§1.1 命题及关系
1.1.1 四种命题
课时目标 1.会判断所给语句是否是命题，并能判断一些简单命题的真假.2.理解命题的逆命题、否命题与逆否命题的含义.3.能分析四种命题的相互关系．
1．命题的定义
__________________叫做命题，其中______________叫做真命题，_____________叫做假命题．
2．命题的结构
在数学中，“若p则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的________，q叫做命题的________．
3．四种命题的概念
一般地，设“若p则q”为原命题，“若q则p”就叫做原命题的__________，“若非p则非q”就叫做原命题的__________，“若非q则非p”就叫做原命题的____________．
4．四种命题的真假性
四种命题的真假性之间的关系如下：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有__________的真假性；
(2)两个命题互为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．
一、填空题
1．下列语句是命题的是________．
①求证是无理数；
②x2＋4x＋4≥0；
③你是高一的学生吗？
④一个正数不是素数就是合数；
⑤若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
2．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．
3．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p是________________，结论q是______________________．
4．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________________________________；逆命题是_______________；否命题是______________________________________．
5．有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A B”的逆命题．
其中是真命题的是______(写出所有正确命题的序号)．
6．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是______．
7．对于命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”，下列说法中正确的有________．(写出所有正确的序号)
①它的逆命题是真命题；
②它的否命题是真命题；
③它的逆否命题是假命题；
④它的否命题是假命题．
8．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命 题是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
二、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数能被2整除．
(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实数根．
10.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．
能力提升
11．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．
(1)垂直于同一平面的两直线平行；
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
12．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
1．命题可以判断真假，可以化成“若p则q”的形式．
2．由于互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．因此，四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．
3．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．
课时作业答案解析
第1章 常用逻辑用语
§1.1 命题及其关系
1．1.1 四种命题
知识梳理
1．能够判断真假的语句 判断为真的语句 判断为假的语句
2．条件 结论
3．逆命题 否命题 逆否命题
4．(1)相同 (2)没有关系
作业设计
1．②④⑤
解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．
2．①④
解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．
3．若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称
4．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
5．②③
6．2
解析 原命题和它的逆否命题为真命题．
7．④
8．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
解析 由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
9．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．
(2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实数根，真命题．
10．解 (1)原命题是真命题．
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，真命题．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，真命题.
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，真命题．
(2)原命题是真命题．
逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，真命题．
否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命题．
11．解 (1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面，真命题．
否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行，真命题．
逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面，真命题．
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．
12．证明 若a＋b<0，则a<－b，
∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)
又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.
即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．
∴a＋b≥0.
1.1.2 充分条件和必要条件
课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．
1．一般地，如果p q，那么称p是q的____________，同时q是p的______________．
2．如果p q，且q p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果pq且qp，则p是q的________________________条件．
一、填空题
1．用符号“ ”或“”填空.
(1)a>b________ac2>bc2；
(2)ab≠0________a≠0.
2．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的______________条件．
3．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－24．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．
5．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，则丙是甲的____________条件．
6．设a，b∈R，已知命题p：a＝b；命题q：2≤，则p是q成立的________________条件．
7．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________________条件．
8．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的________________条件．
二、解答题
9．设α、β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析“a>2且b>1”是“两根都大于1”的什么条件？
10.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
能力提升
11．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为
l＝maxmin，
则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的____________条件．
12．已知P＝{x|a－41．充分条件和必要条件是数学中的重要概念，主要用来区分命题中的条件p和结论q之间的关系，主要以其他知识为载体对条件p是结论q的什么条件进行判断．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立．“A是B的充要条件”的命题的证明：A B证明了充分性；B A证明了必要性．
1．1.2 充分条件和必要条件
知识梳理
1．充分条件 必要条件
2．p q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要
作业设计
1．(1) (2)
2．必要不充分
解析 ∵c>d，∴－c<－d，a>b，
∴a－c与b－d的大小无法比较；
当a－c>b－d成立时，假设a≤b，又－c<－d，
∴a－cb.
综上可知，“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分条件．
3．(2，＋∞)
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2－a，即a>2.
4．b≥－2a
解析 由二次函数的图象可知当－≤1，即b≥－2a时，函数y＝ax2＋bx＋c在[1，＋∞)上单调递增．
5．充分不必要
解析
∵甲是乙的必要条件，
∴乙 甲．
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙 乙，但乙丙．如图所示．
综上有丙 乙 甲，但乙丙，
故有丙 甲，但甲D /丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
6．充分不必要
解析 由a＝b知，2＝a2，＝a2，
∴p q；
反之，若q成立，则p不一定成立，
例如取a＝－1，b＝1，
则2＝0≤1＝，但a≠b.
7．必要不充分
解析 由b2＝aca，b，c成等比数列，
例如，a＝0，b＝0，c＝5.
若a，b，c成等比数列，由等比数列的定义知b2＝ac.
8．充分不必要
解析 把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件．
9．解 由根与系数的关系得，
判定的条件是p：，结论是q：(Δ≥0)．
①由α>1且β>1 a＝α＋β>2，b＝αβ>1 a>2且b>1，故q p.
