§3 等比数列
3.1 等比数列(一)
课时目标 1.理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列.2.掌握等比数列的通项公式并能简单应用.3.掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．
1．如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的______都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的______，通常用字母____表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式： __________________________________________________.
3．等比中项的定义
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的________，且G＝________.
一、选择题
1．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27 C．36 D．81
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81 C．128 D．243
3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
4．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )
A. B. C. D.
6．若正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于( )
A. B.
C. D．不确定
二、填空题
7．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
8．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
9．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.
10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
三、解答题
11．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1) (n∈N＋)．
(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．
能力提升
13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
14．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求an的表达式．
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q (与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2 (n∈N＋)．
2．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1共涉及an，a1，q，n四个量．已知其中三个量可求得第四个．
§3 等比数列
3．1 等比数列(一)
答案
知识梳理
1．2 比 公比 q 2.an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)
3．等比中项 ±
作业设计
1．B [由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.]
2．A [∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.]
3．C [设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，
∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.]
4．B [∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.]
5．A [设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)， 解得x＝25，∴这三个数45,75,125，公比q为＝.]
6．A [a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，
∴q3－2q2＋1＝0，∴(q－1)(q2－q－1)＝0 (q≠1)，
∴q2－q－1＝0，∴q＝ (q＝<0舍)
∴＝＝.]
7．4·()n－1
解析 由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
得a＝5，则a1＝4，q＝＝，
∴an＝4·()n－1.
8．18
解析 由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(＋)×32＝18.
9．5
解析 设公比为q，
则 q2＝4，
得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.
10.
解析 设三边为a，aq，aq2 (q>1)，
则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.
较小锐角记为θ，则sin θ＝＝.
11．解 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.
解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18，
∴an＝18×n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，
∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；
当q＝3时，an＝2×3n－3.
12．(1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.
又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
13．－9
解析 由题意知等比数列{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q＝－，∴6q＝－9.
14．(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2.
∴{an＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.
(2)解 由(1)知{an＋1}是等比数列．
公比为2，首项a1＋1＝2.
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.
∴an＝2n－1.
3.1 等比数列(二)
课时目标 1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式.2.掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．
1．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋l，则有________________，特别地，当m＋n＝2k时，am·an＝________.
2．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为________数列．
3．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
3．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则＋＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．5 B．7
C．6 D．4
5．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为( )
A. B.
C．2 D．3
6．在正项等比数列{an}中，an＋1
A. B.
C. D.
二、填空题
7．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.
8．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是________．
三、解答题
11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．
12．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
能力提升
13．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
14．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．
1．等比数列的基本量是a1和q，依据题目条件建立关于a1和q的方程(组)，然后解方程(组)，求得a1和q的值，再解决其它问题．
2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项
不成等比数列来证明，即存在an0，an0＋1，an0＋2，使a2n0＋1≠an0·an0＋2.
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
3．1 等比数列(二)
答案
知识梳理
1．am·an＝ak·al a 2.等比
作业设计
1．C [在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.
∵am＝a1qm－1＝qm－1，
∴m－1＝10，∴m＝11.]
2．B [∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.]
3．C [设等比数列公比为q.由题意知：m＝，n＝，则＋＝＋＝＋＝2.]
4．A [∵a1a2a3＝a＝5，∴a2＝.
∵a7a8a9＝a＝10，∴a8＝.
∴a＝a2a8＝＝，
又∵数列{an}各项为正数，
∴a5＝.
∴a4a5a6＝a＝＝5.]
5．A [∵a4a6＝a，∴a4a5a6＝a＝3，得a5＝.
∵a1a9＝a2a8＝a，
∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3a＝log3＝.]
6．D [设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋17．4
解析 由题意知，q4＝＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4.
8．－6
解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，
∴a＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.
9．8
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，
则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
10.
解析 ∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，
则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1，
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
∴b＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.
若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2<0.
∴b2＝－2，∴＝＝.
11．解 设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，
则由题意得，
解得或.故所求的四个数为3,6,12,18或，，，.
12．证明 设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，
p≠q，cn＝an＋bn.
要证{cn}不是等比数列，
只需证c≠c1·c3成立即可．
事实上，c＝(a1p＋b1q)2＝ap2＋bq2＋2a1b1pq，
c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝ap2＋bq2＋a1b1(p2＋q2)．
由于c1c3－c＝a1b1(p－q)2≠0，因此c≠c1·c3，故{cn}不是等比数列．
13．D [依题意有
①代入③求得b＝2.
从而 a2＋2a－8＝0，
解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，c＝2，即a＝b＝c与已知不符，∴a＝－4.]
14．解 设三个数为，a，aq，∴a3＝－8，即a＝－2，
∴三个数为－，－2，－2q.
(1)若－2为－和－2q的等差中项，则＋2q＝4，
∴q2－2q＋1＝0，q＝1，与已知矛盾；
(2)若－2q为－与－2的等差中项，则＋1＝2q，
2q2－q－1＝0，q＝－或q＝1(舍去)，
∴三个数为4,1，－2；
(3)若－为－2q与－2的等差中项，则q＋1＝，
∴q2＋q－2＝0，∴q＝－2或q＝1(舍去)，
∴三个数为4,1，－2.
