4.7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中的对应线段之比 课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
第四章
图形的相似
4.7
相似三角形的性质
第1课时
相似三角形中的对应线段之比
北师大版
九年级数学上册
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点）
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
情景导学
2
情景导学
A
C
B
A1
C1
B1
问题1：
△ABC与△A1B1C1相似吗？
情景导学
A
C
B
A1
C1
B1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
△ABC∽
△A1B1C1
情景导学
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
量一量，猜一猜
D1
A1
C1
B1
∟
A
C
B
D
∟
ΔABC
∽
ΔA1B1C1,
,CD和C1D1分别是它们的高,
你知道
等于多少吗？
情景导学
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
相似三角形对应高的比等于相似比
如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为
k，它们对应高的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
合作探究
新课进行时
∵△ABC
∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B'
，
解：如图，分别作出
△ABC
和
△A'
B'
C'
的高
AD
和
A'
D'
．
则∠ADB
=∠A'
D'
B'=90°.
∴△ABD
∽△A'
B'
D'
.
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
由此得到：
相似三角形对应高的比等于相似比．
　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
归纳总结
新课进行时
ΔABC∽
ΔA1B1C1
，BD和B1D1是它们的中线，
已知
,B1D1
=4cm，则BD=
cm.
6
2.ΔABC∽
ΔA1B1C1,
AD和A1D1是对应角平分
线，已知AD=8cm，
A1D1=3cm
,则
ΔABC与
ΔA1B1C1的对应高之比为
.
8:3
练一练
新课进行时
3.如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是
m.
P
A
D
B
C
2
4
1.5
新课进行时
例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)AE是Δ
ASR的高吗？为什么？
(2)
ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
(3)求正方形PQRS的边长.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
典例精析
新课进行时
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解：
AE是ΔASR的高.
理由：
∵AD是ΔABC的高
∴
∠ADC=90°
∵四边形PQRS是正方形
∴SR∥BC
∴∠AER=∠ADC=90°
∴
AE是ΔASR的高.
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
新课进行时
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
（2）
ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
解：
ΔASR与ΔABC相似.
理由:
∵
SR∥BC
∴
∠ASR=∠B,
∠ARS=∠C
∴
ΔASR与ΔABC相似.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
新课进行时
（3）求正方形PQRS的边长.
是方程思想哦！
解：∵
ΔASR
∽
ΔABC
AE、AD分别是ΔASR
和ΔABC
对应边上的高
∴
设正方形PQRS的边长为
x
cm,
则SR=DE=x
cm,AE=(40-x)cm
∴
解得：x=24
∴正方形PQRS的边长为24cm.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
新课进行时
变式：
如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
新课进行时
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.
设SP=xcm，则SR=2x
cm
得到：
所以
x=2
2x=4
S矩形PQRS=
2×4=8cm2
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
分析：
情况一：SR=2SP
新课进行时
设SR=xcm，则SP=2x
cm
得到：
所以
x=2.5
2x=5
S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2
原来是分类思想呀！
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
分析：
情况二：SP=2SR
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm
新课进行时
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
新课进行时
核心知识点二
相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
求证：
证明：∵
△ABC∽△A′B′C′.
∴
∠B′=
∠B,
．
又AD,AD′分别为对应边的中线.
∴
△ABD∽△A′B′D′.
A'
B'
D'
C'
E'
A
B
C
D
E
验证猜想1
新课进行时
由此得到：
相似三角形对应的中线的比也等于相似比．
同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比．
新课进行时
归纳总结
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
求证：
证明：∵
△ABC∽△A′B′C′
∴
∠B′=
∠B,
∠B′A′C′=
∠BAC．
又AD,AD′分别为对应角的平方线
∴
△ABD∽△A′B′D′.
A'
B'
D'
C'
E'
A
B
C
D
E
验证猜想2
新课进行时
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
新课进行时
归纳总结
例2：两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为xcm，
则由相似性质有
解得x＝18.
较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
新课进行时
知识小结
4
知识小结
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
相似三角形对应中线的比等于相似比
随堂演练
5
随堂演练
3．两个相似三角形对应中线的比为
，
则对应高的比为______
.
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______.
2：3
1．两个相似三角形的相似比为
,
则对应高的比为_________,
则对应中线的比为_________.
1
4
1
4
解：∵
△ABC∽△DEF，
　
解得,EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
随堂演练
5.如图，AD是△ABC的高，AD=h,
点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当
时，求DE的长.如果
呢？
　
∴△ASR∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
B
A
E
R
C
D
S
∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
(相似三角形对应高的比等于相似比)，
随堂演练
当
时，得
解得
B
A
E
R
C
D
S
当
时，得
解得
随堂演练
选做题：
6.
一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
F
A
B
C
D
E
（1）
F
G
B
A
C
E
D
（2）
随堂演练
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
7.AD是ΔABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方形的边长.
A
C
B
D
(1)
A
C
B
D
(5)
D
C
B
A
(4)
A
C
B
D
(3)
D
C
B
A
(1)
A
C
B
D
(2)
随堂演练
课后作业
6
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课后作业
1、完成教材相应习题；
2、完成同步练习册相应习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING