第1章 三角函数
章末复习课
课时目标
1．复习三角函数的基本概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式.2.复习三角函数的图象及三角函数性质的运用．
知识结构
一、填空题
1．已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x＝______.
2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为________．
3．若sin2x>cos2x，则x的取值范围是____________．
4．设|x|≤，则函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值是__________．
5．方程x＝10sin x的根的个数是________．
6．若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[－，]上单调递增，则ω的最大值为________．
7．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|<π)对任意实数t，都有f(t＋)＝f(－t＋)，记g(x)＝Acos(ωx＋φ)－1，则g()＝________.
8．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝________.
9．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．
10．对于函数f(x)＝给出下列四个命题：
①该函数的图象关于x＝2kπ＋ (k∈Z)对称；
②当且仅当x＝kπ＋ (k∈Z)时，该函数取得最大值1；
③该函数是以π为最小正周期的周期函数；
④当且仅当2kπ＋π
其中正确的是________．
二、解答题
11．已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
12．设f(x)满足f(－sin x)＋3f(sin x)＝4sin x·cos x，
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f(x)的最大值．
能力提升
13．当0≤x≤1时，不等式sin≥kx成立，则实数k的取值范围是________．
14．若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为________．
三角函数的性质是本章的重点，在学习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．
章末复习课
作业设计
1.
解析 cos(π＋x)＝－cos x＝，∴cos x＝－<0，
∵x∈(π，2π)，∴x∈(π，π)，
∴sin x＝－，∴tan x＝.
2．－
解析 sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1
＝2×－1＝－.
3．{x|kπ＋解析
sin2x>cos2x |sin x|>|cos x|.
在直角坐标系中作出单位圆及直线y＝x，y＝－x，根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分．
4.
解析 f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x
＝－2＋.
∵|x|≤，∴－≤sin x≤.
∴当sin x＝－时，f(x)min＝.
5．7
解析
如图所示，在同一坐标系中画出函数y＝sin x和y＝(x≥0)的图象．
由图象知当x≥0时，y＝sin x与y＝的图象有4个交点．
由于y＝sin x与y＝都是奇函数，所以当x<0时，两函数的图象有3个交点．所以函数y＝sin x与y＝的图象共有7个交点．即方程x＝10sin x有7个根．
6.
解析
∵f(x)在[－，]上递增，故[－，] [－，]，即≥.∴ω≤.∴ωmax＝.
7．－1
解析 ∵f(t＋)＝f(－t＋)，
即y＝f(x)关于直线x＝对称，
∴sin(ω＋φ)＝±1.
∴ω＋φ＝＋kπ.
∴g()＝Acos(ω＋φ)－1
＝Acos(＋kπ)－1＝－1.
8.
解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为2＝，∴＝，
∴ω＝.
∵当x＝时，y有最小值－1，
因此×＋φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵－π≤φ＜π，∴φ＝.
9.
解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同，
∴ω＝2，∴f(x)＝3sin.
由x∈，得－≤2x－≤π，
∴－≤f(x)≤3.
10．①
解析
f(x)＝max{sin x，cos x}，在同一坐标系中画出y＝sin x与y＝cos x的图象易知f(x)的图象为实线所表示的曲线．由曲线关于x＝2kπ＋ (k∈Z)对称，故①对；当x＝2kπ (k∈Z)或x＝2kπ＋ (k∈Z)时，f(x)max＝1，故②错；该函数以2π为最小正周期，故③错；观察曲线易知，当2kπ＋π11．解 (1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝.
12．解 (1)由已知等式
f(－sin x)＋3f(sin x)＝4sin x·cos x①
得f(sin x)＋3f(－sin x)＝－4sin xcos x②
由3×①－②，得
8f(sin x)＝16sin x·cos x，
故f(x)＝2x.
(2)当0≤x≤1，将函数f(x)＝2x的解析式变形，得f(x)＝2＝2
＝2，当x＝时，fmax＝1.
当－1≤x<0时f(x)<0，故f(x)max＝1.
13．k≤1
解析 设t＝x,0≤x≤1，
则x＝t,0≤t≤，
则sin t≥t在0≤t≤上恒成立．
设y＝sin t，y＝t，图象如图所示．
需y＝sin t在上的图象在函数y＝t的图象的上方，∴·≤1，
∴k≤1.
14.
解析 函数y＝tan向右平移后得到y＝tan＝tan.
又∵y＝tan，∴令－＝＋kπ，
∴ω＝－6k(k∈Z)，由ω>0得ω的最小值为.§1.2 任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数(一)
课时目标
1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号．
1．任意角三角函数的定义
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
一、填空题
1．若角α的终边过点P(5，－12)，则sin α＋cos α＝________.
2．点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为________．
3．若sin α<0且tan α>0，则α是第____象限角．
4．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为________．
5．已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域是________．
6．α是第一象限角，P(x，)为其终边上一点且cos α＝x，则x＝________.
7．已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为________．
8．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．
9．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
10．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝，则m－n＝________.
二、解答题
11．确定下列各式的符号：
(1)tan 120°·sin 273°；(2)；
(3)sin ·cos ·tan π.
12．已知角α终边上一点P(－，y)，且sin α＝y，求cos α和tan α的值．
能力提升
13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是________．
①sin ；②cos ；③tan ；④cos 2θ；⑤sin 2θ.
14．已知角α的终边上一点P(－15a,8a) (a∈R且a≠0)，求α的各三角函数值．
1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．
§1.2 任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数(一)
知识梳理
1.
作业设计
1．－ 2.－
3．三
解析 ∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0，
∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．
4．3
解析 r＝，cos α＝＝＝－.
∵α的终边经过点P，cos α＝－，
∴α为第二象限角，
∴b>0，∴b＝3.
5．{－1,3}
解析 若x为第一象限角，则f(x)＝3；
若x为第二、三、四象限，则f(x)＝－1.
