属于集合A又属于集合B A∩B {x|x∈A，且x∈B}
2．集合A或属于集合B A∪B {x|x∈A，或x∈B}
3．A A A 4.A B 5.
作业设计
1．A
2．D [由交集定义得{x|－1≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－1≤x<1}．]
3．D [参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A＝B∪C.]
4．D [M、N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，解得]
5．B [由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．]
6．B [∵NM，∴M∪N＝M.]
7．0或1
解析 由A∪B＝A知B A，
∴t2－t＋1＝－3，①
或t2－t＋1＝0，②
或t2－t＋1＝1.③
①无解；②无解；③t＝0或t＝1.
8．1
解析 ∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
9．－1 2
解析 ∵B∪C＝{x|－3∴A∩(B∪C)＝A，
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，
∴a＝－1，b＝2.
10．解 由A∩C＝A，A∩B＝ ，可得：A＝{1,3}，
即方程x2＋px＋q＝0的两个实根为1,3.
∴，∴.
11．解 ∵A∩B＝B，∴B A.
∵A＝{－2}≠ ，∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠ 时，此时a≠0，则B＝{－}，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，得a＝0或a＝.
12．D [x的取值为1,2，y的取值为0,2，
∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.]
13．解 符合条件的理想配集有
①M＝{1,3}，N＝{1,3}．
②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．
③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．
共3个．
3．2 全集与补集
课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算．
1．在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的______，这个给定的集合叫作全集，常用符号____表示．全集含有我们所要研究的这些集合的______元素．
2．设U是全集，A是U的一个子集(即______)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的______(或______)，记作______，即 UA＝___________________.
3．补集与全集的性质
(1) UU＝______；(2) U ＝____；(3) U( UA)＝____；
(4)A∪( UA)＝____；(5)A∩( UA)＝____.
一、选择题
1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则 UA等于( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则 UM等于( )
A．{x|－2C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}
3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩( UB)等于( )
A．{2} B．{2,3} C．{3} D．{1,3}
4．设全集U和集合A、B、P满足A＝ UB，B＝ UP，则A与P的关系是( )
A．A＝ UP B．A＝P
C．AP D．AP
5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩( IS) D．(M∩P)∪( IS)
6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )
A．A∪B B．A∩B
C． U(A∩B) D． U(A∪B)
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m＝________.
8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则 UA＝________， UB＝______， BA＝________.
9．已知全集U，AB，则 UA与 UB的关系是____________________．
三、解答题
10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}， UA＝{5}，求实数a，b的值．
11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪( UB)＝A，求 UB.
能力提升
12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，( UB)∩A＝{9}，则A等于( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3) UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A U；其次是定义 UA＝{x|x∈U，且x A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
3．2 全集与补集
知识梳理
1．子集 U 全部 2.A U 补集 余集 UA {x|x∈U，且x A}
3．(1) (2)U (3)A (4)U (5)
作业设计
1．D [在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成 UA.]
2．C [∵M＝{x|－2≤x≤2}，
∴ UM＝{x|x<－2或x>2}．]
3．D [由B＝{2,5}，知 UB＝{1,3,4}．
A∩( UB)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]
4．B [由A＝ UB，得 UA＝B.
又∵B＝ UP，∴ UP＝ UA.
即P＝A，故选B.]
5．C [依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈ IS，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩( IS)，故选C.]
6．D [由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得 U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]
7．－3
解析 ∵ UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
8．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5}
解析 由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得 UA＝{0,1,3,5,7,8}， UB＝{7,8}， BA＝{0,1,3,5}．
9．( UB)( UA)
解析 画Venn图，观察可知( UB)( UA)．
10．解 ∵ UA＝{5}，∴5∈U且5 A.
又b∈A，∴b∈U，由此得
解得或经检验都符合题意．
11．解 因为B∪( UB)＝A，
所以B A，U＝A，因而x2＝3或x2＝x.
①若x2＝3，则x＝±.
当x＝时，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，}，
此时 UB＝{}；
当x＝－时，A＝{1,3，－}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－}，
此时 UB＝{－}．
②若x2＝x，则x＝0或x＝1.