综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，－2或－2,1,4.
3.2 等比数列的前n项和(一)
课时目标 1.掌握等比数列前n项和公式的推导方法.2.会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．
1．等比数列前n项和公式：
(1)公式：Sn＝.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝____________.
3．推导等比数列前n项和的方法叫________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．
一、选择题
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11 B．5
C．－8 D．－11
2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )
A．－3 B．5
C．－31 D．33
3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2 B．4
C. D.
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A. B.
C. D.
5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
6．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )
A．514 B．513 C．512 D．510
二、填空题
7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．
10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
三、解答题
11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.
12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．
能力提升
13．已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q
＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．
3．2 等比数列的前n项和(一)
答案
知识梳理
1．(1) na1 2. 3.错位相减
作业设计
1．D [由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.]
2．D [由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，
∴q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.]
3．C [方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，
得＝＋1＋q＋q2＝.
方法二 S4＝，a2＝a1q，∴＝＝.]
4．B [∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，
∴a1＝＝4.
∴S5＝＝8(1－)＝.]
5．C [当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1＝2·3n－1.
由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，∴k＝－1.]
6．D [由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，
得方程组，解得或.
∵q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝＝29－2＝510.]
7．－
解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
8．3
解析 S6＝4S3 ＝ q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)．
∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
9．10
解析 Sn＝，∴－341＝，
∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，
∴n＝10.
10．2n－1
解析 当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，
∴a1＝1.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)
∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N＋.
11．解 ∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组
得①
或②
将①代入Sn＝，可得q＝，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.
将②代入Sn＝，可得q＝2，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.
12．解 分x＝1和x≠1两种情况．
(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.
∴Sn＝－.
综上可得
Sn＝.
13．证明 设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，则Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
当q≠1时，则Sn＝(1－qn)，S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．
又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
14．解 (1)由题意，Sn＝2n＋2－4，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N＋.
(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1，
∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，①
2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2.②
②－①得，
Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2
＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1
＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.
3.2 等比数列的前n项和(二)
课时目标 1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝__________＝__________；当q＝1时，Sn＝_______.
2．等比数列前n项和的性质：
(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)仍构成______数列．(注意：q≠－1或m为奇数)
(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．
(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝______.
3．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B.(2n－1)2
C．4n－1 D.(4n－1)
2．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1，…的前n项和为( )
A．2n－1 B．n·2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为( )
A.或5 B.或5
C. D.
4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A．300米 B．299米 C．199米 D．166米
5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于( )
A．90 B．70 C．40 D．30
6．某市决定从2010年1月1日起到2015年1月1日五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2010年底更新现有总车辆数的(参考数据：1.14≈1.46,1.15≈1.61)( )
A．10% B．16.4%
C．16.8% D．20%
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝________.
8．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
10．在等比数列{an}中，已知S4＝48，S8＝60，则S12＝________.
三、解答题
11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)
参考数据：0.910≈0.35.
12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？
(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)
能力提升
13．有纯酒精a L(a>1)，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.
14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)
1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．
2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题．
3．2 等比数列的前n项和(二)
答案
知识梳理
1. na1 2.(1)等比 (3)q
作业设计
1．D [易知{an}为等比数列且an＝2n－1，
∴{a}也是等比数列，a＝1，公比为4.
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．]
2．D [1＋2＋4＋…＋2n－1＝＝2n－1，
∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.]
3．C [若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，
则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6得9×＝，解得q＝2.
故an＝a1qn－1＝2n－1，＝()n－1.
所以数列{}是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5＝＝.]
4．A [小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．]
5．C [q≠1 (否则S30＝3S10)，
由，∴，
∴，∴q20＋q10－12＝0.
∴q10＝3，∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.]
6．B [该市出租车总数记为1，设2010年底更新其中x部分，
则x＋1.1x＋1.12x＋1.13x＋1.14x＝1，
∴x＝(1＋1.1＋1.12＋1.13＋1.14)－1＝≈16.4%.]
7．1
解析 ∵Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列．
∴an为定值．
∴q＝＝1.
8．729
解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a1＝3，q＝3，
∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a6＝36＝729(只)．
9.
解析 由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．∴a2＝3a3，∴{an}的公比q＝＝.
10．63
解析 方法一 ∵S8≠2S4，∴q≠1.
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝. ③
将③代入①得＝64，
所以S3n＝＝64＝63.
方法二 因为{an}为等比数列，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
11．解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，
公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1 (n≥1)．
(2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)．
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，
即a≤，∴a≤12.3.
故2010年最多出口12.3吨．
12．解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7＝a1·q6＝128×1.56＝1 458(辆)．
(2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
依据题意，得>，
于是Sn＝>5 000(辆)，即1.5n>.
两边取常用对数，则n·lg 1.5>lg ，
即n>≈7.3，又n∈N＋，因此n≥8.
所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
13.8
解析 用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为＝1－，a2＝1－，加水后浓度为＝2，a3＝2，
依次类推：a9＝8，a10＝9.
∴8＋9＝8.