∴函数f(x)的值域为{－1,3}．
6.
解析 r＝，cos α＝，
由＝(x>0)，
解得x＝.
7．－2解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y轴正半轴上，∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－28．负号
解析 ∵<2<π，∴sin 2>0，
∵<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<π，∴tan 4>0.
∴sin 2cos 3tan 4<0.
9.
解析 由任意角三角函数的定义，
tan θ＝＝＝＝－1.
∵sinπ>0，cosπ<0，
∴点P在第四象限．∴θ＝π.
10．2
解析 ∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，且m<0，n<0，n＝3m.
∴OP＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
11．解 (1)∵120°是第二象限角，∴tan 120°<0.
∵273°是第四象限角，∴sin 273°<0.
从而tan 120°·sin 273°>0，∴式子符号为正．
(2)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0.
∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.
从而<0，∴式子符号为负．
(3)∵是第三象限角，是第二象限角，是第四象限角，
∴sin<0，cos<0，tan<0，
从而sin ·cos ·tan <0，
∴式子符号为负．
12．解 sin α＝＝y.
当y＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.
当y≠0时，由＝，解得y＝±.
当y＝时，P，r＝.
∴cos α＝－，tan α＝－.
当y＝－时，P(－，－)，r＝，
∴cos α＝－，tan α＝.
13．③⑤
解析 ∵θ为第一象限角，
∴2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z.
∴kπ<4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z.sin 2θ>0.
当k＝2n (n∈Z)时，2nπ<<2nπ＋ (n∈Z)．
∴为第一象限角，
∴sin >0，cos >0，tan >0.
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，
2nπ＋π<<2nπ＋π (n∈Z)．
∴为第三象限角，
∴sin <0，cos <0，tan >0，
从而tan >0，而4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z，
cos 2θ有可能取负值．
14．解 ∵x＝－15a，y＝8a，
∴r＝＝17|a| (a≠0)．
(1)若a>0，则r＝17a，于是
sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
(2)若a<0，则r＝－17a，于是
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
1．2.1 任意角的三角函数(二)
课时目标
1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.会用三角函数线比较三角函数值的大小．
1．三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是________；余弦函数y＝cos x的定义域是________；正切函数y＝tan x的定义域是________________．
2．三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段________、________、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
一、填空题
1.
如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是________．
①正弦线PM，正切线A′T′；②正弦线MP，正切线A′T′；③正弦线MP，正切线AT；④正弦线PM，正切线AT.
2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为________．
3．在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围为______．
4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是________(用“>”连接)．
5．集合A＝[0,2π]，B＝{α|sin α6．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是________．
7．如果<α<，那么sin α，tan α，cos α按从小到大的顺序排列为________．
8．不等式tan α＋>0的解集是______________．
9．已知α，β均为第二象限角，若sin α10．求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
二、解答题
11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥； (2)cos α≤－.
12．设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．
能力提升
13．求下列函数的定义域．
f(x)＝＋ln.
14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？
当α∈时，求证：sin α<α1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
2．三角函数的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
1．2.1 任意角的三角函数(二)
知识梳理
1．R R {x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}
2．MP OM AT MP OM AT
作业设计
1．③
2.或
解析 角α终边落在直线y＝－x上．
3.
4．sin 1.5>sin 1.2>sin 1
解析 ∵1,1.2,1.5均在内，正弦线在内随α的增大而逐渐增大，
∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.
5.∪ 6.∪
7．cos α解析
如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM8.
解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴.
9．>
解析 作出符合题意的正弦线后，再作出α，β的正切线得tan α>tan β.
10.，k∈Z
解析 如图所示．
∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－∴x∈∪ (k∈Z)．
即x∈ (k∈Z)．
11．解 (1)
图1
作直线y＝交单位圆于A、B，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)
图2
作直线x＝－交单位圆于C、D，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
12．解 ∵θ是第二象限角，
∴2kπ＋<θ<2kπ＋π (k∈Z)，
故kπ＋<作出所在范围如图所示．
当2kπ＋<<2kπ＋ (k∈Z)时，cos 当2kπ＋<<2kπ＋π (k∈Z)时，
sin 13．解 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
14．证明
如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.
因为S△AOP＝OA·MP
＝sin α，
S扇形AOP＝αOA2＝α，S△AOT＝OA·AT＝tan α，
又S△AOP所以sin α<α即sin α<α1．2.2 同角三角函数关系
课时目标
1．理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：________________.
(2)商数关系：________________(α≠kπ＋，k∈Z)
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝________；cos2α＝________；
(sin α＋cos α)2＝________________；
(sin α－cos α)2＝________________；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；
sin α·cos α＝____________＝__________.
(2)tan α＝的变形公式：
sin α＝____________；cos α＝____________.
一、填空题
1．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是________．
2．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝______.
3．若sin α＋sin2α＝1，，则cos2α＋cos4α＝________.
4．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于________．
5．已知tan α＝－，则的值为________．
6．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为________．
7．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝______.
8．已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝________.
9．若sin θ＝，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．
10．若cos α＋2sin α＝－，则tan α＝____.
二、解答题
11．化简：.
12．求证：＝.
能力提升
13．证明：
(1)－＝sin α＋cos α；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
14．已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．
(1)求sin3θ＋cos3θ的值；
(2)求tan θ＋的值．
1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．
3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．
1．2.2 同角三角函数关系
知识梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)tan α＝
2．(1)1－cos2α 1－sin2α 1＋2sin αcos α
1－2sin αcos α 2
cos αtan α
作业设计
1．1 2.－ 3.1 4.－
5．－
解析 ＝
＝＝＝＝－.
6．－8
解析 tan α＋＝＋＝.
∵sin αcos α＝＝－，
∴tan α＋＝－8.
7.
解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝
＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝.
8．－
解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
∵<α<，∴cos α9.
解析 ∵sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，
∴k2＋6k－7＝0，∴k1＝1或k2＝－7.
