第1章 常用逻辑用语
§1.2 简单的逻辑联结词
课时目标 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．
1．用逻辑联结词构成新命题
(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作__________．
(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作____________．
(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作“________”或“p的否定”．
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断
p q p∨q p∧q 綈p
真 真 真 真 假
真 假 真 假 假
假 真 真 假 真
假 假 假 假 真
一、填空题
1．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是________．(填序号)
①10或15是5的倍数；
②方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1；
③方程x2＋1＝0没有实数根；
④有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形．
2．已知p：|x＋1|>2，q：5x－6>x2，则綈p是綈q的______________条件．
3．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是________．(填序号)
①p∨q为真，p∧q为真，綈p为假；
②p∨q为真，p∧q为假，綈p为真；
③p∨q为假，p∧q为假，綈p为假；
④p∨q为真，p∧q为假，綈p为假．
4．如果命题“綈p或綈q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为________(写出所有正确的序号)．
①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；
③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．
5．设p：函数f(x)＝2|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：loga2<1.如果“綈p”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数a的取值范围是____________．
6．已知p： {0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p∧q”，“p∨q”中，真命题有______个．
7．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．
8．已知a、b∈R，设p：|a|＋|b|>|a＋b|，q：函数y＝x2－x＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p∨q、p∧q、綈p中的真命题是________．
二、解答题
9．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．
(1)p：1是质数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；
(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p：0∈ ；q：{x|x2－3x－5<0} R；
(4)p：5≤5；q：27不是质数．
10.已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
能力提升
11．下列命题：
①2010年2月14日既是春节，又是情人节；
②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形．
其中使用逻辑联结词的命题有________个．
12．设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是 ；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．
设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p∧q x∈A且x∈B x∈A∩B；p∨q x∈A或x∈B x∈A∪B；綈p x A x∈ UA.
2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断
当p、q都为真，p∧q才为真；当p、q有一个为真，p∨q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．
3．含有逻辑联结词的命题否定
“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“ U(A∪B)＝( UA)∩( UB)， U(A∩B)＝( UA)∪( UB)”．
§1.2 简单的逻辑联结词
知识梳理
1．(1)p∧q “p且q” (2)p∨q “p或q”
(3)綈p 非p
作业设计
1．④
解析 ①中的命题是条件复合的简单命题，②中的命题是结论复合的简单命题，③中的命题是綈p的形式，④中的命题为p∧q型且为真命题．
2．充分不必要
解析 ∵|x＋1|>2 x>1或x<－3，
∴綈p为：－3≤x≤1.
∵5x－6>x2 2
∴綈p 綈q，但綈q綈p.
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
3．④
解析 p为真，q为假，结合真值表可知，p∨q为真，p∧q为假，綈p为假．
4．①③
解析 由真值表可知，綈p或綈q为假命题，可知綈p，綈q均为假命题，所以p、q均为真命题，即“p且q”为真命题，“p或q”也为真命题．
5．(4，＋∞)
解析 由题意知：p为假命题，q为真命题．
当a>1时，由q为真命题得a>2；由p为假命题且画图可知：a>4.
当04.
6．2
解析 ∵p真，q假，∴綈q真，p∨q真．
7．[1,2)
解析 x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈[1,2)．
8．綈p
解析 对于p，当a>0，b>0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，故p假，綈p为真；对于q，抛物线y＝x2－x＋1的对称轴为x＝，故q假，所以p∨q假，p∧q假．
这里綈p应理解成|a|＋|b|>|a＋b|不恒成立，
而不是|a|＋|b|≤|a＋b|.
9．解 (1)p为假命题，q为真命题．
p或q：1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．
p且q：1既是质数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．
綈p：1不是质数．真命题．
(2)p为假命题，q为假命题．
p或q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．
p且q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．
綈p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．
(3)∵0 ，∴p为假命题，
又∵x2－3x－5<0，∴∴{x|x2－3x－5<0}＝ R成立．∴q为真命题．
∴p或q：0∈ 或{x|x2－3x－5<0} R，真命题，
p且q：0∈ 且{x|x2－3x－5<0} R，假命题，
綈p：0 ，真命题．
(4)显然p：5≤5为真命题，q：27不是质数为真命题，∴p或q：5≤5或27不是质数，真命题，
p且q：5≤5且27不是质数，真命题，
綈p：5>5，假命题．
10．解 若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，
则解得m>2，即p：m>2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，
解得1因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．
又p且q为假，所以p、q至少有一个为假．
因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假，或p为假，q为真．
所以或
解得m≥3或1故m的取值范围为(1,2]∪[3，＋∞)．
11．2
解析 ①使用逻辑联结词“且”，③使用“非”．
12．解 对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是 ，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.
解不等式得：－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，
则有a＋1>1，所以a>0.
