（人教A版2019）必修第一册 单元试卷第3章函数的应用（Word版含解析）

必修1高考题单元试卷：第3章
函数的应用
一、选择题（共12小题）
1．设f（x）＝，则f（f（﹣2））＝（　　）
A．﹣1
B．
C．
D．
2．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0）
B．（0，）
C．（0，1）
D．（0，+∞）
3．已知函数f（x）＝（a∈R），若f[f（﹣1）]＝1，则a＝（　　）
A．
B．
C．1
D．2
4．已知函数f（x）满足f（x）＝x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）＝﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）＝max{f（x），g（x）}，H2（x）＝min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B＝（　　）
A．a2﹣2a﹣16
B．a2+2a﹣16
C．﹣16
D．16
5．已知符号函数sgnx＝，f（x）是R上的增函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（　　）
A．sgn[g（x）]＝sgnx
B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx
C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）]
D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]
6．已知函数f（x）＝，且f（a）＝﹣3，则f（6﹣a）＝（　　）
A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣
7．设函数f（x）＝，则满足f（f（a））＝2f（a）的a的取值范围是（　　）
A．[，1]
B．[0，1]
C．[，+∞）
D．[1，+∞）
8．设函数f1（x）＝x2，f2（x）＝2（x﹣x2），，，i＝0，1，2，…，99．记Ik＝|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，k＝1，2，3，则（　　）
A．I1＜I2＜I3
B．I2＜I1＜I3
C．I1＜I3＜I2
D．I3＜I2＜I1
9．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（　　）
A．[，]∪[，]
B．[﹣，﹣]∪[，]
C．[，]∪[，]
D．[﹣，﹣]∪[，]
10．已知函数f（x）＝，且g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣，﹣2]∪（0，]
B．（﹣，﹣2]∪（0，]
C．（﹣，﹣2]∪（0，]
D．（﹣，﹣2]∪（0，]
11．设函数f（x）＝（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y＝sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））＝y0，则a的取值范围是（　　）
A．[1，e]
B．[e﹣1﹣1，1]
C．[1，e+1]
D．[e﹣1﹣1，e+1]
12．设f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，2]
B．[﹣1，0]
C．[1，2]
D．[0，2]
二、填空题（共3小题）
13．设a，b＞0，a+b＝5，则+的最大值为　
　．
14．设f（x）＝，若f（2）＝4，则a的取值范围为　
　．
15．设f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为　
　．
三、解答题（共8小题）
16．如图，O，P，Q三地有直道相通，OP＝3千米，PQ＝4千米，OQ＝5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t＝t1时乙到达P地，t＝t2时乙到达Q地．
（1）求t1与f（t1）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．
17．如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．
18．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
19．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
20．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝（其中a，b为常数）模型．
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
21．在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
22．对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）＝0，f（T）＝4π．
（1）验证g（x）＝x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）＝c；
（3）证明：“u0为方程cosf（x）＝1在[0，T]上的解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）＝1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）＝f（x）+f（T）．
23．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
人教A版必修1高考题单元试卷：第3章
函数的应用（02）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题）
1．设f（x）＝，则f（f（﹣2））＝（　　）
A．﹣1
B．
C．
D．
【分析】利用分段函数的性质求解．
【解答】解：∵，
∴f（﹣2）＝2﹣2＝，
f（f（﹣2））＝f（）＝1﹣＝．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
2．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0）
B．（0，）
C．（0，1）
D．（0，+∞）
【分析】先求导函数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）＝lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y＝lnx与y＝2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝x（lnx﹣ax），
则f′（x）＝lnx﹣ax+x（﹣a）＝lnx﹣2ax+1，
令f′（x）＝lnx﹣2ax+1＝0得lnx＝2ax﹣1，
函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，
等价于f′（x）＝lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y＝lnx与y＝2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a＝时，直线y＝2ax﹣1与y＝lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，
y＝lnx与y＝2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，）．
简解：函数f（x）＝x（lnx﹣ax），
则f′（x）＝lnx﹣ax+x（﹣a）＝lnx﹣2ax+1，
令f′（x）＝lnx﹣2ax+1＝0得lnx＝2ax﹣1，
可得2a＝有两个不同的解，
设g（x）＝，则g′（x）＝，
当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，
可得g（1）取得极大值1，
作出y＝g（x）的图象，可得0＜2a＜1，
即0＜a＜，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．
3．已知函数f（x）＝（a∈R），若f[f（﹣1）]＝1，则a＝（　　）
A．
B．
C．1
D．2
【分析】根据条件代入计算即可．
【解答】解：∵f[f（﹣1）]＝1，
∴f[f（﹣1）]＝f（2﹣（﹣1））＝f（2）＝a?22＝4a＝1
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．
4．已知函数f（x）满足f（x）＝x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）＝﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）＝max{f（x），g（x）}，H2（x）＝min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B＝（　　）
A．a2﹣2a﹣16
B．a2+2a﹣16
C．﹣16
D．16
【分析】本选择题宜采用特殊值法．取a＝﹣2，则f（x）＝x2+4，g（x）＝﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．