14．解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.63(万元)，
到期时银行贷款的本息为
10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，
∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为
42．63－25.94≈16.7(万元)．
乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，
1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝＝32.50(万元)，
而贷款本利和为
1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×≈17.53(万元)．
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为
32．50－17.53≈15.0(万元)，
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．§4 数列在日常经济生活中的应用
课时目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．
1．有关储蓄的计算
储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．
根据国家规定，个人所得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．
(1)整存整取定期储蓄
一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q，则到期时，所得利息为：________，应纳税为________，实际取出金额为：________________.
(2)定期存入零存整取储蓄
每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，税率为q，则到第n期末时，应得到全部利息为： _________.应纳税为：______________，实际受益金额为__________________．
2．分期付款问题
贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为： _______________________.
一、选择题
1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的是较少的两份之和，则最小的一份的量为( )
A. B. C. D.
2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )
A．1.14a B．1.15a
C．10a(1.15－1) D．11a(1.15－1)
3．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
4．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为( )
A．p B．12p
C．(1＋p)12 D．(1＋p)12－1
5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最大的生产期限是( )
A．5年 B．6年 C．7年 D．8年
二、填空题
6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区2015年的垃圾量为________吨．
7．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了______支铅笔．
8．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．
三、解答题
9．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．
10．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)
能力提升
11．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )
A．5月、6月 B．6月、7月
C．7月、8月 D．8月、9月
12．某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2＝0.3)
从实际问题转化为数列问题，极易出现弄错数列的项数，因此一定要仔细审题，弄清楚数列中的项与实际问题中的时间(例如年份)之间的对应关应．尤其是首项a1代表的实际含义一定要弄清楚．
§4 数列在日常经济生活中的应用
答案
知识梳理
1．(1)nAp nApq nAp(1－q)＋A (2)n(n＋1)Ap n(n＋1)Apq n(n＋1)Ap(1－q)
2.
作业设计
1．A [设公差为d(d>0)，
则5份分别为20－2d,20－d,20,20＋d,20＋2d，
则7(20－2d＋20－d)＝20＋(20＋d)＋(20＋2d)，
解得d＝，最小的一份为20－＝.]
2．D [注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，
1．12a,1.13a,1.14a,1.15a.
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．]
3．B [设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，
∴x＝.]
4．D [设1月份产值为1，年平均增长率为x，依题意得＝(1＋x)，∴x＝(1＋p)12－1.]
5．C [由题意知第一年年产量为a1＝×1×2×3＝3；
以后各年年产量为an＝f(n)－f(n－1)＝3n2，
∴an＝3n2 (n∈N＋)，令3n2≤150，得1≤n≤5，
∴1≤n≤7，故生产期限最长为7年．]
6．a(1＋b)5
7．7 260
解析 从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔，
∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)．
8.[(1＋r)3－1]
解析 设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益最大，三年总收益为(1＋r)3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q，为鼓励储户三年定期存款，应使3q>(1＋r)3－1. 即q>[(1＋r)3－1]．
9．解 方法一 设每期应付款x元．
第1期付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1＋0.008)11(元)．
第2期付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1＋0.008)10(元)，…
第12期付款没有利息．
所以各期付款连同利息之和为x(1＋1.008＋…＋1.00811)＝x，
又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，
于是有x＝2 000×1.00812.
解得x＝＝176(元)．
即每期应付款176元．
方法二 设每期应付款x元，则
第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x
第2期还款后欠款(2 000×1.008－x)×1.008－x＝2 000×1.0082－1.008x－x，
…
第12期还款后欠款2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x，第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0.
∴x＝＝176(元)．即每期应还款176元．
10．解 (1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列．
其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.
∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1.
由题意可知an>0.85bn，
有250＋(n－1)·50>400×1.08n－1×0.85.
由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，
∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
11．C
解析 n个月累积的需求量为Sn，∴第n个月的需求量为
an＝Sn－Sn－1＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]＝(－n2＋15n－9)．
an>1.5，即满足条件，∴(－n2＋15n－9)>1.5，6∴n＝7或n＝8.(可直接代入各个选项进行验证得出答案)
12．解 设该项目逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，…，an.
则由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N＋)．
即an＋1＝an－200.
令an＋1－x＝(an－x)，即an＋1＝an－，
由＝200，∴x＝800.
∴an＋1－800＝(an－800)(n∈N＋)
故数列{an－800}是以a1－800为首项，为公比的等比数列．
∵a1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050.
∴a1－800＝250，∴an－800＝250n－1.
∴an＝800＋250n－1(n∈N＋)．
由题意an≥4 000.∴800＋250n－1≥4 000，即n≥16.
两边取常用对数得nlg ≥lg 16，即n(1－3lg 2)≥4lg 2.
∵lg 2＝0.3，∴0.1n≥1.2，∴n≥12.
即经过12年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标．复习课 数列
课时目标 综合运用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题．
一、选择题
1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( )
1 2
1
a
b
c
A.1 B．2 C．3 D．4
2．已知等比数列{an}，a1＝3，且4a1、2a2、a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于( )
A．33 B．72
C．84 D．189
3．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
4．在公差不为零的等差数列{an}中，a1，a3，a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an等于( )
A．n B．n＋1
C．2n－1 D．2n＋1
5．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n (n≥2，n∈N＋)，则的值是( )
A. B. C. D.
6．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn＝ln an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于( )
A．126 B．130
C．132 D．134
二、填空题
7．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．
8．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是________．
9．如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝______.
