第1章 集 合
§1.2 子集、全集、补集
课时目标 1.理解子集、真子集的意义，会判断两集合的关系.2.理解全集与补集的意义，能正确运用补集的符号.3.会求集合的补集，并能运用Venn图及补集知识解决有关问题．
1．子集
如果集合A的__________元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的________，记作______或______．任何一个集合是它本身的______，即A A.
2．如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的________，记为______或(______)．
3．______是任何集合的子集，______是任何非空集合的真子集．
4．补集
设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的______，记为______(读作“A在S中的补集”)，即 SA＝{x|x∈S，且x A}．
5．全集
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个______，全集通常记作U.
集合A相对于全集U的补集用Venn图可表示为
一、填空题
1．集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是________．
2．满足条件{1,2}M {1,2,3,4,5}的集合M的个数是________．
3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则 UA＝________.
4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则 UM＝________.
5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是_____________________________．
6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m＝________.
8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则 UA＝________， UB＝______， BA＝________.
9．已知全集U，AB，则 UA与 UB的关系是____________________．
二、解答题
10．设全集U＝{x∈N*|x<8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}．
(1)求 U(A∪B)， U(A∩B)；
(2)求( UA)∪( UB)，( UA)∩( UB)；
(3)由上面的练习，你能得出什么结论？请结事Venn图进行分析．
11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设集合U＝A，求 UB.
能力提升
12．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}， UA＝{5}，求实数a，b的值．
13．已知集合A＝{x|1
1．子集概念的多角度理解
(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝ 时，A B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A B.
2． UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A U；其次是定义 UA＝{x|x∈U，且x A}，补集是集合间的运算关系．
3．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
§1.2 子集、全集、补集
知识梳理
1．任意一个 子集 A B B A 子集 2.真子集 AB BA
3．空集 空集 4.补集 SA 5.全集
作业设计
1．PQ
解析 ∵P＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，
∴PQ.
2．7
解析 M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．
3．{3,9}
解析 在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成 UA.
4．{x|x<－2或x>2}
解析 ∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴ UM＝{x|x<－2或x>2}．
5．②
解析 由N＝{－1,0}，知N?M.
6．SP＝M
解析 运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．
7．－3
解析 ∵ UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
8．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5}
解析 由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得 UA＝{0,1,3,5,7,8}， UB＝{7,8}， BA＝{0,1,3,5}．
9． UB UA
解析 画Venn图，观察可知 UB UA.
10．解 (1)∵U＝{x∈N*|x<8}＝{1,2,3,4,5,6,7}，A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，A∩B＝{5}，∴ U(A∪B)＝{6}， U(A∩B)＝{1,2,3,4,67}．
(2)∵ UA＝{2,4,6}， UB＝{1,3,6,7}，∴( UA)∪( UB)＝{1,2,3,4,6,7}，( UA)∩( UB)＝{6}．
(3) U(A∪B)＝( UA)∩( UB)(如左下图)； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)(如右下图)．
11．解 因为B A，因而x2＝3或x2＝x.
①若x2＝3，则x＝±.
当x＝时，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，此时 UB＝{}；
当x＝－时，A＝{1,3，－}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－}，此时 UB＝{－}．
②若x2＝x，则x＝0或x＝1.
当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；
当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，从而 UB＝{3}．
综上所述， UB＝{}或{－}或{3}．
12．解 ∵ UA＝{5}，∴5∈U且5 A.
又b∈A，∴b∈U，由此得
解得或经检验都符合题意．
13．解 (1)当a＝0时，A＝ ，满足A B.
(2)当a>0时，A＝{x|又∵B＝{x|－1(3)当a<0时，A＝{x|∵A B，∴∴a≤－2.
综上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.§1.1 集合的含义及其表示
第1课时 集合的含义
课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．
1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个________．集合中的每一个对象称为该集合的________，简称______．
2．集合通常用________________表示，用____________________表示集合中的元素．
3．如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a____A，读作“a______A”，如果a不是集合A的元素，就说a__________A，记作a____A，读作“a________A”．
4．集合中的元素具有________、________、________三种性质．
5．实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或______来表示．
一、填空题
1．下列语句能确定是一个集合的是________．(填序号)
①著名的科学家；
②留长发的女生；
③2010年广州亚运会比赛项目；
④视力差的男生．
2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是________．(填序号)
①0∈A；②a A；③a∈A；④a＝A.
3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是________．(填序号)
①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．
4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是________．(填序号)
①1；②－2；③6；④2.
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．
6．由实数x、－x、|x|、及－所组成的集合，最多含有________个元素．
7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)
①不超过π的正整数；
②本班中成绩好的同学；
③高一数学课本中所有的简单题；
④平方后等于自身的数．
8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．
9．用符号“∈”或“ ”填空
－______R，－3______Q，－1_______N，π______Z.
