第16章 轴对称和中心对称综合能力提升卷（附解析）

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第16章
轴对称和中心对称
综合能力提升卷
一、选择题（共10小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．平行四边形
D．正方形
3．以下图形中对称轴的数量小于3的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，两个三角形关于某条直线成轴对称，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的度数是（　　）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝（　　）
A．40°
B．30°
C．20°
D．10°
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（　　）
A．BP是∠ABC的平分线
B．AD＝BD
C．S△CBD：S△ABD＝1：3
D．CD＝BD
8．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（　　）
A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
9．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：
①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；
②直线BD必经过点O；
③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；
④△AOE与△COF成中心对称．
其中正确的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
二、填空题（共4小题）
11．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是　
　点．
12．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE⊥AB于D，且EC＝ED，则∠EBC＝
　
　度．
13．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为　
　．
14．如图，在△ABC中，∠A＝42°，点D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折得到△B′CD，BC交AB于点E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝　
　°．
三、解答题（共6小题）
15．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
16．某地有两所大学和两条交叉的公路，如图所示（点M、N表示大学，AO、BO表示公路）现计划修建一座图书馆P，希望图书馆到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请用尺规作出图书馆P的位置．
（要求：不写已知、求作，不写作法和结论，保留作图痕迹）
17．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
18．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，求证：PM＝PN．
19．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝6cm，BC＝10cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD和△BED关于BD对称．
（1）求AE的长；
（2）求△ADE的周长．
20．如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O，∠A＝α（0°＜α＜90°），
（1）求∠BOC；
（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
试题解析
1．解：菱形是轴对称图形，是中心对称图形；
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
圆是轴对称图形，是中心对称图形；
矩形是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：C．
2．解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
3．解：A、有4条对称轴；
B、有6条对称轴；
C、有4条对称轴；
D、有2条对称轴．
故选：D．
4．解：根据图形可知，所求角与第一个图形的未知角是对应角，
所以x＝180°﹣65°﹣55°＝60°．
故选：B．
5．解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE
∴∠EAC＝∠C，
又∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠AEB＝80°，
又∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∴∠C＝40°．
故选：B．
6．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°，
∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D＝∠A，
∵∠CA'D是△A'BD的外角，
∴∠A′DB＝∠CA'D﹣∠B＝50°﹣40°＝10°．
故选：D．
7．解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．
故选：C．
8．解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
故选：A．
9．解：△ABC与△CDA关于点O对称，则AB＝CD、AD＝BC，
所以四边形ABCD是平行四边形，即点O就是?ABCD的对称中心，则有：
（1）点E和点F，B和D是关于中心O的对称点，正确；
（2）直线BD必经过点O，正确；
（3）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确；
（5）△AOE与△COF成中心对称，正确；
其中正确的个数为4个，
故选：D．
10．解：如图，货物中转站在三角形内部有一个位置，在外部有三个位置，
共有4个位置可选．
故选B．
11．解：由图形可知，点M在∠AOB的角平分线上，
∴点M到∠AOB两边距离相等，
故答案为：M．
12．解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝54°，
又∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，且EC＝ED，
∴BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝27°．
故答案为：27．
13．解：分情况讨论：
①当DE⊥BC时，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；
②当AD⊥BC时，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：15°或60°
14．解：∵将△BCD沿直线CD翻折得到△B′CD，
∴∠BDC＝∠B'DC
∵B'D∥AC
∴∠B'DA＝∠A＝42°
∵∠BDC+∠B'DC＝∠BDA+∠B'DA＝222°
∴∠BDC＝111°
故答案为111°
15．解：（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；
（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
16．
解：
第二个情况是左上角的平分线与MN垂直平分线的交点．
17．解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；
（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8．
18．解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADP＝∠CDP，
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°，
在△PDM和△PDN中，
，
∴△PDM≌△PDN（AAS），
∴PM＝PN．
19．解：（1）∵△BCD和△BED关于BD对称，
∴△BCD≌△BED，
∴BE＝BC＝10cm，
∴AE＝12﹣10＝2cm，
（2）∵△BCD≌△BED，
∴DC＝DE，
∴△ADE的周长＝AE+AD+DE＝AE+AC＝8cm．
20．解：（1）AB、AC边的中垂线交于点O，
∴AO＝BO＝CO，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，
∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣∠OAB﹣∠OBA）+（180°﹣∠OAC﹣∠OCA），
∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣2∠OAB）+（180°﹣2∠OAC）＝360°﹣2（∠OAB+∠OAC）＝360°﹣2∠A＝360°﹣2α，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝2α；
（2）∠ABO+∠ACB为定值，
∵BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBC＝（180°﹣2∠A）＝90°﹣α，
∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠A＝180°，
∴∠ABO+∠ACB＝180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°．
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精品试卷·第
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