10. 等比数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则a13＋a14＋a15＝__________.
三、解答题
11．设{an}是等差数列，bn＝an，已知：b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求等差数列的通项an.
12．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝ (n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．
能力提升
13．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1＋k2＋…＋kn.
14．设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足关系式：
3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t (t>0，n＝2,3,4，…)．
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1＝1，bn＝f (n＝2,3,4，…)．求数列{bn}的通项bn；
(3)求和：b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2n·b2n＋1.
1．等差数列和等比数列各有五个量a1，n，d，an，Sn或a1，n，q，an，Sn.一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和d(或q)，问题可迎刃而解．
2．数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑：①建立基本量的方程(组)求解；②巧用等差数列或等比数列的性质求解；③构建递推关系求解．
复习课 数 列
答案
作业设计
1．A [由题意知，a＝，b＝，c＝，故a＋b＋c＝1.]
2．C [由题意可设公比为q，则4a2＝4a1＋a3，又a1＝3，∴q＝2.
∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×4×(1＋2＋4)＝84.]
3．C [设项数为2n，公比为q.由已知
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1.①
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n. ②
②÷①得，q＝＝2，
∴S2n＝S奇＋S偶＝255＝＝，∴2n＝8.]
4．B [由题意a＝a1a7，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，得a1d＝2d2.
又d≠0，∴a1＝2d，S7＝7a1＋d＝35d＝35.
∴d＝1，a1＝2，an＝a1＋(n－1)d＝n＋1.]
5．C [由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，
∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝，
∴a4＝＋(－1)4，∴a4＝3，
∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，
∴＝×＝.]
6．C [∵{an}是各项不为0的正项等比数列，
∴{bn}是等差数列．
又∵b3＝18，b6＝12，∴b1＝22，d＝－2，
∴Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n，＝－(n－)2＋
∴当n＝11或12时，Sn最大，
∴(Sn)max＝－112＋23×11＝132.]
7．2,4,8
解析 设这三个数为，a，aq.由·a·aq＝a3＝64，得a＝4.
由＋a＋aq＝＋4＋4q＝14.
解得q＝或q＝2.
∴这三个数从小到大依次为2,4,8.
8．5
解析 S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12；S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11.
则，∴S奇＝162，S偶＝192，
∴S偶－S奇＝6d＝30，d＝5.
9．0
解析 ∵a，b，c成等差数列，设公差为d，
则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝－dlogmx＋2dlogmy－dlogmz＝dlogm＝dlogm1＝0.
10．48
解析 易知q≠1，∴，
∴＝1＋q3＝3，∴q3＝2.
∴a13＋a14＋a15＝(a1＋a2＋a3)q12＝S3·q12＝3×24＝48.
11．解 设等差数列{an}的公差为d，
则＝＝an＋1－an＝d.
∴数列{bn}是等比数列，公比q＝d.
∴b1b2b3＝b＝，∴b2＝.
∴，解得或.
当时，q2＝16，∴q＝4(q＝－4<0舍去)
此时，bn＝b1qn－1＝·4n－1＝22n－5.
由bn＝5－2n＝an，∴an＝5－2n.
当时，q2＝，
∴q＝
此时，bn＝b1qn－1＝2·n－1＝2n－3＝an，
∴an＝2n－3.
综上所述，an＝5－2n或an＝2n－3.
12．解 (1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.∵d>0，∴d＝2
∵a1＝1.∴an＝2n－1 (n∈N＋)．
(2)bn＝＝＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.
假设存在整数t满足Sn>总成立，
又Sn＋1－Sn＝－＝>0，
∴数列{Sn}是单调递增的．
∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.
又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.
13．解 由题意知a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)．
∵d≠0，由此解得2d＝a1.
公比q＝＝＝3.∴akn＝a1·3n－1.
又akn＝a1＋(kn－1)d＝a1，
∴a1·3n－1＝a1.
∵a1≠0，∴kn＝2·3n－1－1，
∴k1＋k2＋…＋kn＝2(1＋3＋…＋3n－1)－n＝3n－n－1.
14．(1)证明 由a1＝S1＝1，S2＝1＋a2，
得a2＝，＝.
又3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t，①
3tSn－1－(2t＋3)Sn－2＝3t.②
①－②，得3tan－(2t＋3)an－1＝0.∴＝，(n＝2,3，…)．
∴数列{an}是一个首项为1，公比为的等比数列．
(2)解 由f(t)＝＝＋，
得bn＝f＝＋bn－1.
∴数列{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列．
∴bn＝1＋(n－1)＝.
(3)解 由bn＝，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列．
于是b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1
＝b2(b1－b3)＋b4(b3－b5)＋b6(b5－b7)＋…＋b2n(b2n－1－b2n＋1)
＝－(b2＋b4＋…＋b2n)
＝－·n
＝－(2n2＋3n)．习题课(2)
课时目标 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式；2.掌握数列求和的几种基本方法．
1．等差数列的前n项和公式：Sn＝______________＝____________.
2．等比数列前n项和公式：
①当q＝1时，Sn＝________；
②当q≠1时，Sn＝__________＝____________.
3．数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝________________.
4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：
(1)＝____________；
(2)＝__________________；
(3)＝__________.
