第17章 特殊三角形综合能力提升卷（附解析）

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第17章
特殊三角形
综合能力提升卷
一、选择题（共10小题）
1．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a2＝1，b2＝2，c2＝3
B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C
D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
2．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
3．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为（　　）
A．6
B．3
C．4
D．6
4．下列语句中不正确的是（　　）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
5．如图所示，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（　　）米．
A．15
B．20
C．3
D．24
6．若一个直角三角形的三边长为6，8，x，则x的值是（　　）
A．10
B．2
C．10或2
D．7
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　）
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数为（　　）
A．70°
B．55°
C．110°
D．70°或110°
9．如图，在等边△ABC中，AB＝8，E是BA延长线上一点，且EA＝4，D是BC上一点，且ED＝EC，则BD的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝3，BC＝8，则△EFM的周长是（　　）
A．7
B．10
C．11
D．14
二、填空题（共4小题）
11．请举反例说明命题：“两个锐角的和是锐角”是假命题．反例如：　
　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是　
　．
13．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝　
　．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上，则a的值为（　　）
A．
B．
C．或
D．或
三、解答题（共6小题）
15．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：OB＝OC．
16．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，
求证：AD＝AF．
17．如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
18．如图，长方形纸片ABCD，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的F处，已知AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝10cm，求EC的长．
19．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．
尝试
化简整式A．
发现
A＝B2，求整式B．
联想
由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
　
　
勾股数组Ⅱ
35
/
　
　
20．已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A、E在BC的同侧．
（1）如图1，点D在BC上，写出线段AC、CD、CE之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接写出AC、CD、CE之间的数量关系．
试题解析
1．解：A、可利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
C、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝90°，△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ADC＝30°，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
3．解：如图作AH⊥CH．
在Rt△ACH中，∵AH＝3，∠AHC＝90°，∠ACH＝30°，
∴AC＝2AH＝6，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝6．
故选：D．
4．解：A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；
B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；
C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，故本选项错误；
D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．
故选：C．
5．解：因为AB＝9米，AC＝12米，
根据勾股定理得BC＝＝15米，
于是折断前树的高度是15+9＝24米．
故选：D．
6．解：当8是直角边时，x＝＝10，
当8是斜边时，x＝＝2，
故选：C．
7．解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，
故选：B．
8．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°＝110°；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°＝70°．
故选：D．
9．解：过点E作EF⊥BC于F；如图所示：
则∠BFE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，∠B＝60°，
∴∠FEB＝90°﹣60°＝30°，
∵BE＝AB+AE＝8+4＝12，
∴BF＝BE＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
∵ED＝EC，EF⊥BC，
∴DF＝CF＝2，
∴BD＝BF﹣DF＝4；
故选：B．
10．解：∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，
∴EM＝FM＝BC＝×8＝4，
∴△EFM的周长＝8+8+3＝11．
故选：C．
11．解：例如：若α＝50°，β＝60°，则α+β＞90°．
故答案为：若α＝50°，β＝60°，则α+β＞90°．
12．解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，
∴∠ACB＝∠FDB＝90°，
∵∠F＝30°，
∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等）．
又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴∠EBA＝∠A＝30°，
∴直角△DBE中，BE＝2DE＝2．
故答案是：2．
13．解：
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°
∴特征值k＝＝
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°
∴特征值k＝＝
综上所述，特征值k为或
故答案为或
14．解：分两种情况：
①当点B′落在AD边上时，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，
∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，
∴AB＝BE，
∴a＝1，
∴a＝；
②当点B′落在CD边上时，如图2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，
∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，
∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝a．
∵∠B'AD＝∠EB'C＝90°﹣∠AB'D，∠D＝∠C＝90°，
∴△ADB′∽△B′CE，
∴，
∴＝
解得a1＝，a2＝﹣（舍去）．
综上，所求a的值为或，
故选：C．
15．证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC＝∠OCB，
∴BO＝CO．
16．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠C+∠F＝90°，∠B+∠BDE＝90°，
∵∠ADF＝∠BDE，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF．
17．解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
18．解：依题意可得：BC＝AD＝AF＝10，DE＝EF．
在△ABF中，∠ABF＝90°．
∴，
∴FC＝10﹣6＝4，
设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x．
∵∠C＝90°，
∴EC2+FC2＝EF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解之得：x＝3，
∴EC＝3（cm）．
19．解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．
故答案为：17；37
20．（1）解：CD+CE＝AC．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，
∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+DC＝CE+CD，
∴AC＝CD+CE；
（2）解：CE﹣CD＝AC．理由如下：
与（1）的证明方法一样可得到△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD，
∴AC＝CE﹣CD．
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精品试卷·第
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