当k＝1时，cos θ不符合，舍去．
当k＝－7时，sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝.
10．2
解析 方法一 由联立消去cos α后得(－－2sin α)2＋sin2α＝1.
化简得5sin2α＋4sin α＋4＝0
∴(sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－.
∴cos α＝－－2sin α＝－.
∴tan α＝＝2.
方法二 ∵cos α＋2sin α＝－，
∴cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝5，
∴＝5，
∴＝5，
∴tan2α－4tan α＋4＝0，
∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.
11．解 原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝.
12．证明 左边＝
＝
＝＝＝右边．
∴原等式成立．
13．证明 (1)左边＝－
＝－
＝－
＝－
＝
＝sin α＋cos α＝右边．
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)
＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α
∴左边＝右边，∴原式成立．
14．解 (1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a.
∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a2＝1＋2a.
解得：a＝1－或a＝1＋
∵sin θ≤1，cos θ≤1，
∴sin θcos θ≤1，即a≤1，
∴a＝1＋舍去．
∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)
＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)
＝a(1－a)＝－2.
(2)tan θ＋＝＋＝
＝＝＝＝－1－.
1．2.3 三角函数的诱导公式(一)
课时目标
1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．
1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
相关角 终边之间的对称关系
π＋α与α 关于________对称
－α与α 关于________对称
π－α与α 关于________对称
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝________，
cos(α＋2kπ)＝________，
tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(－α)＝________，
cos(－α)＝________，
tan(－α)＝________.
(3)公式三：sin(π－α)＝________，
cos(π－α)＝________，
tan(π－α)＝________.
(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______，
tan(π＋α)＝________.
一、填空题
1．sin 585°的值为________．
2．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.
3．若n为整数，则代数式的化简结果是________．
4．三角函数式的化简结果是______.
5．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________.
6．tan(5π＋α)＝2，则的值为________．
7．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝________.(用k表示)
8．代数式的化简结果是______．
9．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 011)＝1，则f(2 012)＝____.
10．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为________．
二、解答题
11．若cos(α－π)＝－，求的值．
12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.
能力提升
13．化简： (其中k∈Z)．
14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一 将角转化为0～2π求值
公式二 将负角转化为正角求值
公式三 将角转化为0～求值
公式四 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
1．2.3 三角函数的诱导公式(一)
知识梳理
1．原点 x轴 y轴
2．(1)sin α cos α tan α
(2)－sin α cos α －tan α
(3)sin α －cos α －tan α
(4)－sin α －cos α tan α
作业设计
1．－ 2.－ 3.tan α
4．tan α
解析 原式＝＝
＝＝＝tan α.
5．－
解析 由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
∴sin(2π＋α)＝sin α＝－
＝－ (α为第四象限角)．
6．3
解析 原式＝＝＝＝3.
7．－
解析 ∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝.∴tan 80°＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.
8．－1
解析 原式＝
＝＝
＝＝＝－1.
9．3
解析 f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋2＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝2－(asin α＋bcos β)＝1，
∴asin α＋bcos β＝1，
f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋2
＝asin α＋bcos β＋2＝3.
10．－
解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝＝－，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－
＝－＝－.
11．解 原式＝
＝
＝
＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，
∴tan α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，
∴α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)，
∴α＝2kπ＋－β (k∈Z)．
tan(2α＋β)＋tan β＝tan＋tan β
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β
＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β
＝tan(π－β)＋tan β
＝－tan β＋tan β＝0，
∴原式成立．
13．解 当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则
原式＝
＝
＝
＝－1.
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝
＝＝－1.
∴原式的值为－1.
14．解 由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－<0，∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，∴B＝，∴C＝π.
1．2.3 三角函数的诱导公式(二)
课时目标
1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．
1．诱导公式五～六
(1)公式五：sin＝________；
cos＝________.
以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin＝________；
cos＝________.
2．诱导公式五～六的记忆－α，＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
一、填空题
1．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为______．
2．若sin＝，则cos＝________.
3．若sin(3π＋α)＝－，则cos ＝________.
4．已知sin＝，则cos的值等于________．
5．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为________．
6．代数式sin2(A＋15°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．
7．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ＝______.
8．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．
9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
10．已知tan(3π＋α)＝2，则＝________.
二、解答题
11．求证：＝－tan α.
12．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
能力提升
13．化简：sin＋cos (k∈Z)．
14．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式
同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式统一成“k·±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
1．2.3 三角函数的诱导公式(二)
知识梳理
1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α
2．异名 符号
作业设计
1．－
解析 f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
2．－
解析 cos＝cos
＝－sin＝－.
3．－
解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
∴cos＝cos＝－cos
＝－sin α＝－.
4．－
解析 cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
5．－
解析 ∵sin(π＋α)＋cos
＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝.cos＋2sin(2π－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.
6．1
解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)
＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.
7．－
解析 由cos＝－sin φ＝，
得sin φ＝－，
又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－.
8．－
解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－.
9.
解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝.
10．2
解析 原式＝＝＝＝2.
11．证明 左边
＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
12．解 sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α.
∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝，
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝，③
sin α－cos α＝，④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.
13．解 原式＝sin＋cos.
当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则
原式＝sin
＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋
＝sin－cos
＝sin－sin＝0；
当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋sin＝0.
综上所述，原式＝0.
14．解 由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋cos2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．
.§1.1 任意角、弧度
1．1.1 任意角
课时目标
1．了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角．
2．理解象限角与终边相同的角的定义．掌握终边相同的角的表示方法，并会判断角所在的象限．
1．角
(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型 定义 图示
正角 按______________所形成的角
负角 按______________所形成的角
零角 一条射线______________，称它形成了一个零角
2.象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴重合，建立平面直角坐标系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是________________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
一、填空题
1．经过10分钟，分针转了________度．
2．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在______．
3．若α是第四象限角，则180°－α是第____象限角．
4．－2011°是第________象限角．
5．与－495°终边相同的最大负角是________，最小正角是________．
6．已知α为第三象限角，则所在的象限是第________象限．
7．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________________．
8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.
