第二十二章 一元二次方程

第二十二章 一元二次方程
1、 一元二次方程（1）
学习目标：
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
导学流程：
自学课本导图，走进一元二次方程
分析：现设雕像下部高x米，则可列方程
去括号得 ①
你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？
探究新知
自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：
问题1可列方程 整理得 ②
问题2可列方程 整理得 ③
1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？
2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？
观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
展示反馈
【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
(9)其中为一元二次方程的是：
【我学会了】
1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。
自主探究：
自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）（2）（3）
【巩固练习】教材第27页练习
归纳小结
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、学习过程中用了哪些数学方法？
3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？
达标测评
（A）1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）（ ）（2） ( )
(3) （ ） (4) ( )
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；
（1） ±1 ±2；
（2） ±2， ±4
4、把方程 (化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
5、要使是一元二次方程，则k=_______.
6、若方程是关于x的一元二次方程。求m的取值范围。
2、一元二次方程（2）
学习内容
1．一元二次方程根的概念；
2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．
学习目标
了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
重难点关键
1．重点：判定一个数是否是方程的根；
2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
学习过程
一、自学教材
针对目标自学教材27页—28页内容，会规范解答28页练习题1、2.
二、合作交流，解读探究
先独立思考，有困难时请求他人帮助，10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目：
1．下面哪些数是方程2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0
应用迁移，巩固提高
3、 若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2009(a+b+c)的值
4、关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值
三、总结反思，自查自省
选择题
1．方程x（x-1）=2的两根为（ ）．
A.x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）．
A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2= C．x1=a，x2= D．x1=a2，x2=b2
3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=（ ）．
A．1 B．-1 C．0 D．2
填空题
1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
3．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
综合提高题
1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
3、 配方法（一）
学习目标：
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=p(p≥0)或（mx+n）=p(p≥ 0)的方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法 解特殊的一元二次方程。
导学流程：
自主探索
自学P30问题1、及思考完成下列各题：
解下列方程：
（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.
（3）（x＋1）2－4＝0； （4）12（2－x）2－9＝0.
总结归纳
如果方程能化成=p或（mx+n）=p(p≥ 0)形式，那么可得
巩固提高
仿例完成P31页练习
课堂小结
你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？
达标测评
1、解下列方程：
（1）x2＝169；　　 （2）45－x2＝0；　
（3）x2-12=0 （4）x2-2=0
（5）2x2-3=0 （6）3x2- HYPERLINK "http://" =0
（7）12y2－25＝0； （8）（t－2）（t +1）=0；
（9）x2+2x+1=0 （10）x2+4x+4=0
（11）x2-6x+9=0 （12）x2+x+=0
4、配方法（二）
学习目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难点：配方的过程。
导学流程
自主学习
自学P31-32问题2，完成P33思考。
精讲点拨
上面，我们把方程x2+6x-16＝0变形为(x+3)2＝25，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
练一练 ：配方.填空：
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2；
（2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2；
从这些练习中你发现了什么特点
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
合作交流
用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0；　　　　　（2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得x2－6x＝____.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___，
即 （______）2＝____.
所以 x－3＝____.
原方程的解是　　　　　　　x1＝_____，x2＝_____.
（2）移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（ ）2＝－1＋____，
即 _____________________
所以 ___________________
原方程的解是： x1＝______________x2＝___________
总结规律
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？
深入探究
自学P33页例1，完成练习：
用配方法解下列方程：
（1） （2）
巩固提高：完成P34页练习
课堂小结
你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？
达标测评
用配方法解方程：
1、x2＋8x－2＝0 2、x2－5x－6＝0. 3、2x2-x=6
4、x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 5、 x -2x-3=0
6、 2x +12x+10=0 7、x -4x+3=0 8、9x -6x-8=0
拓展提高
1.已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
2.把下列代数式化成a（x+m）2+n的形式。
（1）4x2﹣2x+1 （2）3x2﹣5x+1
（3）﹣3x2+2x﹣3 （4）7x2﹣2x﹣1
3.求证：对于任何实数x、代数式﹣2x2+4x﹣3的值恒为负。
5、公式法
学习目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；
3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；
难点：推导求根公式的过程。
导学流程
复习提问：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
推导公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得
_____________________＝0.
移项，得 x2＋x＝________，
配方，得 x2＋x＋______＝______－,
即 (____________) 2＝___________
因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得 _____________________________.