二、解答题
10．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．
11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
能力提升
12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
2．集合中元素的三个性质
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
第1章 集 合
§1.1 集合的含义及其表示
第1课时 集合的含义
知识梳理
1．集合 元素 元 2.大写拉丁字母A，B，C… 小写拉丁字母a，b，c，… 3.属于 ∈ 属于 不属于 不属于
4．确定性 互异性 无序性 5.R Q Z N N* N＋
作业设计
1．③
解析 ①、②、④都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．
2．③
解析 由题意知A中只有一个元素a，∴0 A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．
3．④
解析 集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的．
4．③
解析 因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将各项中的数值代入验证知填③.
5．3
解析 由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．
6．2
解析 因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．
7．①④
解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.
8．－1
解析 当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.
9．∈ ∈
10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．
(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．
11．解 由－3∈A，
可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－.
12．解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
13．证明 (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，
∴A不可能为单元素集．
第2课时 集合的表示
课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
1．列举法
将集合的元素____________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．两个集合相等
如果两个集合所含的元素____________，那么称这两个集合相等．
3．描述法
将集合的所有元素都具有的______(满足的______)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．
4．集合的分类
(1)有限集：含有________元素的集合称为有限集．
(2)无限集：含有________元素的集合称为无限集．
(3)空集：不含任何元素的集合称为空集，记作____．
一、填空题
1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为___________________________________．
2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示________．(填序号)
①方程y＝2x－1；
②点(x，y)；
③平面直角坐标系中的所有点组成的集合；
④函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合．
3．将集合表示成列举法为______________．
4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为________．
5．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则有________．(填序号)
①－1∈A；②0∈A；③∈A；④2∈A.
6．方程组的解集不可表示为________．
①{(x，y)|}；②{(x，y)|}；
③{1,2}；④{(1,2)}．
7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，∈N}＝______________________________.
8．下列各组集合中，满足P＝Q的为________．(填序号)
①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；
②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．
9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)
①M＝{π}，N＝{3.141 59}；
②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；
③M＝{x|－1④M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}．
二、解答题
10．用适当的方法表示下列集合
①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
③不等式x－2>6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
能力提升
12．下列集合中，不同于另外三个集合的是________．
①{x|x＝1}；②{y|(y－1)2＝0}；③{x＝1}；④{1}．
13．已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是____________________________________________________．
1．在用列举法表示集合时应注意：
①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
第2课时 集合的表示
知识梳理
1．一一列举 2.完全相同 3.性质 条件
4．(1)有限个 (2)无限个 (3)
作业设计
1．{1,2,3,4}
解析 {x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1,2,3,4}．
2．④
解析 集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合．
3．{(2,3)}
解析 解方程组得
所以答案为{(2,3)}．
4．{1}
解析 方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，
∴x1＝x2＝1，
故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}．
5．②
6．③
解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故③不符合．
7．{5,4,2，－2}
解析 ∵x∈Z，∈N，
∴6－x＝1,2,4,8.
此时x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}．
8．②
解析 ①中P、Q表示的是不同的两点坐标；
②中P＝Q；③中P表示的是点集，Q表示的是数集．
9．④
解析 只有④中M和N的元素相等，故答案为④.
10．解 ①∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
②{x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}；
③{x|x>8}；
④{1,2,3,4,5,6}．
11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，
满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，
所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．③
解析 由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}
＝{1}，
而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合．
13．x0∈N
解析 M＝{x|x＝，k∈Z}，
N＝{x|x＝，k∈Z}，
∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，
∴x0∈M时，一定有x0∈N.
.§1.3 交集、并集
课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
1．交集
(1)定义：一般地，由____________________元素构成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝__________.
(3)交集的图形语言表示为下图中的阴影部分：
(4)性质：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩ ＝____，A∩B＝A ______.
2．并集
(1)定义：一般地，________________________的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作______．
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝______________.
(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为图中的阴影部分：
(4)性质：A∪B＝______，A∪A＝____，A∪ ＝____，A∪B＝A ______，A____A∪B，A∩B____A∪B.
一、填空题
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝________.
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B＝________.
3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是________．
①A B；②B C；③A∩B＝C；④B∪C＝A.
4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________.
5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于________．
6．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则下列关系正确的是________．
①N∈M；②M∪N＝M；③M∩N＝M；④M>N.
7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.
8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1二、解答题
10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝ .求p，q的值．
11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
能力提升
12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为________．
13．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．
1．对并集、交集概念全方面的感悟
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．
“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x B；x∈B但x A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
拓展 交集与并集的运算性质，除了教材中介绍的以外，还有A B A∪B＝B，A B A∩B＝A.这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法，十分有效．
§1.3 交集、并集
知识梳理
1．(1)所有属于集合A且属于集合B的 A∩B (2){x|x∈A，且x∈B} (4)B∩A A A B 2.(1)由所有属于集合A或属于集合B A∪B (2){x|x∈A，或x∈B} (4)B∪A A A B A
作业设计
1．{0,1,2,3,4}
2．{x|－1≤x<1}
解析 由交集定义得{x|－1≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－1≤x<1}．
3．④
解析 参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A＝B∪C.