9．集合M＝，
P＝，则M、P之间的关系为________．
10．已知α是小于360°的正角，如果7α角的终边与α的终边重合，则角α的集合是________．
二、解答题
11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
能力提升
13．如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
14．设α是第二象限角，问是第几象限角？
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角．
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
(4)k∈Z这一条件不能少．
第1章 三角函数
§1.1 任意角、弧度
1．1.1 任意角
知识梳理
1．(1)一条射线 端点 旋转 (2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转
2．第几象限角
3．α＋k·360°，k∈Z
作业设计
1．－60 2.x轴的正半轴 3.三
4．二
解析 ∵－2011°＝－6×360°＋149°，且149°是第二象限角，∴－2011°是第二象限角．
5．－135° 225°
解析 －495°＝－360°＋(－135°)，－495°＝－2×360°＋225°.
6．二或四
解析 由k·360°＋180°<α得·360°＋90°<<·360°＋135°，k∈Z.
当k为偶数时，为第二象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．
7．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
8．－110°或250°
解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z.∵－360°<θ<360°，
∴k＝－1或0.
∴θ＝－110°或250°.
9．MP
解析 对集合M来说，x＝(2k±1)45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)45°，即45°的倍数．
10．{60°，120°，180°，240°，300°}
解析 ∵7α角的终边与角α的终边重合，
∴7α＝k·360°＋α(k∈Z)，
∴α＝k·60°，又∵0<α<360°，k∈Z，
∴α＝60°，120°，180°，240°，300°.
∴角α的集合是{60°，120°，180°，240°，300°}．
11．解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
12．解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α∪{α|k·360°＋210°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|k·180°＋30°≤α13．解 终边落在y＝x (x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝x (x≤0) 上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
14．解 当α为第二象限角时，
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋·360°<<60°＋·360°，k∈Z.
当k＝3n时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，此时为第一象限角；
当k＝3n＋1时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，此时为第二象限角；
当k＝3n＋2时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，此时为第四象限角．综上可知是第一、二、四象限角．
1．1.2 弧度制
课时目标
1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．
2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
1．角的单位制
(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．
(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．
2．角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝________ rad 2π rad＝________
180°＝________ rad π rad＝________
1°＝________rad≈0.017 45 rad 1 rad＝________≈57°18′
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝________ l＝________
扇形的面积 S＝________ S＝________＝________
一、填空题
1．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．
2．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
3．集合A＝与集合B＝的关系是________．
4．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________．
5．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其圆心角的弧度数是________．
6．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝________.
7．若角α，β终边关于原点对称，且α＝－，则β角的集合是________．
8．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则角α的集合为________________．
9．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝________.
10．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为________．
二、解答题
11．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
12．如图，动点P，Q从点A(4,0)同时出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒转弧度，点Q按顺时针方向每秒转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧度数．
能力提升
13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．
14．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．
1．1.2 弧度制
知识梳理
1．(1) (2)半径长 1 rad (3)|α|＝ 终边的旋转方向 正数 负数 0
2．2π 360° π 180° °
3. αR αR2 lR
作业设计
1．－π
解析 ∵－π＝－2π＋，∴θ＝－π.
2．25
解析 216°＝216×＝，
l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25.
3．A＝B
4.
解析 r＝，∴l＝|α|r＝.
5．1或4
解析 设扇形半径为r，圆心角为α，
则，
解得或.
6．{α|0≤α≤π}
解析 集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．
7．{β|β＝2kπ＋，k∈Z}
解析 由对称性知，β角的终边与的终边相同，
∴β角的集合是{β|β＝2kπ＋，k∈Z}
8.
解析 由题意，角α与终边相同，则＋2π＝π，
－2π＝－π，－4π＝－π.
9.π或π
解析 －π＋π＝π＝π，
－π＋π＝π＝π.
10．2∶3
解析 设扇形内切圆半径为r，
则r＋＝r＋2r＝a.
∴a＝3r，∴S内切＝πr2.
S扇形＝αr2＝××a2
＝××9r2＝πr2.
∴S内切∶S扇形＝2∶3.
11．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝＝2 rad.
12．解 设第一次相遇所用的时间为t秒．
∵圆的半径为R＝4，∴4(t＋t)＝2π×4，
解得t＝4，
故P点走过 rad，Q点走过－ rad.
答 P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒，P，Q点各自走过的弧度分别为 rad，
－ rad.
13．4
解析 设圆半径为r，则内接正方形的边长为r，圆弧长为4r.
∴圆弧所对圆心角|θ|＝＝4.
14．解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝αR＝ (cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin 60°
＝50 (cm2)．
(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，
∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R
＝－R2＋cR＝－(R－)2＋.
当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是.
.§1.3 三角函数的图象和性质
1．3.1 三角函数的周期性
课时目标
1．了解周期函数，函数的周期、最小正周期.2.掌握形如y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0)的函数周期计算方法T＝.3.会用函数的周期性解决简单实际问题．
1．周期函数的概念
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做________________，非零常数T叫做这个函数的________．
2．最小正周期的概念
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f(x)的最小正周期．
3．y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝______.
一、填空题
1．函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期是________．
2．函数f(x)＝cos的最小正周期为，其中ω<0，则ω＝________.
3．已知函数f(x)＝6cos的最小正周期为，则ω＝________.
4．函数y＝sin3x＋sin x·cos2x的最小正周期是____．
5．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足16．已知函数f(x)＝8sin－2的最小正周期不大于3，则正整数k的最小值是________．
7．函数y＝2sin－cos＋7的最小正周期是________．
8．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
9．已知周期函数f(x)是奇函数，6是f(x)的一个周期，且f(－1)＝1，则f(－5)＝________.