所以 x＝_______________________
即 x＝_________________________
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：
精讲点拨
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
合作交流
b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
展示反馈
学生在合作交流后展示小组学习成果。
当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
巩固练习
1、做一做：
(1)方程2x-3x+1=0中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）
(2)方程(2x-1)=-4中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）.
(3)方程3x-2x+4=0中，=＿＿＿＿＿＿,则该一元二次方程＿＿＿＿＿＿实数根。
(4)不解方程，判断方程x-4x+4=0的根的情况。
深入探究：自学P36页例2，完成下列特别各题：
应用公式法解下列方程:
(1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x.
巩固提高：完成P37页练习
课堂小结
1、一元二次方程的求根公式是什么？
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
达标测评
（A）1、应用公式法解方程：
(1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6；
(3)4x2－3x－1＝x－2； (4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).
（5）（x-2）（x+5）＝8；　　 （6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
6、因式分解法
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
重点、难点
重点：应用分解因式法解一元二次方程
难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
【课前预习】阅读教材P38 — 40 , 完成课前预习
1：知识准备
将下列各题因式分解
am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2=
因式分解的方法：
解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
2：探究
仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？
3、归纳：
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________，这种解法叫做__________________。
（2）如果，那么或，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_______，即或________。
练习1、说出下列方程的根：
（1） （2）
2、用因式分解法解下列方程：
(1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0
【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
用因式分解法解下列方程
(1) (2)
（） (4)
用因式分解法解下列方程
（1）4x2-144=0 （2）(2x-1)2=(3-x)2
（3） （4）3x2-12x=-12
例3、用十字相乘法解下列方程
（1）x2－3x-10=0 (2) x2+2x-3=0
(3)3 x2+11x+10=0 （4）2x2﹣x﹣6=0
活动3：随堂训练
用因式分解法解下列方程
（1）x2+x=0 （2）x2-2x=0
（3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0
（5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2
活动4：课堂小结
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
将方程右边化为
将方程左边分解成两个一次因式的
令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程
解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
【课后巩固】
1．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________
2．若（2x+3y）2+2（2x+3y）+4=0，则2x+3y的值为_________．
3．已知y=x2-6x+9，当x=______时，y的值为0；当x=_____时，y的值等于9．
4．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ）
A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2
5．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ）
A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0
C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0
6．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）
A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对
7、用因式分解法解下列方程：
(1) (2)
(3)9x2-6x+1=0 (4)2x2-7x+3=0
(5) x2+3x-28=0
8、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。
7、用公式法解一元二次方程导学案
学习目标
1、认知目标：引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用。
2、能力及情感目标：通过观察、实践、讨论等活动，让学生经历发现问题，发现关系的过程，并在探索过程中培养学生自主探索能力及合作交流能力。
学习重点难点
1、指导学生自主探索一元二次方程的两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系，猜想一般性质、指导学生用求根公式加以确证。
2、对根与系数的关系这一性质的应用
教学过程
一、预习内容
（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式
（2）解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
⑴　x2+2x = 0　　　　　
⑵　x2+3x－4= 0
⑶　x2－5x +6= 0
方程 x1 x2 x1 + x2 x1 x2
⑴　x2 + 2x = 0　　
⑵　x2 + 3x －4= 0
⑶　x2 －5x + 6= 0
２. 尝试探索，发现规律：
完成上表猜想一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？请与小组中的同学交流你的看法，并总结你们的观点。
二、学习内容
推导验证：设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
x1+x2=
x1.x2=
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____________
x1.x2=_______
★注意：一元二次方程的根与系数的关系的应用有两大前提一、它是____________方程即条件为_______;二、方程必须_____________即条件为____________.
例１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积
①x2 + 3x －1= 0　　②　x2 + 6x +2= 0 ③　3x2 －4x+1= 0
例2已知方程的一个根为，求另一根及c的值.
例3设方程x2+3x+1=0的两根为x1,x2,求下列各式的值：
（1） x12+x22 （2）+ （3）（x1-3）（x2-3）
（4）（x1-x2）2 （5）｜x1-x2｜
三、本课小结：
1.根与系数的关系的内容
2.根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程；（2）判别式大于等于零.
