§2 充分条件与必要条件
2.1 充分条件
2.2 必要条件
课时目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断充分条件和必要条件，会求某些命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
1．“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q.通常记作：p q，读作“p推出q”．此时我们称p是q的______________．
2．如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p q，称p是q的充分条件，同时，我们称q是p的__________．
一、选择题
1．“A＝B”是“sin A＝sin B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
2．“k≠0”是“方程y＝kx＋b表示直线”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．a<0，b<0的一个必要条件为( )
A．a＋b<0 B．a－b>0
C.>1 D.>－1
4．命题p：α是第二象限角；命题q：sin α·tan α<0，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
5．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．“lg x>lg y”是“>”的__________条件．
7．“ab≠0”是“a≠0”的__________条件．
8．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的______条件．
三、解答题
9．已知p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋1是偶函数．
命题“若p，则q”是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？
10.已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．
能力提升
11．“a>0”是“|a|>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2＋2x－8>0或x2－x－6≤0，q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
2．在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．
§2 充分条件与必要条件
2．1 充分条件
2．2 必要条件
知识梳理
1．充分条件 2.必要条件
作业设计
1．A [“A＝B”“sin A＝sin B”，反过来不对．]
2．B [k＝0时，方程y＝kx＋b也表示直线．]
3．A [a<0，b<0?a＋b<0，反之不对．]
4．A [p：α是第二象限角语句q：sin α·tan α<0，反之不能成立．]
5．A
6．充分不必要
解析 由lg x>lg y，得x>y>0，
由>，得x>y≥0.
7．充分不必要
解析 ab≠0a≠0，所以是充分条件；
a≠0，b＝0ab＝0，不必要条件．
8．必要不充分
解析 命题q：α∥β命题p：a与b无公共点，反之不对．
9．解 由f(x)＝ax2＋bx＋1是偶函数，
得f(－x)＝ax2－bx＋1＝ax2＋bx＋1恒成立．
∴bx＝0对任意实数x恒成立，所以b＝0，
同理由b＝0也可以得出f(x)是偶函数．
故“若p，则q”的命题是真命题，它的逆命题是真命题，p既是q的充分条件，又是必要条件．
10．解 由(x－a)2<1，得a－1
由x2－5x－24<0，得－3因为N是M的必要条件，所以，MN.
∴，∴－2≤a≤7.
故a的取值范围是[－2,7]．
11．A [若a>0，则|a|>0，所以“a>0”是“|a|>0”的充分条件；若|a|>0，则a>0或a<0，所以“a>0”不是“|a|>0”的必要条件．]
12．解 由x2－4ax＋3a2<0，a<0，得3a由x2＋2x－8>0或x2－x－6≤0，
可得x<－4或x≥－2.
因为q是p的必要不充分条件，
所以或.
解得－≤a<0或a≤－4.
故实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.
2.3 充要条件
课时目标
1．结合实例，理解充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系.3.会利用充要条件求一些字母的范围，进一步理解数学概念．
1．如果既有p q，又有q p，就记作__________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果pq且qp，则p是q的____________________条件．
2．我们常用“当且仅当”表达充要条件．命题p和命题q互为充要条件，称它们是两个相互等价的命题．
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设集合M＝{x|0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．用符号“ ”或“”填空.
(1)a>b________ac2>bc2；(2)a2c≠0________c≠0.
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－29．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．(填序号)
三、解答题
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
11.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
能力提升
12．已知P＝{x|a－413．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为
l＝max·min，
则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1．判断条件p和结论q之间的关系，可以先尝试确定p、q间的推出关系．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A B证明了必要性；B A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A B证明了充分性；B A证明了必要性．
2．3 充要条件
知识梳理
1．pq 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要
作业设计
1．A [对于“x>0”“x≠0”，反之不一定成立．
因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]
2．B [因为NM.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．]
3．A [若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，
则Δ＝1－4m≥0，因此m≤.
故m<是方程x2＋x＋m＝0有实数解的充分非必要条件．]
4．A [把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件．]
5．A [l⊥αl⊥m且l⊥n，而m，n是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.]
6．B [当a<0时，由韦达定理知x1x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－，所以a不一定小于0.由上述推理可知，“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]
7．(1) (2)?
8．(2，＋∞)
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2－a，即a>2.
9．b≥－2a
解析 由二次函数的图象可知当－≤1，即b≥－2a时，函数y＝ax2＋bx＋c在[1，＋∞)上单调递增．
10．解 (1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
11．证明 ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，
则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当xy>0时，即x>0，y>0，或x<0，y<0，
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
12．解 由题意知，Q＝{x|1∴，解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是[－1,5]．
13．A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，
即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]第一章 常用逻辑用语
§1 命 题
课时目标
1．了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.了解四种命题及四种命题的相互关系，并会判断四种命题的真假．
1．命题的定义
可以判断________、用________或________表述的语句叫作命题，其中______________的命题叫作真命题，______________的命题叫作假命题．
2．命题的结构
一般地，一个命题由________和________两部分组成．在数学中，通常把命题表示为“____________”的形式，其中______是条件，______是结论．
3．四种命题的概念：
(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
4．四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________关系．
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
2．下列命题中，是真命题的是( )
A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集
B．若x2＝1，则x＝1
C．空集是任何集合的真子集
D．x2－5x＝0的根是自然数
3．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( )
A．这个数能被2整除
B．这个数能被3整除
C．这个数既能被2整除，也能被3整除
D．这个数是6的倍数
4．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A B”的逆否命题．
其中的真命题是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．0
6．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．下列命题：①四条边相等的四边形是正方形；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．(填序号)
8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是__________；逆命题是________________；否命题是________________________．
9．有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A B”的逆命题．
其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
三、解答题
10．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)对任意的x∈N，都有x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
能力提升
12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
13．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
1．由命题的定义可知，要判断一个语句是否为命题要抓住能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题．
2．命题有真假之分，真命题是我们学过的公理、定理、公式、法则或可以经过推理证明正确的命题；假命题的判断只需要举一反例即可．
3．一般地，命题都是由条件和结论两部分组成的，对“若p则q”的命题，p是条件，q是结论．在判断命题的条件和结论时，如果一个命题的条件和结论不明显，可以先改写成“若p则q”的形式，然后再进行判断．
4．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假；四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个，2个或4个．
课时作业答案解析
第一章 常用逻辑用语
§1 命 题
知识梳理
1．真假 文字 符号 判断为真 判断为假
2．条件 结论 若p则q p q
3．(1)结论和条件 (2)条件的否定和结论的否定 (3)结论的否定和条件的否定
4．(1)相同 (2)没有
作业设计
1．A [④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，不能作为命题．]
2．D [A中方程在实数范围内无解，故是假命题；B中若x2＝1，则x＝±1，故B是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C是假命题；所以选D.]
3．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]
4．C
5．C [原命题和它的逆否命题为真命题．]
6．A [由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]
7．③
解析 ③是真命题，①四条边相等的四边形也可以是菱形，②平行四边形不是梯形．
8．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
9．②③
10．解 (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1?Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆．
11．解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．
12．B
13．证明 假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.
即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．
∴a＋b≥0.
.