10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为________．
二、解答题
11．求函数y＝3sin的周期．
12．设f(x)是定义在R上且最小正周期为π的函数，在某一周期上
f(x)＝，求f(－)的值．
能力提升
13．若函数f(n)＝sin(n∈Z)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 011)的值．
14．证明：是函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|(x∈R)的最小正周期．
1．“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值．应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝f＝f(2x)，则是f(x)的周期．
2．周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N*)一定也是周期．
并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期．
3．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R(其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝.
§1.3 三角函数的图象和性质
1．3.1 三角函数的周期性
知识梳理
1．周期函数 周期
2．最小的正数 最小的正数 3.
作业设计
1．π
2．－10
解析 本小题考查三角函数的周期公式．
T＝＝ |ω|＝10.
∵ω<0，∴ω＝－10.
3．±3π
解析 T＝＝，∴ω＝±3π.
4．2π
解析 y＝sin3x＋sin x·cos2x
＝sin x(sin2x＋cos2x)＝sin x，周期T＝2π.
5．2或3
解析 T＝，1<<2，<|k|<π，而k∈N k＝2或3.
6．7
解析 由已知≤3，∴|k|≥2π，而k>0，
∴k≥2π，正整数k的最小值是7.
7．4π
解析 y＝2sin－cos＋7
＝2cos－cos＋7
＝cos＋7，
∴T＝＝4π.
8．6
解析 由已知T＝，
∴1<<3，而ω>0，
∴<ω<2π.又ω∈N*，
∴ω＝3,4,5,6，
∴ω的最大值为6.
9．－1
解析 f(－5)＝f(－5＋6)＝f(1)
＝－f(－1)＝－1.
10.
解析 由已知得：f＝f＝f
＝f＝sin＝.
11．解 直接代入公式T＝＝＝.
12．解 ∵f(x)的周期为，
∴f(－)＝f(－＋3×)＝f(π)．
∵π>π>0，∴f(π)＝sinπ＝sin＝，
即f(－)＝.
13．解 f(n)＝sin＝sin(2π＋)＝sin，
f(n＋6)＝sin，
∴f(n)＝f(n＋6)．即6是f(n)的一个周期．
又f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
＝sin＋sinπ＋sin π＋sinπ＋sinπ＋sin 2π
＝0，
且2 011＝6×335＋1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 011)
＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)]＋f(2 011)
＝f(2 011)＝f(1)
＝sin＝.
14．证明 先证明是函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|(x∈R)的一个周期．
∵f＝＋
＝|cos x|＋|－sin x|＝|sin x|＋|cos x|＝f(x)，
∴是函数f(x)的一个周期．
假设不是函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|(x∈R)的最小正周期，T是函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期，0则|sin(x＋T)|＋|cos(x＋T)|＝|sin x|＋|cos x|，x∈R恒成立．
令x＝0，则|sin T|＋|cos T|
＝|sin 0|＋|cos 0|＝1.
∵0∴sin T＋cos T＝1.
另一方面，∵0∴sin T＋cos T>sin2T＋cos2T＝1，矛盾．
所以T不是函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|的周期．
故函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期是.
1．3.2 三角函数的图象与性质(一)
课时目标
1．了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．
1．正弦曲线、余弦曲线
2．“五点法”画图
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________；
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________．
3．正、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x＝sin，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向________平移个单位长度即可．
一、填空题
1．函数y＝sin x的图象的对称中心的坐标为________．
2．函数f(x)＝cos x＋1的图象的对称中心的坐标是________．
3．函数y＝sin x，x∈R的图象向右平移个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．
4．函数y＝的定义域是________________．
5．函数y＝|sin x|的图象的对称轴方程是________．
6．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________．
7．设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________．
8．在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是________．
9．方程sin x＝lg x的解的个数是________．
10．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是______．
二、解答题
11．分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|sin x|，x∈R；
(2)y＝sin|x|，x∈R.
12．作出下列函数的图象，并根据图象判断函数的周期性：
(1)y＝(cos x＋|cos x|)；(2)y＝|sin x＋|.
能力提升
13．求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．
14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．
2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．
1．3.2 三角函数的图象与性质(一)
知识梳理
2．(0,0)，，(π，0)，，(2π，0) (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)
3．左
作业设计
1．(kπ，0)，k∈Z 2.(kπ＋，1)，k∈Z
3．y＝－cos x
解析
∵sin＝－sin＝－cos x，
∴y＝－cos x.
4.，k∈Z
解析 2cos x＋1≥0，cos x≥－，
结合图象知x∈，k∈Z.
5．x＝，k∈Z
解析
函数y＝|sin x|的图象如右图所示，图中虚线与y轴均为对称轴．
6．2
解析 作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解．
7.
解析 由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示：
观察图象知x∈[，π]．
8.
解析
∵sin x>|cos x|，
∴sin x>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈.
9．3
解析 用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．
描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
10．4π
解析
作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，
∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
11．解 (1)y＝|sin x|＝
(k∈Z)．
其图象如图所示，
(2)y＝sin|x|＝，
其图象如图所示，
12．解 (1)y＝(cos x＋|cos x|)＝
作出图象如图1，由图知周期为2π.
图1
(2)y＝|sin x＋|＝
作出图象如图2，由图知周期为2π.