当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；
当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，
从而 UB＝{3}．
综上所述， UB＝{}或{－}或{3}．
12．D [借助于Venn图解，因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为( UB)∩A＝{9}，所以9∈A，故选D.]
13.
解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.
根据题意有
解得x＝5，即两项都参加的有5人．第一章 集 合
习题课
课时目标 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．
1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于( )
A．{x|x>－1} B．{x|x<3}
C．{x|－12．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N等于( )
A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
3．设集合A＝{x|x≤}，a＝，那么( )
A．aA B．a A
C．{a} A D．{a}A
4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么( IM)∩( IN)是( )
A． B．{d}
C．{b，e} D．{a，c}
5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为________．
6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：
(1)A∪(B∩C)；
(2)A∩( A(B∪C))．
一、选择题
1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则( )
A．P Q B．Q P
C．P RQ D．Q RP
2．符合条件{a}P {a，b，c}的集合P的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
3．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N＋}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N＋}，则下列关系正确的是( )
A．M＝P B．MP
C．PM D．M与P没有公共元素
4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S
C．(M∩S)∩( SP) D．(M∩P)∪( VS)
5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3A．{a|3C．{a|3题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．
7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1 A，x＋1 A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．
8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}， UA＝{5}，则a＝________.
9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则( UM)∪( UN)＝________.
三、解答题
10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？
能力提升
12．对于k∈A，如果k－1 A且k＋1 A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？
13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的长度的最小值．
1．在解决有关集合运算的题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文字语言．
2．集合运算的法则可借助于Venn图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．
习题课
双基演练
1．C [∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，
∴A∩B＝{x|－12．A [画出数轴，将不等式－35在数轴上表示出来，不难看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]
3．D
4．A [∵ IM＝{d，e}， IN＝{a，c}，
∴( IM)∩( IN)＝{d，e}∩{a，c}＝ .]
5．A＝B [4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见A＝B.]
6．解 A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．
(1)B∩C＝{3}，
∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．
(2)B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，
∴ A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}
∴A∩( A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．
作业设计
1．B [Q＝{x|－22．B [集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，
故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．]
3．B [∵a∈N＋，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….
∵b∈N＋，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….
∴MP.]
4．C [阴影部分是M∩S的部分再去掉属于集合P的一小部分，因此为(M∩S)∩( SP)．]
5．B [根据题意可画出下图．
∵a＋2>a－1，∴A≠ .
有解得3≤a≤4.]
6．a≤2
解析 如图中的数轴所示，
要使A∪B＝R，a≤2.
7．1
解析 当x＝1时，x－1＝0 A，x＋1＝2∈A；
当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；
当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4 A；
当x＝5时，x－1＝4 A，x＋1＝6 A；
综上可知，A中只有一个孤立元素5.
8．4
解析 ∵A∪( UA)＝U，由 UA＝{5}知，a2－2a－3＝5，
∴a＝－2，或a＝4.
当a＝－2时，|a－7|＝9,9 U，∴a≠－2.
a＝4经验证，符合题意．
9．{x|x<1或x≥5}
解析 UM＝{x|x<1}， UN＝{x|x<0或x≥5}，
故( UM)∪( UN)＝{x|x<1或x≥5}
或由M∩N＝{x|1≤x<5}，( UM)∪( UN)＝ U(M∩N)
＝{x|x<1或x≥5}．
10．解 (1)∵B＝{x|x≥2}，
∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)∵C＝{x|x>－}，B∪C＝C B C，
∴－<2，∴a>－4.
11.
解 由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18(人)．
12．解 依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．
13．解 在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|≤x≤}，长度为－＝；当n＝且m＝时，M∩N＝{x|≤x≤}，长度为－＝.综上，M∩N的长度的最小值为.§1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．
1．元素与集合的概念
一般地，指定的某些对象的全体称为________，集合中的每个对象叫作这个集合的________．
2．集合中元素的特性：________、________、________.