【解答】解：取a＝﹣2，则f（x）＝x2+4，g（x）＝﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．
则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，
由
解得或，
∴A＝4，B＝20，A﹣B＝﹣16．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．
5．已知符号函数sgnx＝，f（x）是R上的增函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（　　）
A．sgn[g（x）]＝sgnx
B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx
C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）]
D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]
【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．
【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx＝，f（x）是R上的增函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），
不妨令f（x）＝x，a＝2，
则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝﹣x，
sgn[g（x）]＝﹣sgnx．所以A不正确，B正确，
sgn[f（x）]＝sgnx，C不正确；D正确；
对于D，令f（x）＝x+1，a＝2，
则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝﹣x，
sgn[f（x）]＝sgn（x+1）＝；
sgn[g（x）]＝sgn（﹣x）＝，
﹣sgn[f（x）]＝﹣sgn（x+1）＝；所以D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
6．已知函数f（x）＝，且f（a）＝﹣3，则f（6﹣a）＝（　　）
A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣
【分析】利用分段函数，求出a，再求f（6﹣a）．
【解答】解：由题意，a≤1时，2α﹣1﹣2＝﹣3，无解；
a＞1时，﹣log2（a+1）＝﹣3，∴α＝7，
∴f（6﹣a）＝f（﹣1）＝2﹣1﹣1﹣2＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．
7．设函数f（x）＝，则满足f（f（a））＝2f（a）的a的取值范围是（　　）
A．[，1]
B．[0，1]
C．[，+∞）
D．[1，+∞）
【分析】令f（a）＝t，则f（t）＝2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：令f（a）＝t，
则f（t）＝2t，
当t＜1时，3t﹣1＝2t，
由g（t）＝3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）＝3﹣2tln2，
在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，
即有g（t）＜g（1）＝0，
则方程3t﹣1＝2t无解；
当t≥1时，2t＝2t成立，
由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；
或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．
综上可得a的范围是a≥．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
8．设函数f1（x）＝x2，f2（x）＝2（x﹣x2），，，i＝0，1，2，…，99．记Ik＝|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，k＝1，2，3，则（　　）
A．I1＜I2＜I3
B．I2＜I1＜I3
C．I1＜I3＜I2
D．I3＜I2＜I1
【分析】根据记Ik＝|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案
【解答】解：由，故＝＝1，
由，故×＝×＜1，
+
＝，
故I2＜I1＜I3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．
9．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（　　）
A．[，]∪[，]
B．[﹣，﹣]∪[，]
C．[，]∪[，]
D．[﹣，﹣]∪[，]
【分析】先求出当x≥0时，不等式f（x）≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）≤的解，即可得到结论．
【解答】解：当x∈[0，]，由f（x）＝，即cosπx＝，
则πx＝，即x＝，
当x＞时，由f（x）＝，得2x﹣1＝，
解得x＝，
则当x≥0时，不等式f（x）≤的解为≤x≤，（如图）
则由f（x）为偶函数，
∴当x＜0时，不等式f（x）≤的解为﹣≤x≤﹣，
即不等式f（x）≤的解为≤x≤或﹣≤x≤﹣，
则由≤x﹣1≤或﹣≤x﹣1≤﹣，
解得≤x≤或≤x≤，
即不等式f（x﹣1）≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤}，
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出x≥0时，不等式f（x）≤的解是解决本题的关键．
10．已知函数f（x）＝，且g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣，﹣2]∪（0，]
B．（﹣，﹣2]∪（0，]
C．（﹣，﹣2]∪（0，]
D．（﹣，﹣2]∪（0，]
【分析】由g（x）＝f（x）﹣mx﹣m＝0，即f（x）＝m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由g（x）＝f（x）﹣mx﹣m＝0，即f（x）＝m（x+1），
分别作出函数f（x）和y＝h（x）＝m（x+1）的图象如图：
由图象可知f（1）＝1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，
当h（x）过（1，1）时，m＝此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，
当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）＝﹣2，解得m＝﹣2，此时两个函数有两个交点，
当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，
此时，
即m（x+1）2+3（x+1）﹣1＝0，
当m＝0时，x＝，只有1解，
当m≠0，由△＝9+4m＝0得m＝﹣，此时直线和f（x）相切，
∴要使函数有两个零点，
则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
11．设函数f（x）＝（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y＝sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））＝y0，则a的取值范围是（　　）
A．[1，e]
B．[e﹣1﹣1，1]
C．[1，e+1]
D．[e﹣1﹣1，e+1]
【分析】考查题设中的条件，函数f（f（y0））的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，e+1出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项
【解答】解：曲线y＝sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））＝y0，则y0∈[﹣1，1]
考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项
当a＝0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））＝y0是否成立
由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）＝1，而f（1）＝＞1，故a＝0不合题意，由此知B，D两个选项不正确
当a＝e+1时，此函数是一个增函数，＝0，而f（0）没有意义，故a＝e+1不合题意，故C，D两个选项不正确
综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确
故选：A．
【点评】本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，判断出参数0与e+1是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分，易错
12．设f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，2]