图2
13．解 由题意，x满足不等式组，
即，作出y＝sin x的图象，如图所示．
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．
14．解 f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
图象如图，
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k的取值范围是(1,3)．
1.3.2 三角函数的图象与性质(二)
课时目标
1．能准确迅速绘出正弦曲线和余弦曲线，并会利用图象研究函数的有关性质．
2．掌握y＝sin x与y＝cos x的周期、最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题．
正弦函数、余弦函数的性质：
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域
值域
奇偶性
周期性 最小正周期：________ 最小正周期：______
单调性 在________________________________上单调递增；在___________________________________上单调递减 在____________________________上单调递增；在____________________________上单调递减
最值 在______________________时，ymax＝1；在________________________时，ymin＝－1 在_______________________时， ymax＝1；在____ ____时，ymin＝－1
一、填空题
1．函数y＝sin x和y＝cos x都递增的区间是________．
2．函数y＝sin x－|sin x|的值域为________．
3．函数f(x)＝|sin x|的单调递增区间是__________．
4．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域是________．
5．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．
6．函数y＝的值域是________．
7．sin与sin的大小关系是______．
8．已知sin α>sin β，α∈，β∈，则α＋β与π的大小关系是________．
9．欲使函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是________．
10．已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的序号是________．
①f(cos α)>f(cos β); ②f(sin α)>f(sin β)；
③f(sin α)>f(cos β); ④f(sin α)二、解答题
11．判断函数f(x)＝ln(sin x＋)的奇偶性．
12．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
能力提升
13．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．
14．设01．判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数值域或最值的常用求法
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y的范围．
1．3.2 三角函数的图象与性质(二)
知识梳理
R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) [＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z) [－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z) [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z) x＝＋2kπ (k∈Z) x＝－＋2kπ (k∈Z) x＝2kπ (k∈Z) x＝π＋2kπ (k∈Z)
作业设计
1．[2kπ－，2kπ]，k∈Z
2．[－2,0]
解析 y＝sin x－|sin x|＝
∴y∈[－2,0]．
3.，k∈Z
解析 f(x)＝|sin x|的周期T＝π，且f(x)在区间[0，]上单调递增，∴f(x)的单调增区间为[kπ，kπ＋]，k∈Z.
4.
解析 y＝sin2x＋sin x－1＝(sin x＋)2－，
当sin x＝－时，ymin＝－；
当sin x＝1时，ymax＝1.
5．sin 3解析 ∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
y＝sin x在上递增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)即sin 36．[0,2]
解析 ∵2cos2x＋5sin x－1
＝－2sin2x＋5sin x＋1
＝－2(sin x－)2＋.
∵－1≤sin x≤1，∴2cos2x＋5sin x－1∈[－6,4]．
∵2cos2x＋5sin x－1≥0，∴y∈[0,2]．
7．sin>sin
解析 ∵cosπ＝sin，
∴0而y＝sin x在[0,1]上单调递增．
∴sin>sin.
8．α＋β>π
解析 ∵β∈，
∴π－β∈，且sin(π－β)＝sin β.
∵y＝sin x在x∈上单调递增，
∴sin α>sin β sin α>sin(π－β)
α>π－β α＋β>π.
9.π
解析 要使y在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，
则y在[0,1]上至少含49 个周期，
即，解得ω≥π.
10．④
解析 ∵α＋β>，∴>α>－β>0，
∴sin α>sin，即sin α>cos β.
∴－1<－sin α<－cos β<0，
∵f(x)在[－1,0]上单调递减，
∴f(－sin α)>f(－cos β)，
∴－f(sin α)>－f(cos β)，∴f(sin α)11．解 ∵sin x＋≥sin x＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，
∴对x∈R都有sin x＋>0.
∵f(－x)＝ln(－sin x＋)
＝ln(－sin x)
＝ln(＋sin x)－1
＝－ln(sin x＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
12．解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5.
由，解得.
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5.
由，解得.
13.
解析 要使函数f(x)＝2sin ωx (ω>0)在区间[－，]上的最小值是－2，则应有≤或T≤，即≤或≤π，解得ω≥或ω≥6.
∴ω的最小值为.
14．解 f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1
＝－(sin x＋)2＋b＋1＋，
∵0当sin x＝－，f(x)max＝b＋1＋，
当sin x＝1时，f(x)min＝b－a.
故由题意知，
∴
1.3.2 三角函数的图象与性质(三)
课时目标
1．了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．
函数y＝tan x的性质与图象见下表：
y＝tan x
图象
定义域
值域
周期 最小正周期为________
奇偶性
单调性 在开区间________________________内递增
一、填空题
1．函数y＝的定义域是________．
2．函数y＝tan(＋)的单调增区间为________．
3．下列函数中，在上单调递增，且以π为周期的偶函数是________．(填相应函数的序号)
①y＝tan|x|; ②y＝|tan x|；
③y＝|sin 2x|; ④y＝cos 2x.
4．函数f(x)＝sin x＋tan x，x∈[－，]的值域为________．
5．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值为__________．
6．不等式tan≥－1的解集是____________．
7．函数y＝3tan的对称中心的坐标是_________________________________．
8．已知a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c按从小到大的排列是________．
9．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围是________．
10．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是________．(只填相应序号)
二、解答题
11．判断函数f(x)＝lg 的奇偶性．
12．作出函数y＝tan |x|的图象，根据图象判断其周期性，并求出单调区间．
能力提升
13．已知函数y＝tan x在区间(－π，π)上递增，求a的取值范围．
14．作出函数y＝(tan x＋|tan x|)的图象，并写出单调增区间．
1．正切函数y＝tan x在每段区间 (k∈Z)上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间 (k∈Z)．正切函数无单调减区间．
2．正切函数是奇函数，图象关于原点对称，且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(，0) (k∈Z)．正切函数的图象无对称轴，但图象以直线x＝kπ＋ (k∈Z)为渐近线．
1．3.2 三角函数的图象与性质(三)
知识梳理
{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z} R π 奇函数 (k∈Z)
作业设计
1．[kπ＋，kπ＋)，k∈Z.
2．(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
解析 由kπ－<＋2kπ－3．②
4．[－，]
解析 易知f(x)＝sin x＋tan x在x∈[－，]上为递增函数．
∴f()≤f(x)≤f()．
即f(x)∈[－，]
5．0
解析 由题意，T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.
6. (k∈Z)
解析 由kπ－≤2x－解得≤x<＋π，k∈Z.