4．{(3，－1)}
解析 M、N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，解得
5．3
解析 依题意，由A∩B＝{2}知2a＝2，
所以，a＝1，b＝2，a＋b＝3.
6．②
解析 ∵NM，∴M∪N＝M.
7．0或1
解析 由A∪B＝A知B A，
∴t2－t＋1＝－3①
或t2－t＋1＝0②
或t2－t＋1＝1③
①无解；②无解；③t＝0或t＝1.
8．1
解析 ∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
9．－1 2
解析 ∵B∪C＝{x|－3∴A∩(B∪C)＝A，
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，
∴a＝－1，b＝2.
10．解 由A∩C＝A，A∩B＝ ，可得：A＝{1,3}，
即方程x2＋px＋q＝0的两个实根为1,3.
∴，∴.
11．解 ∵A∩B＝B，∴B A.
∵A＝{－2}≠ ，∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠ 时，此时a≠0，则B＝{－}，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，得a＝0或a＝.
12．6
解析 x的取值为1,2，y的取值为0,2，
∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6.
13．解 符合条件的理想配集有
①M＝{1,3}，N＝{1,3}．
②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．
③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．
共3个．
.习题课
课时目标 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．
1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于________．
2．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________.
3．设集合A＝{x|x≤}，a＝，那么下列关系正确的是________．
①a?A；②a A；③{a} A；④{a}A.
4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么( IM)∩( IN)＝________.
5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为________．
6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：
(1)A∪(B∩C)；
(2)A∩( A(B∪C))．
一、填空题
1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则集合P、Q的关系为________．
2．符合条件{a}P {a，b，c}的集合P的个数是________________________．
3．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则M与P的关系是________．
4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是________．
5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|36．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．
7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1D∈/A，x＋1 A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．
8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}， UA＝{5}，则a＝________.
9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则( UM)∪( UN)＝________.
二、解答题
10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？
能力提升
12．对于k∈A，如果k－1 A且k＋1 A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？
13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的长度的最小值．
1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文字语言．
2．集合运算的法则可借助于Venn图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．
3．熟记一些常用结论和性质，可以加快集合运算的速度．
4．在有的集合题目中，如果直接去解可能比较麻烦，若用补集的思想解集合问题可变得更简单．
习题课
双基演练
1．{x|－1解析 ∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，
∴A∩B＝{x|－12．{x|x<－5或x>－3}
解析 画出数轴，将不等式－35在数轴上表示出来，不难看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
3．④
4．
解析 ∵ IM＝{d，e}， IN＝{a，c}，
∴( IM)∩( IN)＝{d，e}∩{a，c}＝ .
5．A＝B
解析 4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见A＝B.
6．解 ∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}
(1)又∵B∩C＝{3}，
∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．
(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，
∴ A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}
∴A∩( A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．
作业设计
1．QP
2．3
解析 集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．
3．MP
解析 ∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….
∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….
∴MP.
4．(M∩S)∩( SP)
解析 阴影部分是M∩S的部分再去掉属于集合P的一小部分，因此为(M∩S)∩( SP)．
5．{a|3≤a≤4}
解析 根据题意可画出下图．
∵a＋2>a－1，∴A≠ .有解得3≤a≤4.
6．a≤2
解析 如图中的数轴所示，
要使A∪B＝R，a≤2.
7．1
解析 当x＝1时，x－1＝0 A，x＋1＝2∈A；
当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；
当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4 A；
当x＝5时，x－1＝4 A，x＋1＝6 A；
综上可知，A中只有一个孤立元素5.
8．4
解析 ∵A∪( UA)＝U，由 UA＝{5}知，a2－2a－3＝5，
∴a＝－2，或a＝4.
当a＝－2时，|a－7|＝9,9 U，∴a≠－2.
a＝4经验证，符合题意．
9．{x|x<1或x≥5}
解析 UM＝{x|x<1}， UN＝{x|x<0或x≥5}，
故( UM)∪( UN)＝{x|x<1或x≥5}
或由M∩N＝{x|1≤x<5}，( UM)∪( UN)＝ U(M∩N)
＝{x|x<1或x≥5}．
10．解 (1)∵B＝{x|x≥2}，
∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)∵C＝{x|x>－}，B∪C＝C B C，
∴－<2，∴a>－4.
11.
解 由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．
12．解 依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．
13．解 在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|≤x≤}，长度为－＝；当n＝且m＝时，M∩N＝{x|≤x≤}，长度为－＝.综上，M∩N的长度的最小值为.