3．集合相等：只有构成两个集合的元素是________的，才说这两个集合是相等的．
4．元素与集合的关系
(1)如果a在集合A中，就说________，记作____________________________________．
(2)如果a不在集合A中，就说______，记作____________________________________．
5．实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____来表示．
一、选择题
1．下列语句能确定是一个集合的是( )
A．著名的科学家
B．留长发的女生
C．2010年广州亚运会比赛项目
D．视力差的男生
2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B．a A C．a∈A D．a＝A
3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．6 D．2
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
6．由实数x、－x、|x|、及－所组成的集合，最多含有( )
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)
①不超过π的正整数；
②本班中成绩好的同学；
③高一数学课本中所有的简单题；
④平方后等于自身的数．
8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．
9．用符号“∈”或“ ”填空．
－_______R，－3_______Q，－1_______N，π_______Z.
三、解答题
10．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．
11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
能力提升
12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
2．集合中元素的三个性质
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
第一章 集 合
§1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
知识梳理
1．集合 元素 2.确定性 互异性 无序性 3.一样 4.(1)a属于集合A a∈A (2)a不属于集合A a A 5.R Q Z N N＋
作业设计
1．C [选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]
2．C [由题意知A中只有一个元素a，∴0 A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]
3．D [集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]
4．C [因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]
5．B [由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]
6．A [因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．]
7．①④
解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.
8．－1
解析 当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.
9．∈ ∈
10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．
(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．
11．解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－.
12．解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
13．证明 (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴A不可能为单元素集．
第2课时 集合的表示
课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
1．列举法：把集合中的元素__________出来写在大括号内的方法．
2．描述法：用____________表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．
3．空集：把__________的集合叫作空集，记作____．
4．集合的分类
一、选择题
1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
3．将集合表示成列举法，正确的是( )
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)
4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
5．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则有( )
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．2∈A
6．方程组的解集不可表示为( )
A．{(x，y)|} B．{(x，y)|}
C．{1,2} D．{(1,2)}
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，∈N}＝______________.
8．下列可以作为方程组的解集的是__________(填序号)．
(1){x＝1，y＝2}； (2){1,2}；
(3){(1,2)}； (4){(x，y)|x＝1或y＝2}；
(5){(x，y)|x＝1且y＝2}；
(6){(x，y)|(x－1)2＋(y－2)2＝0}．
9．已知a∈Z，A＝{(x，y)|ax－y≤3}且(2,1)∈A，(1，－4) A，则满足条件的a的值为________．
三、解答题
10．用适当的方法表示下列集合：
①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
③不等式x－2>6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
能力提升
12．已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是( )
A．x0∈N
B．x0 N
C．x0∈N或x0 N
D．不能确定
13．对于a，b∈N＋，现规定：
a*b＝.
集合M＝{(a，b)|a*b＝36，a，b∈N＋}
(1)用列举法表示a，b奇偶性不同时的集合M；
(2)当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少个元素？
1．在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
第2课时 集合的表示
知识梳理
1．一一列举 2.确定的条件 3.不含有任何元素
4．(1)有限集 (2)无限集 (3)空集
作业设计
1．B [{x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1,2,3,4}．]
2．D [集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.]
3．B [解方程组得
所以答案为{(2,3)}．]
4．B [方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，
∴x1＝x2＝1，
故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}．]
5．B
6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C不符合．]
7．{5,4,2，－2}
解析 ∵x∈Z，∈N，
∴6－x＝1,2,4,8.
此时x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}．
8．(3)(5)(6)
9．0,1,2
解析 ∵(2,1)∈A且(1，－4) A，
∴2a－1≤3且a＋4>3，
∴－1∴a的取值为0,1,2.
10．解 ①∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
②{x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}；
③{x|x>8}；
④{1,2,3,4,5,6}．
11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．A [M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，
∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，
∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]
13．解 (1)当a，b奇偶性不同时，
a*b＝a×b＝36，
则满足条件的(a，b)有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合M可表示为：
M＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}．
(2)当a与b的奇偶性相同时a*b＝a＋b＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1，
所以当a，b奇偶性相同时这样的元素共有35个．