7. (k∈Z)
解析 由x＋＝ (k∈Z)，
得x＝－ (k∈Z)．
∴对称中心坐标为 (k∈Z)．
8．b解析 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan(2－π)即tan 29．[－1,0)
解析 若ω≥0，与y＝tan ωx在内递减矛盾．
∴ω<0.
由－<ωx<(ω<0)解得
由题意知：≤，∴|ω|≤1.
∵ω<0，∴－1≤ω<0.
10．④
解析 当当x＝π时，y＝0；当πtan x>sin x，y＝2sin x．故填④.
11．解 由>0，得tan x>1或tan x<－1.
∴函数定义域为
∪(k∈Z)
关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg
＝lg＝lg 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
12．解 y＝tan |x|＝
根据y＝tan x的图象，可作出y＝tan |x|的图象(如图所示)．
由图可知，函数y＝tan |x|不是周期函数，它是单调减区间为(－，0]，(kπ－，kπ－)，k＝0，－1，－2，…；单调增区间为[0，)，(kπ＋，kπ＋)，k＝0,1,2，….
13．解 由π>－π，得a>0.
故知(－π，π) (－，)，得
故014．解 y＝(tan x＋|tan x|)
＝
图象如图所示，单调增区间为[kπ，kπ＋)，k∈Z.
1．3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
课时目标
1．了解φ、ω、A对函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.2.掌握y＝sin x与f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系．
用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
y＝sin(x＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有的点________(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到．
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A>1时)或________(当04．函数y＝sin x的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程．
一、填空题
1．要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象向左平移________个单位．
2．将函数y＝sin的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为____________．
3．为得到函数y＝cos x的图象，可以把y＝sin x的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是__________．
4．函数y＝sin在区间上的简图是________．(填正确图象的代码)
5．为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin x的图象________．
①向左平移个单位长度；
②向右平移个单位长度；
③向左平移个单位长度；
④向右平移个单位长度．
6．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_______________________．
7．把函数y＝sin x (x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数的解析式是________．
8．把函数y＝3sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|≤π)的图象向左平移个单位，再将图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y＝3sin x，则ω＝________，φ＝________.
9．某同学给出了以下论断：
①将y＝cos x的图象向右平移个单位，得到y＝sin x的图象；
②将y＝sin x的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；
③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象；
④函数y＝sin的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位而得到的．
其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．
10．设ω>0，函数y＝sin＋2的图象向右平移π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是__________．
二、解答题
11．请叙述函数y＝cos x的图象与y＝－2cos＋2的图象间的变换关系．
12．已知函数f(x)＝sin (x∈R).
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．
能力提升
13．要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象________．
①向左平移个单位；
②向右平移个单位；
③向左平移个单位；
④向右平移个单位．
14．使函数y＝f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，然后再 将其图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y＝sin 2x的图象相同，则f(x)的表达式为____________________.
1．由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很容易出错的地方，应特别注意．
2．类似地y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到．
1．3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
知识梳理
1．向左 向右 |φ|
2．缩短 伸长 不变
3．伸长 缩短 A [－A，A] A －A
4．y＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)
作业设计
1.π 2.y＝cos 2x
3.π
解析 y＝sin x＝cos＝cos向右平移φ个单位后得y＝cos，
∴φ＋＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，k∈Z.
∴φ的最小正值是π.
4．①
解析 由各图象特点，知可选用－和这两个特殊值来断定．
当x＝－时，y＝sin＝；
当x＝时，y＝sin 0＝0.
符合这两个特点的只有①.
5．③
解析 ∵y＝sin x＝cos，
又x－＋＝＋x，
∴只需将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，便可得到y＝cos的图象．
6．y＝sin
解析
y＝sin
y＝sin .
7．y＝sin
解析 将y＝sin x图象上的所有的点向左平移个单位长度得到y＝sin.再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得y＝sin.
8．2 －
解析
y＝3sin 2＝3sin，
∴ω＝2，φ＝－.
9．①③
10.
解析 向右平移π得
y＝sin＋2
＝sin＋2.
因为与原函数图象相同，故－ω＝2nπ(n∈Z)，
∴ω＝－n(n∈Z)，∵ω>0，∴ωmin＝.
11．解 ∵y＝－2cos＋2
＝2cos＋2
＝2cos 2＋2
先将y＝cos x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到y＝cos 2x的图象．
再将y＝cos 2x的图象向左平移个单位，
则得到y＝cos，即y＝cos的图象，再将y＝cos的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，即得函数y＝2cos的图象．
最后，沿y轴向上平移2个单位所得图象即是
y＝2cos＋2的图象．
即得到函数y＝－2cos＋2的图象．
12．解 (1)由已知函数化为y＝－sin.欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π (k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为 (k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos 2.
∵y＝cos 2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位即可．
13．①
解析 y＝sin 2x＝cos＝cos
＝cos＝cos
y＝cos[2(x－＋)－]＝cos(2x－)．
14．y＝sin
解析 方法一 正向变换
y＝f(x)
y＝f，
即y＝f，
所以f＝sin 2x.
令2x＋＝t，则2x＝t－，
∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin.
方法二 逆向变换
据题意，
y＝sin 2＝sin
y＝sin.
1．3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
课时目标
1．会用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.明确函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)中常数A、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念.3.了解函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性(如对称轴，对称中心)．
1．简谐振动
简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中，________叫做振幅，周期T＝________，频率f＝________，相位是________，初相是________．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下：
定义域 R
值域
周期性 T＝____________
奇偶性 φ＝____________时是奇函数；__________时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是__________函数
单调性 单调增区间可由______________________得到，单调减区间可由________________________得到
一、填空题
1．若函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)为偶函数，则φ满足的条件是________．
2．函数y＝－3sin (x≥0)的初相是______．
3．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是__________．
4.
函数y＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则该函数的解析式为______________．
5．把函数y＝cos的图象向右平移φ(φ>0)个单位，正好关于y轴对称，则φ的最小值为__________．
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.