一、选择题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )
A．1 B.
C. D.
2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为( )
A．11 B．99 C．120 D．121
3．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )
A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2(1－)
4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是( )
A．n(n＋2) B.n(n＋4)
C.n(n＋5) D.n(n＋7)
5．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
6．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于( )
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n＋1 D．4n－1
二、填空题
7．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．
8．在数列{an}中，an＋1＝，对所有正整数n都成立，且a1＝2，则an＝______.
9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．
10．数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn (n≥1)，则an＝____________.
三、解答题
11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
能力提升
13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
14．已知正项数列{an}的前n项和Sn＝(an＋1)2，求{an}的通项公式．
1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法．
2．求数列前n项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法．
习题课(2)
答案
知识梳理
1. na1＋d
2.①na1②
3.
4.(1)－ (2)(－)(3)－
作业设计
1．B [∵an＝＝－，
∴S5＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.]
2．C [∵an＝＝－，
∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.]
3．A [1＋2＋3＋…＋(n＋)
＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)
＝＋
＝(n2＋n)＋1－
＝(n2＋n＋2)－.]
4．C [a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n.
∴bn＝n＋2，∴bn的前n项和Sn＝.]
5．B [S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9，
S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17，
S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，
所以S17＋S33＋S50＝1.]
6．A [由于an－an－1＝1×2n－1＝2n－1，
那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.]
7．－6
8.
解析 ∵an＋1＝，∴＝＋.
∴是等差数列且公差d＝.
∴＝＋(n－1)×＝＋＝，
∴an＝.
9．1 473
解析 100内所有能被3整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝＝1 683.
100内所有能被21整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210.
∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S1－S2＝1 683－210＝1 473.
10.
解析 an＋1＝Sn，an＋2＝Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝(Sn＋1－Sn)＝an＋1，
∴an＋2＝an＋1 (n≥1)．
∵a2＝S1＝，
∴an＝.
11．解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以
解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝·＝·，
所以Tn＝·(1－＋－＋…＋－)＝·(1－)＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
12．解 (1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
13．A [∵an＋1＝an＋ln，
∴an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－ln n.
又a1＝2，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n－ln(n－1)]
＝2＋ln n－ln 1＝2＋ln n．]
14．解 当n＝1时，a1＝S1，所以a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝(a－a＋2an－2an－1)，
∴a－a－2(an＋an－1)＝0，
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1－2＝0.
∴an－an－1＝2.
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.第一章 数 列
1.1 数列的概念
课时目标 1.理解数列及其有关概念；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．
1．一般地，按一定________排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…简记为数列{an}，其中数列的第1项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项．
2．项数有限的数列称________数列，项数无限的数列称为______数列．
3．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的________公式．
一、选择题
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.，0，，0 D．2,0,2,0
3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )
A．an＝[1＋(－1)n－1]
B．an＝[1－cos(n·180°)]
C．an＝sin2(n·90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．非任何一项
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
6．设an＝＋＋＋…＋ (n∈N＋)，那么an＋1－an等于( )
A. B.
C.＋ D.－
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝.则它的前4项依次为_____．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，那么是这个数列的第______项．
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．
三、解答题
11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，…
(3)，，－，，－，，…
(4)，1，，，… (5)0,1,0,1，…
12．已知数列；
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
能力提升
13．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是____________________________．
14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成
an＝其中k∈N＋.
1.2 数列的函数特性
课时目标 1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．
1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．
3．一般地，一个数列{an}，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项________，那么这个数列叫做常数列．
一、选择题
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数项 D．不能确定
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N＋
B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列第4项是( )
A．1 B.
C. D.
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于( )
A. B.
C. D.
5．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 010的值为( )
A. B.
C. D.
6．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )
A．a1，a30 B．a1，a9
C．a10，a9 D．a10，a30
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.
8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N＋)，则使an>100的n的最小值是________．
9．若数列{an}满足：a1＝1，且＝(n∈N＋)，则当n≥2时，an＝________.
10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实数λ的最小值是________．
三、解答题
11．在数列{an}中，a1＝，an＝1－ (n≥2，n∈N＋)．
(1)求证：an＋3＝an；
(2)求a2 010.
12．已知an＝ (n∈N＋)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
能力提升
13．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N＋，则通项公式an＝________.
14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．
函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N＋或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图像是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图像可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an－1)，则图像呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增 an＋1>an对任意的n (n∈N＋)都成立．类似地，有{an}递减 an＋1§1 数 列
1．1 数列的概念
答案
知识梳理
1．次序 2.有穷 无穷 3.通项
作业设计
1．B 2.A
3．D [令n＝1,2,3,4代入验证即可．]
4．C [n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．]
5．C [令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排除A、B、D，从而选C.]
6．D [∵an＝＋＋＋…＋
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.]
7．4,7,10,15
8．10
解析 ∵＝，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
9．an＝2n＋1
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
10．55
解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
11．解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N＋)．
(2)数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，
(1－0.001)，…，∴an＝(n∈N＋)．
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·(n∈N＋)．
(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得它的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．
(5)an＝或an＝(n∈N＋)或an＝(n∈N＋)．
12．(1)解 设f(n)＝＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)解 令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明 ∵an＝＝＝1－，
又n∈N＋，∴0<<1，
∴0∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令则，
即.∴又∵n∈N＋，∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.