②取α＝4，β＝，则满足a＝α＋β＝4＋>2，b＝αβ＝4×＝2>1，但pq.
综上所述，“a>2且b>1”是“两根都大于1”的必要不充分条件．
10．证明 ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，
则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当xy>0时，即x>0，y>0，或x<0，y<0，
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
11．必要而不充分
解析 当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min
＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，
即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．
12．解 由题意知，Q＝{x|1∴，解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是[－1,5]．第1章 常用逻辑用语
§1.2 简单的逻辑联结词
课时目标 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．
1．用逻辑联结词构成新命题
(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作____________．
(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作__________．
(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作__________，读作________或______________．
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断
p q p∨q p∧q 綈p
真 真 真 真 假
真 假 真 假 假
假 真 真 假 真
假 假 假 假 真
一、填空题
1．下列命题：
①2010年2月14日既是春节，又是情人节；
②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形．
其中使用逻辑联结词的命题是________．(写出符合要求的序号)
2．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________命题．(填“真”，“假”)
3．如果命题“綈p或綈q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为________(写出所有正确的序号)．
①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；
③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．
4．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是______．(写出符合要求的序号)
①10或15是5的倍数；
②方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1；
③方程x2＋1＝0没有实数根；
④有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形．
5．若“x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x的范围是____________．
6．已知a、b∈R，设p：|a|＋|b|>|a＋b|，q：函数y＝x2－x＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p∨q、p∧q、綈p中的真命题是________．
7．“a和b都不是偶数”的否定是___________________________________________．
8．设p：函数f(x)＝2|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：loga2<1.如果“綈p”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数a的取值范围是____________．
二、解答题
9．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的新命题，并判断真假．
(1)p：1是质数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；
(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p：0∈ ；q：{x|x2－3x－5<0} R；
(4)p：5≤5；q：27不是质数．
10.已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
能力提升
11．(1)如果p表示“函数f(x)＝ (x>－1)是单调减函数”，试判断非p的真假；
(2)如果p表示“A∩BA∪B”(其中A，B为非空集合)，那么非p表示什么？并判断p的真假．
12．设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是 ；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．
设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p∧q x∈A且x∈B x∈A∩B；p∨q x∈A或x∈B x∈A∪B；綈p x A x∈ UA.
2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断
当p、q都为真，p∧q才为真；当p、q有一个为真，p∨q即为真；
綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．
3．利用命题的真假来判断字母的范围问题是常见题型，可以分情况讨论．
§1.2 简单的逻辑联结词
知识梳理
1．(1)p∧q “p且q” (2)p∨q “p或q” (3)綈p “非p” “p的否定”
作业设计
1．①③
解析 ①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．
2．或 真
3．①③
解析 由真值表可知，綈p或綈q为假命题，可知綈p，綈q均为假命题，所以p、q均为真命题，即“p且q”为真命题，“p或q”也为真命题．
4．④
解析 ①中的命题为p∨q型，②中的命题是假命题，③中的命题是綈p的形式，④中的命题为p∧q型且为真命题．
5．[1,2)
解析 x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈[1,2)．
6．綈p
解析 对于p，当a>0，b>0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，故p假，綈p为真；对于q，抛物线y＝x2－x＋1的对称轴为x＝，故q假，所以p∨q假，p∧q假．
这里綈p应理解成|a|＋|b|>|a＋b|不恒成立，
而不是|a|＋|b|≤|a＋b|.
7．a和b至少有一个是偶数
8．(4，＋∞)
解析 由题意知：p为假命题，q为真命题．
当a>1时，由q为真命题得a>2；由p为假命题且画图可知：a>4.
当04.
9．解 (1)p为假命题，q为真命题．
p或q：1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．
p且q：1既是质数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．
綈p：1不是质数．真命题．
(2)p为假命题，q为假命题．
p或q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．
p且q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．
綈p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．
(3)∵0 ，∴p为假命题，
又∵x2－3x－5<0，∴∴{x|x2－3x－5<0}
＝ R成立．
∴q为真命题．
∴p或q：0∈ 或{x|x2－3x－5<0} R.真命题．
p且q：0∈ 且{x|x2－3x－5<0} R.假命题．
綈p：0 .真命题．
(4)显然p：5≤5为真命题，q：27不是质数为真命题，∴p或q：5≤5或27不是质数．真命题．
p且q：5≤5且27不是质数．真命题．
綈p：5>5.假命题．
10．解 若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，
则解得m>2，即p：m>2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，
解得1因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．
又p且q为假，所以p、q至少有一个为假．
因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假，或p为假，q为真．
所以或
解得m≥3或1即m的取值范围为(1,2]∪[3，＋∞)．
11．解 (1)中p表示的命题为真，而非p：函数f(x)＝ (x>－1)不是单调减函数，为假；
(2)中非p表示的命题为“A∩B A∪B”，其显然为真，故命题p为假．
12．解 对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是 ，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.
解不等式得：－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，
则有a＋1>1，所以a>0.
又p∧q为假命题，p∨q为真命题，
所以p、q必是一真一假．
当p真q假时有－3当p假q真时有a≥1.
综上所述，a的取值范围为(－3,0]∪[1，＋∞)．