第12章 分式和分式方程综合能力提升卷（附解析）

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分式和分式方程
综合能力提升卷
一、选择题（共8小题）
1．观察下列方程：
（1）；（2）；（3）；（4）
其中是关于x的分式方程的有（　　）
A．（1）
B．（2）
C．（2）（3）
D．（2）（4）
2．下列各式的约分中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在分式中，（1）（2）﹣（3）（4）﹣与相等的是（　　）
A．（1）（2）
B．（2）（4）
C．（3）（4）
D．（1）（3）
4．不改变分式的值，把分子与分母中的各项系数化为正整数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．分式方程+＝1的解为（　　）
A．x＝﹣1
B．x＝1
C．x＝2
D．x＝﹣2
6．小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
7．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．0
B．1
C．4
D．6
8．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝﹣1的解为（　　）
A．1
B．﹣1
C．1或﹣1
D．﹣1或﹣2
二、选择题（共4小题）
9．关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是　
　．
10．已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝　
　．
11．若分式的值为0，则x的值为　
　．
12．一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相同，则江水的流速为　
　km/h．
三、解答题
13．化简：（+）÷
14．（1）因式分解：a3﹣6a2+9a；
（2）解方程：﹣＝．
15．先化简，再求值．
（1），其中a＝3．
（2）?，其中．
为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
17．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
18．阅读下面的解题过程：
已知＝，求的值．
解：由＝知x≠0，所以＝2，即x+＝2．
∴＝x2+＝（x+）2﹣2＝22﹣2＝2，故的值为
评注：该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知＝，求的值．
试题解析
1．解：（1）（4）中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
而（2）（3）的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．
故选：C．
2．解：A、＝x4，故本选项错误；
B、，分子与分母没有公因式，不能约分，故本选项错误；
C、＝＝﹣1，故本选项正确；
D、＝1，故本选项错误；
故选：C．
3．解：将各式的符号化成最少得：
（1），
（2）﹣＝1，
（3）＝﹣＝，
（4）﹣＝，
可见，（3）（4）相等，故选C．
4．解：依题意知，分子、分母同时乘以100即可把分子与分母中的各项系数化为正整数，即＝．
故选：D．
5．解：方程两边同时乘以x（x﹣1）得，x（x﹣5）+2（x﹣1）＝x（x﹣1），
解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入原方程的分母均不为0，
故x＝﹣1是原方程的解．
故选：A．
6．解：设软面笔记本每本售价为x元，
根据题意可列出的方程为：＝．
故选：A．
7．解：由不等式组得：
∵解集是x≤a，
∴a＜5；
由关于y的分式方程﹣＝1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1
∴y＝，
∵有非负整数解，
∴≥0，
∴﹣3≤a＜5，
a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝﹣3，a＝1，a＝3，（a＝0，2，4时，y不是整数），
它们的和为1．
故选：B．
8．解：当＞时，x＜0，方程变形为＝﹣1，
去分母得：3＝2﹣x，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解；
当＜时，x＞0，方程变形得：＝﹣1，
去分母得：1＝2﹣x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故选：C．
9．解：解方程＝3，得x＝m+6，
∵关于x的方程＝3的解是正数，
∴m+6＞0，
∴m＞﹣6，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴m+6≠2，
∴m≠﹣4，
∴m的取值范围是m＞﹣6且m≠﹣4；
故答案为m＞﹣6且m≠﹣4．
10．解：∵当x＝2时，分式无意义，
∴x2﹣5x+a＝22﹣5×2+a＝0，
解得a＝6．
故答案为：6．
11．解：由题意，得
x2﹣25＝0且5﹣x≠0，
解得x＝﹣5，
故答案是：﹣5．
12．解：设江水的流速为xkm/h，根据题意可得：
＝，
解得：x＝10，
经检验得：x＝10是原方程的根，
答：江水的流速为10km/h．
故答案为：10．
13．解：原式＝?
＝?
＝a．
14．解：（1）a3﹣6a2+9a
＝a（a2﹣6a+9）
＝a（a﹣3）2；
（2）﹣＝
﹣＝，
方程两边同乘以2（2x﹣1）得：
3（3x﹣1）﹣2＝5，
解得：x＝，
检验：当x＝时，2（3x﹣1）≠0，
故x＝是原方程的根．
15．解：（1）原式＝﹣
＝
＝
＝，
当a＝3时，原式＝＝；
（2）原式＝?﹣?
＝3（x+1）﹣（x﹣1）
＝3x+3﹣x+1
＝2x+4，
当x＝﹣1时，原式＝2（﹣1）+4＝2+2．
16．解：设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x千米/小时，
由题意得：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，
则1.5x＝90，
答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米/小时、90千米/小时．
17．解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
依题意，得：，
解得：15≤m≤16．
∵m为整数，
∴m＝15或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．
18．解：∵＝，
∴＝7，
x+＝8，
∵＝x2++1＝（x+）2﹣2+1＝82﹣1＝63，
∴＝．
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精品试卷·第
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