13．an＝＋(－1)n＋1
解析 a＝＋，b＝－，
故an＝＋(－1)n＋1.
14．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
1．2 数列的函数特性
知识梳理
2．正整数集N＋ 函数值 3.第2项 an＋1>an
第2项 an＋1作业设计
1．A 2.B 3.B
4．C [a1a2a3＝32，a1a2＝22，a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，则a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.]
5．C [计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a2 010＝a3＝.]
6．C [∵an＝＝＋1
∴点(n，an)在函数y＝＋1的图像上，
在直角坐标系中作出函数y＝＋1的图像，
由图像易知
当x∈(0，)时，函数单调递减．∴a9当x∈(，＋∞)时，函数单调递减，∴a10>a11>…>a30>1.
所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.]
7．3·21－n
8．12
9.
解析 ∵a1＝1，且＝(n∈N＋)．
∴··…·＝···…·，即an＝.
10．－3
解析 an≤an＋1 n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1) λ≥－(2n＋1)，n∈N＋ λ≥－3.
11．(1)证明 an＋3＝1－＝1－
＝1－
＝1－＝1－＝1－
＝1－(1－an)＝an.
∴an＋3＝an.
(2)解 由(1)知数列{an}的周期T＝3，
a1＝，a2＝－1，a3＝2.
又∵a2 010＝a3×670＝a3＝2，
∴a2 010＝2.
12．解 因为an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)＝n＋1·＝n＋1·，则
当n≤7时，n＋1·>0，
当n＝8时，n＋1·＝0，
当n≥9时，n＋1·<0，
所以a1a10>a11>a12>…，
故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝.
13．－
解析 ∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
… …
an－an－1＝；
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－.
∴an＋1＝1－，∴an＝－.
14.
解析 ∵(n＋1)a－na＋anan＋1＝0，
∴[(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0，
∵an>0，∴an＋an＋1>0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0.
方法一 ＝.
∴····…·＝····…·，
∴＝.
又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
方法二 (n＋1)an＋1－nan＝0，
∴nan＝(n－1)an－1＝…＝1×a1＝1，
∴nan＝1，an＝.习题课(1)
课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．
1．若Sn是数列{an}的前n项和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝.
2．若数列{an}为等差数列，则有：
(1)通项公式：an＝__________；
(2)前n项和：Sn＝______________＝_________________________________________.
3．等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则______________________．
(2)若Sn表示等差数列{an}的前n项和，则
Sk，S2k－Sk，____________成等差数列．
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为( )
A．24 B．22
C．20 D．－8
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝6，则S13等于( )
A．24 B．25
C．26 D．27
3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( )
A．120 B．105
C．90 D．75
5．若{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则Sn>0成立的最大自然数n为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
6．在等差数列{an}中，a1＝－2 008，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 012等于( )
A．－2 012 B．2 012
C．6 033 D．6 036
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sp＝Sq(p，q∈N＋且p≠q)，则Sp＋q＝________.
9．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．
10．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N＋，则数列{an}的通项公式an＝________.
三、解答题
11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
12．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
能力提升
13．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且|a10|A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零
B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零
C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零
D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……………………………
根据以上排列规律，数阵中第n (n≥3)行从左至右的第3个数是______________．
1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n项和公式的出发点．
2．通项公式与前n项和公式联系着五个基本量：a1、d、n、an、Sn.掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．
3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．
习题课(1)
答案
知识梳理
1．S1 Sn－Sn－1 2.(1)a1＋(n－1)d (2)na1＋ 3.(1)am＋an＝ap＋aq
(2)S3k－S2k
作业设计
1．A
2．C [∵a3＋a7＋a11＝6，∴a7＝2，∴S13＝＝13a7＝26.]
3．C [设数列{an}，{bn}的公差分别为d，d′，
则a2＋b2＝(a1＋d)＋(b1＋d′)＝(a1＋b1)＋(d＋d′)＝100.
又∵a1＋b1＝100，∴d＋d′＝0.
∴a37＋b37＝(a1＋36d)＋(b1＋36d′)＝(a1＋b1)＋36(d＋d′)＝100.]
4．B [∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.
∵a1＝5－d，a3＝5＋d，d>0，
∴a1a2a3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80，
∴d＝3，a1＝2.
∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝3a1＋33d＝3×2＋33×3＝105.]
5．A [S4＝S8 a5＋a6＋a7＋a8＝0 a6＋a7＝0，又a1>0，d<0，
S12＝＝0，n<12时，Sn>0.]
6．D [＝a1＋，
∴－＝a1＋d－a1－d＝d＝2.
∴S2 012＝2 012×(－2 008)＋×2＝2 012×3＝6 036.]
7．80
解析 a6＋a7＋…＋a10＝S10－S5＝111－31＝80.
8．0
解析 设Sn＝an2＋bn，由Sp＝Sq.
知ap2＋bp＝aq2＋bq，∴p＋q＝－.
∴Sp＋q＝a(p＋q)2＋b(p＋q)＝a(－)2＋b(－)＝－＝0.
9．5或6
解析 d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0且a3＋a9＝0，
∴a6＝0，∴a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>….
