§2 充分条件与必要条件
课时目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.了解充分而不必要条件，必要而不充分条件，既不充分也不必要条件的含义.3.正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.4.通过学习，理解对条件的判定可以归结为判断命题的真假．
1．充分条件
“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q.通常记作________，读作“p推出q”．此时我们称________________________．
2．必要条件
如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即________，称p是q的____________，同时，我们称q是p的____________．
3．充要条件：由于p q，所以p是q的充分条件；由于q p，所以p是q的必要条件，在这种情况下，我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．
4．推出与充分条件、必要条件
若p q，但qp，则称p是q的________________________；
若pq，但q p，则称p是q的_________________________；
若pq，且qp，则称p是q的________________________．
一、选择题
1．“A＝B”是“sin A＝sin B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，又是必要条件
D．既不充分又不必要条件
2．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．设0
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．若f(x)是R上的减函数，且f(0)＝3，f(3)＝－1，设P＝{x||f(x＋t)－1|<2}，Q＝{x|f(x)<－1}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是( )
A．{t|t≤0} B．{t|t≥0}
C．{t|t≥－3} D．{t|t≤－3}
题 号 1 2 3 4 5
答 案
二、填空题
6．“lg x>lg y”是“>”的____________条件．
7．p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，那么p是r的____________条件．
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2三、解答题
9．求证：关于x的方程x2＋2ax＋b＝0有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4.
10.已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
能力提升
11．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l=max·min，
则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n＋1)2＋c，探究{an}是等差数列的充要条件．
1．判断两个条件之间的关系，可以从推出“ ”或“ ”成立的情况来确定．
2．可以利用集合间的关系来判断条件之间的关系．
3．利用条件的充分性、必要性可以解决一些与范围有关的问题．
4．探求充要条件，要保证转化过程是等价转化，分清条件的充分性和必要性．
§2 充分条件与必要条件
知识梳理
1．p q p是q的充分条件
2．p q 充分条件 必要条件
4．充分但不必要条件 必要但不充分条件 既不充分也不必要条件
作业设计
1．A [“A＝B” “sin A＝sin B”，反过来不对．]
2．A [由x2＋x＋m＝0知，
Δ＝1－4m≥0 m≤ m<.]
3．B [当0由xsin2x<1知xsin x<，不一定得到xsin x<1.
反之，当xsin x<1时，xsin2x故xsin2x<1是xsin x<1的必要不充分条件．]
4．A [本题可以根据集合间的关系来解．
(M∩P)(M∪P)．]
5．D [由|f(x＋t)－1|<2，得－1f(3)又因为f(x)是R上的减函数，∴－t由f(x)<－1＝f(3)，得x>3，
若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，
则－t≥3，∴t≤－3.]
6．充分不必要
7．充分不必要
解析 p q r，反之不对．
8．a>2
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2－a，即a>2.
9．证明 先证明条件的充分性：
∵ a2≥4≥b，
∴方程x2＋2ax＋b＝0有Δ＝4(a2－b)≥0，
∴方程有实数根，①
∵
∴(x1－2)＋(x2－2)＝(x1＋x2－4)
＝－2a－4≤－4－4＝－8<0，
而(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4
＝b＋4a＋4≥－4＋8＋4＝8>0，
∴
，即方程有小于2的实数根．②
显然，由①、②知“a≥2，且|b|≤4” “方程有实数根且两根均小于2”．
再验证条件不必要性：
∵方程x2－x＝0的两根为x1＝0，x2＝1，则方程的两根均小于2，而a＝－<2，
∴“方程的两根小于2”“a≥2，且|b|≤4”．
综上，a≥2，且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件．
10．解 由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a所以p：3a由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
由x2＋2x－8>0得x<－4或x>2，
所以q：x<－4或x≥－2
因为p q
所以a≤－4或－2≤3a<0
所以a≤－4或－≤a<0
故所求a的取值范围是
.
11．A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，
即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]
12．解 当{an}是等差数列时，∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，
∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，
∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.
∴c＝－1，反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，
可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，
∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.第一章 常用逻辑用语
§1 命 题
课时目标 1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.了解命题的结构，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式.3.了解一个命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题间的相互关系．
1．命题的概念
(1)命题：可以____________、用________________表述的语句叫作命题．
(2)命题的真假：判断为______的语句叫作真命题；判断为______的语句叫作假命题．
2．命题的条件和结论
(1)一般地，一个命题由________和________两部分组成．
(2)命题可以表示为“若p，则q”的形式，其中的p叫作命题的________，q叫作命题的________．
3．四种命题
(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫作互为逆命题，其中一个命题叫作原命题，那么另外一个叫作原命题的__________．
(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的________________和________________，那么我们把这样的两个命题叫作互为否命题，其中一个命题叫作原命题，那么另外一个叫作原命题的否命题．
(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的______________和____________，那么我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题，其中一个命题叫作原命题，那么另外一个叫作原命题的逆否命题．
一、选择题
1．下列命题中，是真命题的是( )
A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集
B．若x2＝1，则x＝1
C．空集是任何集合的真子集
D．x2－5x＝0的根是自然数
2．在空间中，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．命题“若A∩B＝A，则A B”的逆否命题是( )
A．若A∪B≠A，则A B
B．若A∩B≠A，则AB
C．若AB，则A∩B≠A
D．若A B，则A∩B≠A
5．对于命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”，下列说法正确的是( )
A．它的逆命题是真命题
B．它的否命题是真命题
C．它的逆否命题是假命题
D．它的否命题是假命题
6．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A B”的逆否命题．
其中真命题是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．
8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的否命题是_________；逆命题是_____________________；逆否命题是________________________．
9．有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A B”的逆命题．
其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
三、解答题
10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等．
11．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
能力提升
12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
1．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．
2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．
课时作业答案解析
第一章 常用逻辑用语
§1 命 题
知识梳理
1．(1)判断真假 文字或符号 (2)真 假
2．(1)条件 结论 (2)条件 结论
3．(1)逆命题 (2)条件的否定 结论的否定 (3)结论的否定 条件的否定
作业设计
1．D [A中方程在实数范围内无解，故是假命题；B中若x2＝1，则x＝±1，故B是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C是假命题；所以选D.]
2．D
3．B [由a>－3 a>－6，但由a>－6a>－3，
故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]
4．C [先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]
5．D 6.C
7．若x≤y，则x3≤y3－1
8．各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
9．②③
10．解 (1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．
逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．
否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．
逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．
(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．
逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．
否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．
逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．
(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．
否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
11．解 逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
12．B
.