3.2函数的单调性 同步学案

中小学教育资源及组卷应用平台
函数的单调性学案
一．学习目标
理解函数的单调性、最大（小）值的概念；函数的单调性是函数性质研究的基础，其知识点的应用贯穿整个高中数学的函数学习过程中。
二．基础知识
1.单调函数的定义
增函数
减函数
定义
设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值
当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数
当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数
函数值的变化趋势
在区间D上，函数值随着自变量的增大而增大
在区间D上，函数值随着自变量的增大而减少
图象描述
自左向右看图象是逐渐上升
自左向右看图象是逐渐下降
不等式表示
对于（无需限制的大小关系）
(或
(或
理解：①区间D是定义域的子集，单调性是在区间D上的对应性；讨论单调区间的前提基础是定义域。
②以一次函数为例，当时，通过其图像可知，函数随着自变量的增大而变大，随着自变量的减少而减少；当时，通过其图像可知，函数随着自变量的增大而减少，随着自变量的减少而增大。（此种由函数图像明确函数性质是数学学习的一个重要思想，即数形结合思想）。
③由单调性不等式表示思路，并结合导数的定义，可知导数与函数的单调性的结合点的准确性。此种情况对于的大小关系不受限制，若对任意的，且；即：当时都有，当时都有；也就是说，自变量与函数量的变化趋势一致即为增函数，反之为减函数。
2.单调性、单调区间的定义
若函数在区间D上是增函数或减函数，则称函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做的单调区间。
理解：①函数单调性定义中的有三个特征：任意性（任意取，任意二字决不能丢掉，证明单调性时不可随意以两个特殊值替代）；有大小关系（通常假定）；同属一个单调区间。
②在写单调区间时候，可以包含端点，也可以不包括；但是当函数在端点处无意义，单调区间则不能包含端点。
③单调区间不能写做并集。
3.单调性的常用结论
①函数与的单调性相反；
②函数与的单调性相同；
③函数与的单调性相反（）；
④函数与有相同的单调性（同增同减），则与函数的单调性相同；更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；
⑤函数与都是增（减）函数，则在两者共同定义域内，当两者都大于0时，也是增（减）函数；当两者都小于0时，也是减（增）函数（共同的定义区间）。
⑥对勾函数()的增区间为和，减区间为和．
⑦函数的单调性与函数和的单调性的关系是“同增异减”（原理：联想复合函数的求导法则）（但要注意定义域）<需要勾画出构成该复合函数的基本函数>。
⑧奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反。
⑨从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的：有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区间上不是增函数；也就是说，研究函数问题必须要遵循“定义域优先”的原则。
4.函数最大最小值的概念
前提
设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件
①对于任意的，都有②存在，使得
①对于任意的，都有②存在，使得
结论
则是的最大值
则是的最小值
5.函数最值的结论
①对于单调函数，最值取自定义域的边界处；
②闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值；当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到；当函数在闭区间是增函数时，左端点取得函数的最小值，右端点取得函数的最大值（反之亦然）；
③开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值；
④对于非单调函数，最值的求解往往需要借助图像、作出草图；
⑤一般地，恒成立问题可以借助求解函数的最值问题予以解决，有以下关系：
恒成立；恒成立
三．思维辨析
1．判断
(1)函数的单调递减区间是(　　)
(2)对于函数，若，则为增函数(　　)
(3)已知函数在上是增函数，则函数的单调递增区间是(　　)
2．下列四个函数中，在上为减函数的是(　　)
A．
B．
C．
D．
3.如果二次函数在区间上是减函数，那么参数的取值范围是（）
四．典例分析与性质总结
题型1：确定函数的单调性
例1：函数的单调递增区间是（）
A.
B.
C.
D.
总结：
求解函数的单调区间，先求解函数的定义域，在定义域内求解单调区间；
函数单调性的判断方法有：定义法（通常不常用）、图像法、利用已知函数的单调性（函数的组合）、导数法；
复合函数的单调性依托于函数同增异减的原则。
题型2：确定函数的最值
函数的最值是函数在其定义域上的整体性质，即函数的值域中最大的一个值和最小的一个值。
例2：如果函数对任意的实数，都有，且当时，，那么函数在上的最大值与最小值之和为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．
（思路导引）由得函数关于对称，进而求得在各区间的单调性，可
得函数的最大值与最小值；
题型3：函数单调性的应用
函数的单调性性质是函数基本性质中非常常见重要的一种性质，在高考备考过程中占据非常重要的地位；
(1)比较函数值的大小；
(2)解抽象函数不等式；
(3)求待定参数的值或取值范围；
(4)求函数的最值或值域．
例3：已知函数的图象向左平移1个单位后关于轴对称，当时，
恒成立，设，，，则的大小关
系为(　　)
A．
B．
C．
D．
【思路导引】
利用图象的对称性，把问题转化为同一单调区间内比较大小；
例4：已知偶函数在上单调递减，，若，则的取值范围是________．
例5：已知函数(为常数)；若在区间上是增函数，则的取值范围是________．
【思路导引】
思路一：先求出的单调增区间，再根据已知条件找出已知区间与单调区间的关系，求字母的范围；思路二：求出的导数，利用在上恒成立，求的范围。
例6：已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有
成立。
(1)判断在上的单调性，并证明；
(2)解不等式；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围。
五．变式演练与提高
1.求在区间上的单调性．
2.(1)下列函数中，在区间上为增函数的是(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)函数的单调递增区间为(　　)
A．
B．
C．
D．
3.函数在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)
A.
B.
C.
D.