∴当n＝5或6时，Sn取到最大值．
10．n2－2n＋21
解析 ∵an＋1－an＝2n－1，
∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，
an－an－1＝2n－3，n≥2.
∴an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)．
∴an＝20＋＝n2－2n＋21.
11．解 (1)设n分钟后第1次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.
解之得n＝7，n＝－20(舍去)．
第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有
2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解之得n＝15，n＝－28(舍去)．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
12．解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，
又公差d>0，∴a3∴，∴，∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－ (c＝0舍去)．
13．D [∵S19＝＝19a10<0，
S20＝.而a1＋a20＝a10＋a11，
∵a10<0，a11>0且|a10|∴a10＋a11>0，
∴S20＝＝10(a10＋a11)>0.
又∵d＝a11－a10>0.
∴Sn>0 (n≥20)．]
14.－＋3
解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1 (n≥3)行的最后一个数为＝－，则第n行从左至右的第3个数为－＋3.2.1 等差数列(一)
课时目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做________数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示．
2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的__________，并且A＝________.
3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝____________.
4．等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为______数列；若公差d<0，则数列{an}为________数列．
一、选择题
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，则a101的值为( )
A．49 B．50 C．51 D．52
4．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于( )
A. B.
C. D.
5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
6．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2 (n∈N＋)
B．an＝2n＋4 (n∈N＋)
C．an＝－2n＋12 (n∈N＋)
D．an＝－2n＋10 (n∈N＋)
二、填空题
7．已知a＝，b＝，则a、b的等差中项是__________．
8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．
9．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则的值为________．
10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
三、解答题
11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
12．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－ (n≥2)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
能力提升
13．一个等差数列的首项为a1＝1，末项an＝41 (n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．不确定
14．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N＋时，有＝，设bn＝，n∈N＋.
(1)求证：数列{bn}为等差数列．
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个
量，就可以求出另一个量．
3．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.
§2 等差数列
2．1 等差数列(一)
答案
知识梳理
1．等差 公差 2等差中项 3.a1＋(n－1)d 4．递增 递减
作业设计
1．C 2.B 3.D
4．C [∴a＝，b＝x. ∴＝.]
5．B [设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，∴d>0，即d＝2，∴a1＝2.]
6．D [由
所以an＝a1＋(n－1)d，即an＝8＋(n－1)×(－2)，得an＝－2n＋10.]
7.
8．an＝n＋1
解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，
∴a＝.
∴这个等差数列的前三项依次为，，.
∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1.
9.
解析 n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝.
10.解析 设an＝－24＋(n－1)d，
由解得：11．解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
∴ 解得或
所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
12．(1)证明 ∵an＝4－ (n≥2)，
∴an＋1＝4－ (n∈N＋)．
∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.
∴bn＋1－bn＝，n∈N＋.
∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.
(2)解 b1＝＝，d＝.
∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.
∴＝，∴an＝2＋.
13．B [由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d，
d＝为整数，且n≥3.
则n＝3,5,6,9,11,21,41共7个．]
14．(1)证明 当n>1，n∈N＋时，＝ ＝ －2＝2＋ －＝4 bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
∴an＝＝，n∈N＋.
∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.
令an＝＝，
∴n＝11.
即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
2.1 等差数列(二)
课时目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式.2.熟练运用等差数列的常用性质．
1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以____为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
2．已知在公差为d的等差数列{an}中的第m项am和第n项an(m≠n)，则＝____.
3．对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.则在等差数列{an}中，am＋an与ap＋aq之间的关系为______________．
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
2．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A．12 B．8
C．6 D．4
4．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14 B．21
C．28 D．35
5．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182 B．－78
C．－148 D．－82
6．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )
A．p＋q B．0
C．－(p＋q) D.
二、填空题
7．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝_____________________________.
8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
9．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝___________________________.
10．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝________.
三、解答题
11．等差数列{an}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．
12．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
能力提升
13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为( )
A．18 B．9
C．12 D．15
14．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，{bn}：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？
1．在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2．等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
2．1 等差数列(二)
答案
知识梳理
1．d 2.d 3.am＋an＝ap＋aq
作业设计
1．C [由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.]
2．D [由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan＝tan＝－.]
3．B [由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，
∴m＝8.]
4．C [∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，
∴a4＝4.∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.]
5．D [a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.]
6．B [∵d＝＝＝－1，∴ap＋q＝ap＋qd＝q＋q×(－1)＝0.]
7．24
解析 ∵a60＝a15＋45d，∴d＝，∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
8．1
解析 ∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.
∴a2＋a4＋a6＝3a4＝99.
∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.
∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
9.
解析 －＝－＝2d，即d＝.
所以＝＋4d＝＋＝，所以a10＝.
10.
解析 由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.
则＋＝2，∴d＝，
∴这4个根依次为，，，，
∴n＝×＝，
m＝×＝或n＝，m＝，
∴|m－n|＝.
11．解 设an＝a1＋(n－1)d，
则a4a9－a6a7＝(a1＋3d)(a1＋8d)－(a1＋5d)(a1＋6d)
＝(a＋11a1d＋24d2)－(a＋11a1d＋30d2)
＝－6d2<0，所以a4a912．解 ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
13．D [设这7个数分别为a1，a2，…，a7，公差为d，则27＝3＋8d，d＝3.