四、练习
1.已知方程的两实根差的平方为144,则＝___
2、已知方程的一个根是1，则它的另一个根_______，的值是_______ 。
3、反比例函数的图象经过点P（、），其中、是一元二次方程 的两根，那么点P的坐标是_______。
4、已知、是方程的两根，则的值为_______ 。
5、已知≠0，方程的系数满足，则方程的两根之比为（ ）
A、0∶1 B、1∶1 C、1∶2 D、2∶3
6、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于的方程：的根，则的值为（ ）
A、－3 B、5 C、5或－3 D、－5或3
8、已知关于的方程
（1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设、是方程的两根，且，求的值。
8、习题课
学习目标
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。
重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
难点：理解四种解法的区别与联系。
复习提问
（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
精讲点拨
观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为：直接开平方法 因式分解法 公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。
练习一：分别用三种方法来解以下方程
（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0
用因式分解法： 用配方法：
用公式法： 用因式分解法：
用配方法： 用公式法：
练习二：你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
（1）12y2－25＝0； （你用_____________法）
（2）x2－2x＝0； （你用_____________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0； （你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1； （你用_____________法）
（6） 3x2＝4x. （你用_____________法）
对应训练
1、解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0；　　　 （2）（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0； 　　（4）3x2＝4x－1；
（5）x（3x－2）－6x2＝0；　　（6）（2x－3）2＝x2.
2、当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.
3、用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x；　　　　　　（2）（x＋3）2＝1；
（3）x2＋(＋1)x＝0；　　　　（4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝；　（6）x（x＋8）＝16；
4、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
课堂小结
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.
拓展提高
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
（A）3或-2 （B） -3或2 （C） 3 （D）-2
2、已知实数(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12=0,求x2﹣x﹣1的值.
9、 实际问题与一元二次方程(1)
教学内容
由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
重难点关键
1．重点：用“倍数关系”建立数学模型
2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型
教学过程
一、自学教材、解读目标
自学教材45页探究1，解方程的一般步骤是 . . . . . 。8分钟后看谁能分析讲解本探究问题及其相类似的实际问题。
二、合作交流，解读探究：板演并讲习探究1：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人。开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 x个人，用代数式表示，第一轮后共有（ ）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有（ ）人患了流感。则可列方程为：__________________ 解之得__________。
三轮传染后有多少人患流感？四轮呢？
三.巩固练习.
1.(2010年毕节地区)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 （ ）
2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支
四、归纳小结
本节课应掌握：
利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它． ( http: / / / )
列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验——检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去。（6）答
五、当堂训练：（1-5每个15分，6题25分）
1. 一个多边形的对角线有9条，则这个多边形的边数是（ ）.
A．6 B. 7 C． 8 D. 9
2. 元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有( )人
A.11 B.12 C.13 D.14
3.参加中秋晚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，则有（ ）人参加聚会。
4．学校组织了一次篮球单循环比赛，共进行了15场比赛，那么有 个球队参加了这次比赛。
5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
10、实际问题与一元二次方程(2)
教学目标
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
重难点关键
1．重点：如何解决增长率与降低率问题。
2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。
教学过程
探究2 两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
分析:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为 元,两年后甲种药品成本为 元,依题意得
5000（1-x）2=3000
解方程,得
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少 比较:两种药品成本的年平均下降率。
思考：经过计算,你能得出什么结论 成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 应怎样全面地比较对象的变化状况
（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）
小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)
二、巩固练习（列出方程）
1.某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米
2.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．
3.公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
三、应用拓展
例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
四、课堂检测
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．
3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
4.长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望.为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下调后,决定以每平方米4050元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子,开发商还给予以下两种优惠方案以供选择:
①打9.8折销售 ; ②不打折,送两年物业管理费,物业管理费是每平方米每月1.5元,请问哪种方案更优惠
5.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方小9,如果把个位上的数字与十位上的数字对调,得到的新的两位位数比原来的两位数小27,求原来的两位数.
