第13章 全等三角形综合能力提升卷（附解析）

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第13章
全等三角形
综合能力提升卷
一、选择题（共9小题）
1．如图，5个边长相等的正六边形，A、B、C、D、E，请仔细观察A、B、C、D四个答案，其中与右方图案完全相同的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（　　）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
3．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．下列结论不正确的是（　　）
A．∠BAD＝∠CAE
B．△ABD≌△ACE
C．AB＝BC
D．BD＝CE
4．如图，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O，过O点作一直线交AD于E，交BC于F，则图中全等三角形共有（　　）
A．4对
B．5对
C．6对
D．7对
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（　　）
A．4
B．5
C．1
D．2
6．如图，已知AB＝CD，AD＝CB，则在下列结论中，错误的是（　　）
A．AB∥DC
B．∠B＝∠D
C．∠BAD＝∠DCB
D．AB＝AD
7．如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别在边AB、AC上，且满足AD＝AE．下列结论中：
①△ABE≌△ACD；
②AO平分∠BAC；
③OB＝OC；
④AO⊥BC；
⑤若AD＝BD，则OD＝OC；
其中正确的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
8．如图，MP＝MQ，PN＝QN，MN交PQ于点O，则下列结论中不正确的是（　　）
A．△MPN≌△MQN
B．OP＝OQ
C．MO＝NO
D．∠MPN＝∠MQN
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（　　）
A．45°
B．30°
C．25°
D．15°
二、填空题（共4小题）
10．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是　
　；这是　
　命题（真或假）．
11．已知：线段a，c（a＜c），求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，
作法：（1）作∠MCN＝90°；
（2）以C为圆心，　
　为半径画弧，交射线CM于点B；
（3）以B为圆心，　
　为半径画弧，交射线CN于点A；
（4）连接　
　，△ABC就是所求．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5cm，则AE＝　
　cm．
13．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是　
　．
三、解答题（共6小题）
14．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，请举出一个反例说明．
（1）两直线平行，同旁内角互补．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）相等的角是内错角．
（4）等底等高的三角形面积相等．
15．如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）
16．如图是雨伞开闭过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AE＝AB，AF＝AC．当O沿AD滑动时，雨伞开闭．雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？请说明理由．
17．如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．
18．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交BE于点F．
（1）求证：AD＝BE；
（2）判断AF和BE的位置关系并说明理由．
19．小明站在池塘边的A点处，池塘的对面（小明的正北方向）B处有一棵小树，他想知道这棵树距离他有多远，于是他向正东方向走了10步到达电线杆C旁，接着再往前走了10步，到达D处，然后他改向正南方向继续行走，当小明看到电线杆C、小树B与自己现处的位置E在一条直线上时，他共走了45步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小明一步大约40厘米，估算出小明在点A处时小树与他的距离，并说明理由．
试题解析
1．解：观察图形可知，
只有选项C中的图形旋转后与图中的正六边形完全相同．
故选：C．
2．解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC＝OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP＝DP；
在△OCP和△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP（SSS）．
故选：D．
3．证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，故A正确，
在△BAD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE，故B正确，
∴BD＝EC，故D正确，
∴C错误，
故选：C．
4．解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由平行四边形的中心对称性，
全等三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA共6对．
故选：C．
5．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEH＝90°，
∵∠AHE＝∠CHD，
∴∠BAD＝∠BCE，
∵在△HEA和△BEC中，
，
∴△HEA≌△BEC（AAS），
∴AE＝EC＝4，
则CH＝EC﹣EH＝AE﹣EH＝4﹣3＝1．
故选：C．
6．解：∵在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA，
∴∠B＝∠D，AB＝DC，∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，
∴AB∥DC，∠BAC+∠CAD＝∠ACD+∠ACB，
∴∠BAD＝∠DCB，
即只有选项D符合题意，选项A、B、C都不符合题意，
故选：D．
7．解：在△ABE与△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD，故①正确；
∴∠AEB＝∠ADC，
∴∠BDO＝∠BEC，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
在△BOD与△COE中，，
∴△BOD≌△COE，
∴OD＝OE，BO＝OC，故③正确；
在△AOD与△AOE中，，
∴△AOD≌△AOE，
∴∠DAO＝∠EAO，∠AOD＝∠AOF，
∴AO平分∠BAC，故②正确；
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，故④正确；
过D作DF∥AO交BO于F，
∵AD＝BD，
∴OF＝OB，
∵DF∥AO，
∴∠ODF＝∠AOD，∠OFD＝∠AOE，
∴∠ODF＝∠OFD，
∴OD＝OF，
∵OB＝OC，
∴OD＝OC；故⑤正确；
故选：D．
8．解：∵MP＝MQ，PN＝QN，MN＝MN，
∴△MPN≌△MQN
故A正确；
∵MN垂直平分PQ
∴OP＝OQ
故B正确；
∴∠MPN＝∠MQN
故D正确．
∴只有C是错误的．
故选：C．
9．解：由旋转的性质可知，AC＝AC′，
又∠CAC′＝90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，
所以，∠CC′A＝45°．
∵∠CC′B′+∠ACC′＝∠AB′C′＝∠B＝60°，
∴∠CC′B′＝15°．
故选：D．
10．解：“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”；这是真命题．
故答案为两直线平行，同位角相等，真．
11．解：作法：（1）作∠MCN＝90°；
（2）以C为圆心，a为半径画弧，交射线CM于点B；
（3）以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A；
（4）连接
AB，△ABC就是所求．
如图所示：
故答案为：a，c，AB．
12．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ECF＝∠B（等角的余角相等），
在△FCE和△ABC中，，
∴△ABC≌△FEC（ASA），
∴AC＝EF，
∵AE＝AC﹣CE，BC＝2cm，EF＝5cm，
∴AE＝5﹣2＝3cm．
故答案为：3．
13．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABE＝∠D＝90°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在△AEB和△AFD中，
∵，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴S△AEB＝S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积＝正方形的面积＝16．
故答案为：16．
14．解：（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题；
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题；
（3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等；
（4）面积相等的三角形等底等高，是假命题．例如：底边是2，高是4的三角形与底边是4，高是2的三角形．
15．解：如图所示：
．
16．解：∠BAD＝∠CAD，
理由：∵AB＝AC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD．
17．解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．
选择△AEM≌△ACN，
理由如下：
∵△ADE≌△ABC，
∴AE＝AC，∠E＝∠C，∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAM＝∠CAN，
∵在△AEM和△ACN中，
∴△AEM≌△ACN（ASA）．
18．（1）证明：∵△CDE，△ACB都是等腰直角三角形，
∴CE＝CD，CB＝CA，∠ACD＝∠BCE＝90°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
（2）解：结论：AF⊥BE．
理由：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝CBE，
∵∠CDA＝∠BDF，
∴∠BFD＝∠ACD＝90°，
∴AF⊥BE．
19．解：（1）①连接AC并延长至D，使AC＝CD；
②过D作DE⊥AD交直线BC于点E；
（2）∵AC＝CD＝10步，AC+CD+DE＝45步，一步大约40厘米，
∴AC＝CD＝10×40＝400厘米，
DE＝45﹣20＝25步＝25×40＝1000厘米，
∵AB⊥AD，DE⊥AD，
∴在△ABC与△DEC中，
∠BAC＝∠CDE，AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝1000厘米＝10米．
故答案为：10米．
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精品试卷·第
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