又p∧q为假命题，p∨q为真命题，
所以p、q必是一真一假．
当p真q假时有－3综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．§1.1 命题及其关系
1.1.1 四种命题
课时目标 1.会判断所给语句是否是命题，并能判断一些简单命题的真假.2.理解命题的逆命题、否命题与逆否命题的含义.3.能分析四种命题的相互关系．
1．命题的定义
__________________叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做______命题．
2．命题的结构
在数学中，“若p则q”这种形式的命题是常见的，其中p是命题的条件，q是命题的结论．
3．四种命题的概念
一般地，设“若p则q”为原命题，“若q则p”就叫做原命题的__________，“若非p则非q”就叫做原命题的__________，“若非q则非p”就叫做原命题的______________．
4．四种命题的真假性
一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；
(2)两个命题互为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
一、填空题
1．下列语句中命题的个数为________．
①空集是任何非空集合的真子集．
②三角函数是周期函数吗？
③若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
④指数函数的图象真漂亮！
2．在空间中，下列命题正确的是________．(填序号)
①平行直线的平行投影重合；
②平行于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两个平面平行；
④垂直于同一平面的两条直线平行．
3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
4．对于命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”，下列说法正确的是________．(填序号)
①它的逆命题是真命题；
②它的否命题是真命题；
③它的逆否命题是假命题；
④它的否命题是假命题．
5．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是________________________________．
6．有下列四个命题，其中真命题有________．(填序号)
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
7．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是_______________________________________；逆命题是____________；否命题是________________________．
8．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A B”的逆否命题．
其中真命题有________．(填序号)
二、解答题
9．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
10．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
能力提升
11．设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：
①若m＝1，则S＝{1}；②若m＝－，则≤l≤1；
③若l＝，则－≤m≤0.
其中正确命题的序号为________．
12．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.证明：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
1．命题的最主要的特征是能够判断真假．
2．互为逆否的命题真假性相同．
3．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．
课时作业答案解析
第1章 常用逻辑用语
§1.1 命题及其关系
1.1.1 四种命题
知识梳理
1．能够判断真假的语句 假
3．逆命题 否命题 逆否命题
4．(1)相同
作业设计
1．2
解析 ①是命题；②是疑问句，故不是命题；③是命题；④是感叹句，所以不是命题．
2．④
3．2
解析 由a>－3 a>－6，但由a>－6a>－3，
故真命题为原命题及原命题的逆否命题．
4．④
5．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
解析 由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
6．①③
解析 ①的逆命题显然成立；②的否命题为“如果三角形不全等，则它们的面积不相等”，由三角形的面积公式可知②的否命题为假命题；③的逆命题中，因方程x2＋2x＋q＝0有实根，则Δ＝4－4q≥0，即q≤1，故③的逆命题为真命题；④的逆否命题与命题④同真假，④是假命题．
7．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
8．①③
9．解 逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
10．解 若命题p为真命题，则m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，
有p真q假或p假q真，即或
故m的取值范围是111．①②③
解析 ①m＝1时，l≥m＝1且x2≥1，
∴l＝1，故①正确．
②m＝－时，m2＝，故l≥.
又l≤1，∴②正确．
③l＝时，m2≤且m≤0，则－≤m≤0，
∴③正确．
12．证明 要证明命题不易入手，则证明其逆否命题即可．
原命题的否命题为“若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)1.1.2 充分条件和必要条件
课时目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系．
1．如果已知“若p，则q”为真，即p q，那么我们说p是q的____________，q是p的______________．
2．如果p q，且q p，就记作__________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果pq且qp，则p是q的________________________条件．
一、填空题
1．“x>0”是“x≠0”的____________条件．
2．对于三个集合A，B，C，条件A B，B C，C A是A＝B＝C的________条件．
3．设集合M＝{x|04．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的____________条件．
5．a<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根的____________条件．
6．α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的____________条件．
7．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－28．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．
二、解答题
9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
10.已知P＝{x|a－4能力提升
11．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为
l＝max·min，
则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的____________条件．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n＋1)2＋c，探究{an}是等差数列的充要条件．
1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A B证明了必要性；B A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A B证明了充分性；B A证明了必要性．
1.1.2 充分条件和必要条件
知识梳理
1．充分条件 必要条件
2．p q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要
作业设计
1．充分不必要
解析 对于“x>0” “x≠0”，反之不一定成立．
因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．
2．充要
解析 由A B，B C，得A C；又因C A，
所以A＝C，同理得A＝B.
由A＝B＝C，得A B，B C，C A.
3．必要不充分
解析 因为NM.所以a∈M是a∈N的必要而不充分条件．
4．充分不必要
解析 把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件．
5．充分不必要
解析 当a<0时，由韦达定理知x1x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－，所以a不一定小于0.由上述推理可知，a<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根的充分不必要条件．
6．充分不必要
解析 ∵当α＝＋2kπ(k∈Z)时，
cos 2α＝cos＝，
∴“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的充分条件．而当α＝－时，cos 2α＝，
但不存在k∈Z使得－＝＋2kπ，
∴“α＝＋2kπ(k∈Z)”不是“cos 2α＝”的必要条件．
7．a>2
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2－a，即a>2.
8．b≥－2a
解析 由二次函数的图象可知当－≤1，即b≥－2a时，函数y＝ax2＋bx＋c在[1，＋∞)上单调递增．
9．解 (1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y |x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形 四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要不充分条件．
10．解 由题意知，Q＝{x|1∴，解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是[－1,5]．
11．必要不充分
解析 当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，
即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．
12．解 当{an}是等差数列时，∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，
∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，
∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.
∴c＝－1.
反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，
可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，
∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.