B．[﹣1，0]
C．[1，2]
D．[0，2]
【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．
【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，
当a≥0时，f（0）＝a2，
由题意得：a2≤x++a，
解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，
∴0≤a≤2，
故选：D．
【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．
二、填空题（共3小题）
13．设a，b＞0，a+b＝5，则+的最大值为　3　．
【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值．
【解答】解：由题意，（）2≤（1+1）（a+1+b+3）＝18，
∴的最大值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键．
14．设f（x）＝，若f（2）＝4，则a的取值范围为　（﹣∞，2]　．
【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a＝2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．
【解答】解：当a＞2时，f（2）＝2≠4，不合题意；
当a＝2时，f（2）＝22＝4，符合题意；
当a＜2时，f（2）＝22＝4，符合题意；
∴a≤2，
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．
15．设f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为　（﹣∞，2]　．
【分析】分别由f（0）＝a，x≥2，a≤x+综合得出a的取值范围．
【解答】解：当x＝0时，f（0）＝a，
由题意得：a≤x+，
又∵x+≥2＝2，
∴a≤2，
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题．
三、解答题（共8小题）
16．如图，O，P，Q三地有直道相通，OP＝3千米，PQ＝4千米，OQ＝5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t＝t1时乙到达P地，t＝t2时乙到达Q地．
（1）求t1与f（t1）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．
【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1＝，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1）；
（2）求出t2＝，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可．
【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA＝；
∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1）＝AP＝＝（千米）；
（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示：
则BQ＝5﹣5t，CQ＝7﹣8t；
∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）＝BC＝＝；
即f（t）＝，；
设g（t）＝25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t＝；
且；
即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；
即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3．
【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．
17．如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．
【分析】设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可．
【解答】解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0＜x＜40，
健身房占地面积为y平方米．因为△CFP∽△CBA，
以，，求得BF＝50﹣，
从而y＝BF?FP＝（50﹣）?x
＝﹣
＝﹣
≤500．
当且仅当x＝20时，等号成立．
答：该健身房的最大占地面积为500平方米．
【点评】本题考查函数的实际应用，表示出函数的表达式是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．
18．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【分析】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；
（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．
【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣）×2＝200（5x+1﹣）
根据题意，200（5x+1﹣）≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0
∴x≥3或x≤﹣
∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；
（2）设利润为
y元，则生产900千克该产品获得的利润为y＝100（5x+1﹣）×
＝90000（）＝9×104[+]
∵1≤x≤10，∴x＝6时，取得最大利润为＝457500元
故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．
【点评】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．
19．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【分析】（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；
（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，
∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元．
因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．
（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．
设f（x）＝，1≤x≤10．
则f（x）＝，当且仅当x＝6取得最大值．
故获得最大利润为＝457500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．
【点评】正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．
20．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝（其中a，b为常数）模型．
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
【分析】（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y＝，建立方程组，即可求a，b的值；
（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②设g（t）＝，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．
【解答】解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），
将其分别代入y＝，得，
解得，
（2）①由（1）y＝（5≤x≤20），P（t，），
∴y′＝﹣，
∴切线l的方程为y﹣＝﹣（x﹣t）
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），
∴f（t）＝＝，t∈[5，20]；
②设g（t）＝，则g′（t）＝2t﹣＝0，解得t＝10，
t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，
从而t＝10时，函数g（t）有极小值也是最小值，
∴g（t）min＝300，
∴f（t）min＝15，
答：t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．
21．在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
【分析】（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；
（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．
