4.5 相似三角形判定定理的证明课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
第四章
图形的相似
4.5
相似三角形判定定理的证明
北师大版
九年级数学上册
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.会证明相似三角形判定定理；（重点）
2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
情景导学
2
情景导学
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
①
两角对应相等，两三角形相似.
②
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③
三边对应成比例,两三角形相似.
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
证明相似三角形的判定定理
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明．
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在
△ABC
和
△A'B'C'
中，∠A
=
∠A'，
∠B
=∠B'.
求证：△ABC
∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
新课进行时
∠1=∠B，∠2
=∠C，
过点
D
作
AC
的平行线,交
BC
于点
F,则
∴
∴
∵
DE∥BC,
DF∥AC,
∴
四边形
DFCE
是平行
四边形．
∴
DE
=
CF.
∴
∴
A′
B′
C′
A
B
C
证明：在
△ABC
的边
AB（或它的延长线）上截取AD
=A'B'，过点D作BC的平行线，交
AC
于点E，则
E
D
F
1
2
而
∠
1
=
∠
B，∠
DAE
=
∠
BAC，∠
2=∠
C，
∴
△ADE
∽
△ABC.
∵
∠
A
=
∠
A'，∠
ADE
=
∠
B
=∠
B'，AD
=
A'B'，
∴
△ADE
≌△A'
B
'
C
'
．
∴
△ABC
∽△A'B'C.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
F
1
2
新课进行时
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=
∠A′，
证明：在
△A′B′C′
的边
A′B′
上截取点D，
使
A′D
=
AB．过点
D
作
DE∥B′C′，
交
A′C′
于点
E.
∵
DE∥B′C′，
∴
△A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
新课进行时
∴
A′E
=
AC
.
又
∠A′
=
∠A.
∴
△A′DE
≌
△ABC，
∴
△A′B′C′
∽
△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵
A′D=AB，
∴
新课进行时
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在
△ABC
和△A'B'C'
中，
求证：△ABC
∽
△A'B'C'
.
A′
B′
C′
A
C
E
D
B
新课进行时
∴
C′
B′
A′
证明:
在线段
AB
(或延长线)
上截取
AD=A′B′，
过点
D
作
DE∥BC
交AC于点
E.
∵
DE∥BC
，∴
△ADE
∽
△ABC.
∴
DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
△A′B′C′
∽△ABC.
B
C
A
D
E
又
，AD=A′B′，
∴
，
.
新课进行时
例1：已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2,
AC=8，求AB.
C
D
A
B
解：
∵
∠
A=
∠
A
,
∠ABD=∠C,
∴
△ABD
∽
△ACB
,
∴
AB
:
AC
=
AD
:
AB,
∴
AB2
=
AD
·
AC.
∵
AD
=
2
,
AC
=
8,
∴
AB
=
4.
新课进行时
核心知识点二
相似三角形判定定理的运用
例2
如图，已知：∠ACB
=∠ADC
=
90°，AD
=
2，CD
=
，当
AB
的长为
时，△ACB
与△ADC相似．
C
A
B
D
新课进行时
解析：∵∠ADC
=
90°，AD
=
2，CD
=
，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1)
当
Rt△ABC
∽
Rt△ACD
时，有
AC
:
AD
＝
AB
:
AC，
即
:
2
=AB
:
，解得
AB=3；
∴
C
A
B
D
2
新课进行时
(2)
当
Rt△ACB
∽
Rt△CDA
时，有
AC
:
CD
＝
AB
:
AC
，
即
:
=AB
:
，解得
AB=
．
∴
当
AB
的长为
3
或
时，这两个直角三角形相似．
C
A
B
D
2
新课进行时
在
Rt△ABC
和
Rt△A′B′C′
中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1)
∠A=35°，∠B′=55°：
；
(2)
AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8：
；
(3)
AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15：
.
练一练
相似
相似
相似
新课进行时
知识小结
4
知识小结
相似三角形判定定理的证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理的运用
定理证明
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
随堂演练
5
随堂演练
1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（
）
①
②
③
④
①③
随堂演练
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=
，求AD的长.
解:
∵
AB=6，BC=4，AC=5，CD
=
∴
又∠B
=∠ACD,
∴△ABC∽△DCA，
∴
∴AD=
A
B
C
D
课后作业
6
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课后作业
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2、完成同步练习册相应习题。
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