11、 实际问题与一元二次方程(3)
教学目标
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
重难点关键
1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元导学流程：
一、复习引入
说出三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式 （学生口答，老师点评）
二、探索新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．
例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
思考： (1)本体中有哪些数量关系？
（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（4）你有几种解法？
解法一：设上下边衬宽均为9xcm,左右边衬宽均为7xcm,则有：
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。
三、课堂检测
（一）、选择题
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
2．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ）．
A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;
B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;
C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;
D．以上都不对
3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
（二）、综合提高题
1．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？．
2．某广告公司制作广告的收费标准是:以面积为单位,在不超过规定面积A(m2)的范围内,每张广告收费1000元,如果超过Am2,则除了要交这1000元的基本广告费以外,超过部分还要按每平方米50A元交费.下表是该公司对两家用户广告面积和收费情况的记载:
单位 广告面积(单位:m2) 收费金额(单位:元)
烟草公司 6 1400
食品公司 3 1000
(1)求规定面积A的值；
(2)红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形，已知矩形材料的长比宽多1m，它的四周是空白处，如果上下各空0.25m，左右各空0.5m，那么，空白部分的面积是6m2。求矩形材料的长、宽各是多少米？
(3)若空白部分不收广告费，中间的矩形部分才是广告面积，且这张广告的广告费为2600元，那么四周的空白部分的面积是多少平方米？
12． 实际问题与一元二次方程
教学目标
掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．
重难点关键
1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．
2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．
导学流程：
一、复习引入
问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是 元，总件数应是
解：设每张贺年卡应降价x元
二、自主探究：
新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少
三、课堂检测：
1．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树
2、西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小型西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0、1元/kg，每天可多售出40kg，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利润200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
13.一元二次方程的应用导学案（三）
学习目标
１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；
２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。
学习重点难点
掌握列出一元二次方程解应用题；
并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性
教学过程
一、预习内容
引例1：一根长22cm的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？
（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。
二、学习内容
例1、如图所示（1）小明家要建面积为150m2的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m。若墙的长度为18m，鸡场的长、分别是多少？（2）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场最大面积是多少平方米？(3) 如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到250m2吗？通过计算说明理由。
（4）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到100m2吗？通过计算并画草图说明。
例2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2
三、本课小结：1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？
2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？
四、练习
1、用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800 cm2的矩形框子吗？
2、如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8 cm2？
3、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？
（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
4、把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于200cm2, 该怎么剪？
（2）这两个正方形面积之和可能等于488cm2吗？
14、一元二次方程（复习课）
重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
复习流程
回忆整理
1．方程中只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________ ( )其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项 。
例如： 一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是
___________________其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项是 。
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________________ （2）
（3） （4）求根公式法，求根公式是
___________________________________________
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的根的判别式是 ，当 时，它有两个不相等的实数根；当 时，它有两个相等的实数根；当 时，它没有实数根。
例如：不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) x(5x+21)=20 (2) x2+9=6x (3)x2 —3x = —5
4．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的两个根分别为x1，x2 则x1 +x2= ；x1 ·x2= ____________
例如：方程2x2+3x —2=0的两个根分别为x1，x2 则x1+x2= ；x1 ·x2= _________
交流提高
请同学们之间相互交流，形成本章的知识结构。
典例精析
例1：解下列方程:
(1)2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；(3)5x2－4x－12＝0；
(4)4x2＋4x＋10＝1－8x. （5）（x＋1）（x－1）＝
（6）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
例2：已知关于x的一元二次方程（m—1）x2 —（2m+1）x+m=0,当m取何值时：
（1）它没有实数根。
（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。
（3）它有两个不相等的实数根。
巩固练习：
1.方程x2-3x+1=0的解是 .
2.方程x2+1=2的解是 .
3.某商场销售额3月份为16万元,5月份为25万元, 该商场这两个月销售额的平均增长率是 .
4.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2的值为 .
5.已知关于x的方程x2-4x-p2+2p+2=0的一个根为p,则p=
6.若一元二次方程x2-(a-2)x+2a=0的两个实数根分别是3,b,则a+b= .
7.已知一元二次方程x2-(+1)x+-1=0的两根为x1,x2,则+= .
8.如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根,则实数a的取值范围是
.
9.解方程: （1）2x2-7x+6=0 （2）x2+(+1)x=0
(3) (x+2)(x-5)=1 (3) 3(x-5)2(5-x)
10.如图,是上海世博园内的一个矩形花园,花园的长为100米,宽为50米,在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭,四周建有与观光休息亭等宽的观光大道,其余部分(图中阴影部分)种植的是不同花草,已知种植花草部分的面积为3600米2,那么矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米
11.在国家政策的宏观调控下,某市的商品房成交均价由今年3月份的14000元/M2下降到5月份的12600元/m2.
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率约是多少 ( ≈0.95)
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由。
12.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根。
13.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）。
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设x1,x2为方程的两个实数根,且x1+2x2=14,试求方程的两个实数根和k的值.
14.关于x的一元二次方程x2-x+p-1=0有两实数根x1,x2 .
(1)求p的取值范围 ;
(2)若[2+x1(1-x1)]·[2+x2(1-x2)]=9,求p的值.
x＝ ( b2－4 ac≥0)