【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则
（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；
（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值
①当y≥1时，d＝|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|
∵d1（x）＝|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24
∴当且仅当x＝3时，d1（x）＝|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24
∵d2（y）＝2|y|+|y﹣20|≥21
∴当且仅当y＝1时，d2（y）＝2|y|+|y﹣20|的最小值为21
∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；
②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d＝|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|
此时d1（x）＝|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）＝1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|＝22﹣y≥21
由①知d1（x）＝|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x＝3，y＝1时等号成立
综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．
22．对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）＝0，f（T）＝4π．
（1）验证g（x）＝x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）＝c；
（3）证明：“u0为方程cosf（x）＝1在[0，T]上的解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）＝1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）＝f（x）+f（T）．
【分析】（1）根据余弦函数的周期定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；
（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）＝c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；
（3）只需证明u0+T为方程cosf（x）＝1在区间[T，2T]上的解得出u0为方程cosf（x）＝1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）＝f（x）+f（T），可讨论x＝0，x＝T，x∈（0，T）三种情况：x＝0时是显然成立的；x＝T时，可得出cosf（2T）＝1，从而得到f（2T）＝2k1π，k1∈Z，根据f（x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f（x）的单调性及方程cosf（x）＝1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k1＝3，和k1≥5是不存在的，而k1＝4时结论成立，这便说明x＝T时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf（x）＝c的解得到f（x+T）＝f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．
【解答】解：（1）g（x）＝x+sin；
∴＝＝cosg（x）
∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）∵f（x）的值域为R；
∴存在x0，使f（x0）＝c；
又c∈[f（a），f（b）]；
∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；
∴a≤x0≤b；
即存在x0∈[a，b]，使f（x0）＝c；
（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）＝1在区间[T，2T]上的解；
则：cosf（u0+T）＝1，T≤u0+T≤2T；
∴cosf（u0）＝1，且0≤u0≤T；
∴u0为方程cosf（x）＝1在[0，T]上的解；
∴“u0为方程cosf（x）＝1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）＝1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）＝f（x）+f（T）：
①当x＝0时，f（0）＝0，∴显然成立；
②当x＝T时，cosf（2T）＝cosf（T）＝1；
∴f（2T）＝2k1π，（k1∈Z），f（T）＝4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；
1）若k1＝3，f（2T）＝6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）＝2π；
cosf（x0+T）＝cosf（x0）＝1?f（x0+T）＝2k2π，k2∈Z；
∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；
∴4π＜2k2π＜6π；
∴2＜k2＜3，无解；
2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）＝6π，f（x2）＝8π；
则T，x1，x2，2T为cosf（x）＝1在[T，2T]上的4个解；
但方程cosf（x）＝1在[0，2T]上只有f（x）＝0，2π，4π，3个解，矛盾；
3）当k1＝4时，f（2T）＝8π＝f（T）+f（T），结论成立；
③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）＝c在（0，T）上的解；
设其解为f（x1），f（x2），…，f（xn），（x1＜x2＜…＜xn）；
则f（x1+T），f（x2+T），…，f（xn+T）为方程cosf（x）＝c在（T，2T）上的解；
又f（x+T）∈（4π，8π）；
而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（xn）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）＝c在（T，2T）上的解；
∴f（xi+T）＝f（xi）+4π＝f（xi）+f（T）；
∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）＝f（x）+f（T）．
【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf（x）＝1能得出f（x）＝2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．
23．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【分析】（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；
（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点．
【解答】解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200?πrh元，
底面积成本为160πr2元，
∴蓄水池的总建造成本为200?πrh+160πr2元
即200?πrh+160πr2＝12000π
∴h＝（300﹣4r2）
∴V（r）＝πr2h＝πr2?（300﹣4r2）＝（300r﹣4r3）
又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5
故函数V（r）的定义域为（0，5）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）＝（300r﹣4r3），（0＜r＜5）
可得V′（r）＝（300﹣12r2），（0＜r＜5）
∵令V′（r）＝（300﹣12r2）＝0，则r＝5
∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数
当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数
且当r＝5，h＝8时该蓄水池的体积最大
【点评】本题考查的知识点是函数模型的应用，其中（Ⅰ）的关键是根据已知，求出函数的解析式及定义域，（Ⅱ）的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点．
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日期：2020/9/22
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