故a4＝3＋4×3＝15.]
14．解 在数列{an}中，a1＝5，公差d1＝8－5＝3.
∴an＝a1＋(n－1)d1＝3n＋2.
在数列{bn}中，b1＝3，公差d2＝7－3＝4，
∴bn＝b1＋(n－1)d2＝4n－1.
令an＝bm，则3n＋2＝4m－1，∴n＝－1.
∵m、n∈N＋，∴m＝3k(k∈N＋)，
又，解得0∴0<3k≤75，∴0∴k＝1,2,3，…，25
∴两个数列共有25个公共项．
2.2 等差数列的前n项和(一)
课时目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其性质.2.掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系．
1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做____________________________．
例如a1＋a2＋…＋a16可以记作______；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝______ (n≥2)．
2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝__________；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝____________.
3．等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为________．
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则＝.
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13 B．35
C．49 D．63
2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于( )
A. B．2
C. D．4
3．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )
A．－9 B．－11 C．－13 D．－15
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765 B．665 C．763 D．663
6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )
A．3 B．－3 C．－2 D．－1
二、填空题
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则的值是________．
9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
10．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．
三、解答题
11．在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
能力提升
13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10
C．19 D．29
14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好．
2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．
2．2 等差数列的前n项和(一)
答案
知识梳理
1．Sn S16 Sn－1 2. na1＋n(n－1)d
3．(1)
作业设计
1．C [S7＝＝＝49.]
2．A [由题意得：
10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
∴10a1＝5d，∴＝.]
3．D [由a＋a＋2a3a8＝9得
(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.]
4．B [数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.]
5．B [因a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.]
6．B [由
得nd＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.]
7．15
解析 设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，
即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
8.
解析 ＝＝＝.
9．10
解析 S奇＝＝165，
S偶＝＝150.
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，
∴n＝10.
10．210
解析 方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋. 即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
11．解 由得
解方程组得或
12．解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴，
即，解得，
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
13．B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.
当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]
14．D [＝＝＝＝＝7＋，∴n＝1,2,3,5,11.]
2.2 等差数列的前n项和(二)
课时目标 1.熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.
1．前n项和Sn与an之间的关系
对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为
an＝
2．等差数列前n项和公式
Sn＝____________＝______________.
3．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中
当a1>0，d<0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组________ 确定；
当a1<0，d>0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组____________确定．
(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有________值；当d<0时，Sn有________值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
一个有用的结论：
若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于( )
A．n B．n2
C．2n＋1 D．2n－1
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5A．9 B．8 C．7 D．6
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1 B．－1
C．2 D.
6．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
二、填空题
7．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n，(n∈N＋)，则通项an＝________.
8．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和Sn的最大值是________．
9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.
10．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和Sn取到最小值，则k的值是________．
三、解答题
11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
12．已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
能力提升
13．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2 (n∈N＋)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( )
A．Sn>na1>nan B．Sn>nan>na1
C．na1>Sn>nan D．nan>Sn>na1
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N＋都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况能否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．
2．求等差数列前n项和的最值
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图像的
对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．
2．2 等差数列的前n项和(二)
答案
知识梳理
1．S1 Sn－Sn－1 2. na1＋d
3．(1)最大 最小 (2)最小 最大
作业设计
1．D
2．B [等差数列前n项和Sn的形式为：Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.]
3．B [由an＝，∴an＝2n－10.由5<2k－10<8，得7.54．A [方法一 ＝＝ a1＝2d，＝＝＝.
方法二 由＝，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3 S9＝6S3，S12－S9＝S3＋3S3＝4S3 S12＝10S3，所以＝.]
5．A [由等差数列的性质，＝＝＝，∴＝＝×＝1.]
6．C [由S50.又S6＝S7 a7＝0，所以d<0.
由S7>S8 a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0即S97．2n－2
8．169
解析 方法一 利用前n项和公式和二次函数性质．
由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，所以Sn＝25n＋(n－1)×(－2)＝－(n－13)2＋169，
由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 先求出d＝－2，因为a1＝25>0，
由 得
所以当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
方法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，
又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，
故当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
9．10
解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得
(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.
由Sn＝＝＝155，得n＝10.
10．10或11
解析 方法一 由S9＝S12，得d＝－a1，
由，得，
解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，
∴该数列前10项或前11项的和最小．
方法二 由S9＝S12，得d＝－a1，
由Sn＝na1＋d＝n2＋n，
得Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1 (a1<0)，
由二次函数性质可知n＝＝10.5时，Sn最小．
但n∈N＋，故n＝10或11时Sn取得最小值．
11．解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
可解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
12．解 由S2＝16，S4＝24，得
即 解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N＋)．
(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝
13．C [由an＝，
解得an＝5－4n.
∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，
∴nan＝5n－4n2，
∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0.
Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0.
∴na1>Sn>nan.]
14．解 (1)根据题意，有： 整理得：
解之得：－(2)∵d<0，∴a1>a2>a3>…>a12>a13>…，
而S13＝＝13a7<0，∴a7<0.
又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，
∴a6>0.
∴数列{an}的前6项和S6最大．