7．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值为______．
8．如
图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－，]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向____平移______个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的______倍，纵坐标不变．
9．设函数f(x)＝2sin，若对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为____．
10．关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图像关于对称；
④y＝f(x)图像关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．
二、解答题
11．如图为函数y1＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的一个周期的图象．
(1)写出y1的解析式；
(2)若y2与y1的图象关于直线x＝2对称，写出y2的解析式；
(3)指出y2的周期、频率、振幅、初相．
12．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
能力提升
13．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a＝________.
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
1．3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
知识梳理
1．A ωx＋φ φ
2．[－A，A] kπ (k∈Z) φ＝＋kπ (k∈Z) 非奇非偶 2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z) 2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)
作业设计
1．φ＝＋kπ (k∈Z)
2．－
解析 由诱导公式可知y＝－3sin
＝3sin，故初相为－.
3．x＝－
解析 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．
由k＝0，得x＝；
由k＝－1，得x＝－.
4．y＝sin
解析 由，解得.
5.
解析 函数向右平移φ个单位得y＝cos＝cos，关于y轴对称．∴π－φ＝kπ，k∈Z.φ＝π－kπ，k∈Z，
∴k＝1时，φmin＝.
6．2 －
解析 由图象知＝－＝，
∴T＝π，ω＝2.
且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝－.
7.
解析 y＝sin 2x向右平移φ个单位得
f(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．
由f＝sin＝±1，
∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴2φ＝－kπ－，令k＝－1，得2φ＝π，
∴φ＝π或作出y＝sin 2x的图象观察易知
φ＝－＝π.
8．左
解析 由图象可知A＝1，T＝－(－)＝π，
∴ω＝＝2.
∵图象过点(，0)，∴sin(＋φ)＝0，
∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴y＝sin(2x＋＋2kπ)＝sin(2x＋)．
故将函数y＝sin x先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．
9．2
解析 ∵对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立．
∴f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2.
∴|x1－x2|min＝＝×＝2.
10．②③
解析 对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ (k∈Z)．
∴x＝π－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin利用公式得：
f(x)＝4cos＝4cos.
∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，∴x＝π－，∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，
∴x＝＋.∴④错．
11．解 (1)由图知，A＝2，T＝7－(－1)＝8，
ω＝＝＝.∴y1＝2sin.
将点(－1,0)代入得0＝2sin.
∴φ＝.∴y1＝2sin.
(2)设P(x，y)为函数y2图象上任意一点，则P(x，y)关于直线x＝2的对称点P′为(4－x，y)．
∵y1与y2关于直线x＝2对称．
∴点P′(4－x，y)落在y1＝2sin上．
∴y＝2sin＝2sin，
即y2＝2sin.
(3)由(2)知y2＝2sin.
∴周期T＝＝8；频率f＝＝；
振幅A＝2；初相φ＝－.
12．解 (1)由题意知A＝，T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，∴φ＝.
∴y＝sin
(2)列出x、y的对应值表：
x － π π π
2x＋ 0 π π 2π
y 0 0 － 0
描点，连线，如图所示：
13．－1
解析 方法一 ∵函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于x＝－对称，
设f(x)＝sin 2x＋acos 2x，则f＝f(0)，
∴sin＋acos＝sin 0＋acos 0.
∴a＝－1.
方法二 由题意得f＝f，
令x＝，有f＝f(0)，即－1＝a.
14．解 ∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．
即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，
又0≤φ≤π，∴φ＝.
由图象关于M对称可知，
sin＝0，解得ω＝k－，k∈Z.
又f(x)在上单调函数，所以T≥π，即≥π，
∴ω≤2，又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.
1．3.4 三角函数的应用
课时目标
1．会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题．
2．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝________，ymin＝________.
(2)A＝________________，k＝________________.
(3)ω可由________________确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由ωx1＋φ＝________，ωx2＋φ＝________，ωx3＋φ＝________，ωx4＋φ＝________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
一、填空题
1.
如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________ s.
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)＝______.
3．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
4．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
5．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于______．
6．如图是一个示波器显示的由简易发电机产生的交流电的电压的变化，则电压V关于时间t的函数关系式为________．
7．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．(填序号)
①y＝12＋3sin t，t∈[0,24]；
②y＝12＋3sin，t∈[0,24]；
③y＝12＋3sin t，t∈[0,24]；
④y＝12＋3sin，t∈[0,24]．
8.
如图所示，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是____________________．
二、解答题
9.
如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
10．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
能力提升
11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为________．(填序号)
12．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60].
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
1．3.4 三角函数的应用
知识梳理
1.
2．(1)A＋k －A＋k
(2)
(3)ω＝
(4)0 π π 2π
3．周期
作业设计
1.
2．2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
3．26,27,28
解析 ∵T＝，又∵<<，
∴8π∴m＝26,27,28.
4．80
解析 T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
5.
解析 T＝＝1，∴ ＝2π，∴l＝.
6．V＝45cos 80πt
解析 设V＝Acos ωt，则A＝45，T＝＝0.025，ω＝＝80π，故V＝45cos 80πt.
7．①
解析 在给定的四个函数①②③④中我们不妨代入t＝0及t＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是①.
8．h＝－8cos t＋10(t≥0)
解析 据题意可设h＝10－8cos ωt(t≥0)．
由已知周期为12 min，可知t＝6时到达最高点，即函数取最大值，知18＝10－8cos 6ω，即cos 6ω＝－1.
∴6ω＝π，得ω＝.∴h＝10－8cos t(t≥0)．
9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为
＝.
由OP在时间t(s)内所转过的角为t＝t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s.
10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又ymin＝7，ymax＝13，∴A＝(ymax－ymin)＝3，
B＝(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，
即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，
∴sint≥，t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
11．③
解析 ∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝.
按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin(t－)，
∴d＝2|sin(t－)|.
当t＝0时，d＝，排除①④；
当t＝时，d＝0，排除②.
12．10sin
解析 将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，
可得ω＝，所以d＝10sin .