4.已知，则、、的大小关系是(　　)
A．
B．
C．
D．
5.定义新运算：当时，；当时，，则函数，的最大值等于(　　)
A．
B．1
C．6
D．12
6.已知是定义在R上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的
解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
六．反思总结
1.判断函数单调性或求函数的单调区间的方法总结：
①定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．
②图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(区间)．
③复合函数法：适用于形如的复合函数，具体规则如下表：
函数
增减情况
内函数
增
增
减
减
外函数
增
减
增
减
增
减
减
增
的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数；
④导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)．
⑤性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性。
在区间D上是增函数
在区间D上是减函数
定义法
?
?
图像法
从左到右函数图像上升
从左到右函数图像下降
复合函数法
内外层单调性相同
内外层单调性相反
导数法
导数大于零
导数小于零
性质法
增函数+增函数
减函数+减函数
2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法：
①定义法：基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断；
②可导函数可以利用导数证明。
3.比较函数值大小的思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
4.含“”号不等式的解法
首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内。
5.已知函数的单调性求参数的取值范围
已知函数在区间上是增函数，求相关参数的取值范围，若函数是复合函数的形式，此类问题应理解为区间A是函数增区间的子集，根据复合函数“同增异减”的单调性结论来解决；若函数的导数可求，则可用函数的导数恒大于或等于0来解决；如在区间A上为增函数，求参数的范围，则转化为：在上恒成立且不恒为0，若求得，则需检验时是否符合题意。
七．课后作业
1.判断具体函数的单调性及单调区间
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)
2.(1)下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)函数的图象如图所示，则函数的单调减区间是(
)
A.
B．
C．
D．
3.对于任意实数，定义；设函数，，则函数的最大值是________．
4.函数的定义域为，若，且时总有，则称为单函数；例如，函数(x∈R)是单函数．
给出下列命题：
①函数是单函数；
②指数函数是单函数；
③若为单函数，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．
八．参考答案
（三．思维辨析）
1．答案　(1)×　(2)×　(3)×　
解析
单调区间不能用并集符号连接，取，，而，故而应说成的单调递减区间是和；
应该对于任意的，成立才能说是增函数；
在某个区间上单调递增，并不能说该区间是函数的单调递增区间。
2．解析　
函数在为减函数；在为减函数，则在为减函数；
C选项中的函数在上均不单调；选项D中，，当时，，所以在上为增函数。
3.解析　
如果已知函数的单调性，如何求解参数的取值范围？对于此类问题，将其转化为恒成立问题。函数在区间上是减函数，也就意味着在区间上恒成立（在此一定要注意是小于或等于号）
即恒成立，令，取在的最小值；故而。
另解：当对于二次函数而言，该二次函数开口向上，因此二次函数在区间上单调递减，应使
得对称轴；所以
（四．典例分析与性质总结）
例1：解析：
由，得或者；
令，则；由于在是单调递减的，在上是减函数，在上是增函数；因此的单调递增区间是
例2：解析：
根据，可知函数的图象关于直线对称；又函数在上单调递增，故在上单调递减，则函数在上的最大值与最小值之和为
。
例3：解析：
根据已知可得函数的图象关于直线对称，且在上是减函数；因为
，且，所以。
例4：解析：
由题知，且，故，而函数在上单调递减且为偶函数，故满足，解得
例5：解析：
方法一：∵
∴在上为增函数，则，∴
方法二：∵
当时，，
由题意知在上是恒成立的，此结论显然成立．∴
当时，，恒成立，不符合题意；
综上所述，
例6：解析：
(1)任取，且，
则．∵为奇函数，
∴
由已知得，
∴，即，
∴在上单调递增．
(2)∵在上单调递增，
∴
解得
(3)∵，在上单调递增；∴在上，.
问题转化为，即对成立。
下面来求的取值范围．
设
①若，满足题意．
②若，则为的一次函数，若对恒成立，必须，且，
∴或.
∴的取值范围是或或
（五．变式演练与提高）
1.解析：
解：，令，解得或者（舍去）；
令，解得；因为，所以
∴在上为减函数，在上为增函数。
2.解析：
(1)A项，函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，故符合；
B项，函数在上为减函数，在上为增函数，故不符合；
C项，函数在上为减函数，故不符合；
D项，函数在上为减函数，故不符合．
(2)因为在定义域上是减函数，所以求原函数的单调增区间，即求函数的单调减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为．，故选D
3.解析：
(数形结合法)
画出函数的图象，如图。
由图易知原函数在上单调递增，故选B.
4.解析：
显然可知是偶函数．∴．
又∵，当时，
∴在上是增函数，
∴，即，故选B.
5.解析：
由已知得当时，；
当时，
∵，在定义域内都为增函数．
∴的最大值为，故选C
6.解析：
由已知在R上为偶函数，且，
∴等价于
又在上为增函数，
∴，解得或，故选C.
（七．课后作业）
1.解析：
注意定义域的限制；根据函数单调性的定义以及函数的图像即可求解；
函数(4)，可由函数的图像（分段函数）解决（如下图）；函数(5)可由函数的导数求解。
答案：
①的单调递增区间是；
②的单调递减区间是；
③的单调递增区间是，单调递减区间是；
④的单调递增区间是、；单调递减区间是、
⑤，则，单调递增区间是，单调递减区间是、
2.解析：
(1)是奇函数，和在上都是减函数，故选B.
(2)由图象可知，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为
∵，∴函数在定义域内单调递减．由题意可知，，解得
，即所求递减区间为，故选B.
3.解析：
依题意，
当时，是增函数；当时，是减函数；则在时，取得最大值.
4.解析：
对于①，若，则时，或，故①错误；
对于②，是R上的增函数，当时，故②正确；
对于③，由单函数的定义，可知其逆否命题：为单函数，，若，则为真命题，故③正确；
对于④，假若时，有，这与单调函数矛盾，故④正确。
【答案】　②③④
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)