人教A版（2019）必修 第一册1.4.2　充要条件(共39张PPT)

(共39张PPT)
1.4.2　充要条件
课标定位
素养阐释
1.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义.
2.理解数学定义与充要条件的关系.
3.体会充要条件在表述数学内容和论证数学结论中的作用.
4.培养逻辑推理素养与数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思
想
方
法
随
堂
练
习
自主预习·新知导学
一、逆命题的概念
【问题思考】
1.给出以下两个命题:
(1)若一个数是负数,则它的平方是正数;
(2)若一个数的平方是正数,则它是负数;
你能说出命题(1)与命题(2)的条件与结论有什么关系吗?
提示:命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.
2.填空:将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题.
3.做一做:命题“若A∪B=B,则A?B”的逆命题是　　　　　　.
答案:若A?B,则A∪B=B
二、充要条件
【问题思考】
给出以下两个“若p,则q”形式的命题:
(1)若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等.
(2)若
,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实数根.
1.你能判断它们的真假吗?
提示:(1)真.(2)真.
2.你能写出它们的逆命题,并判断真假吗?
提示:(1)逆命题:若两个三角形的三边对应相等,则这两个三角形全等,是真命题.
(2)逆命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实数根,则
,是真命题.
3.以上两个命题中,p是q的什么条件?q是p的什么条件?
提示:因为p?q,且q?p,所以p是q的充分条件也是必要条件;同理,q是p的充分条件,也是必要条件.
4.填表:
答案:充要
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)如果原命题“若p,则q”与其逆命题都为真,那么p是q的充要条件.(
√
)
(2)若p是q的充要条件,则p是唯一的.(
×
)
(3)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】
有命题a,b,c,d,e,已知:
①a是b的必要条件;
②b是d的充要条件;
③由d不可推出c,但c可推出d;
④c?e成立,e是b的充要条件.
问:(1)d是a的什么条件?
(2)a是c的什么条件?
(3)c是b的什么条件?
(4)d是e的什么条件?
分析:本题条件间有较多的交叉,从文字叙述的条件来推理容易混淆,可以先将各个命题的关系用“?”“?”“?”连接起来,形成一个网络,再利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断.
解:由①知b?a;由②知b?d;由③知d
c,c?d;由④知c?e,
e?b.
(1)因为b?d,b?a,所以d?a,即d是a的充分条件.
(2)因为c?e,e?b,b?a,所以c?a;又c?d,d
c,b?d,b?a,从集合角度考虑得出a
c,即a是c的必要不充分条件.
(3)因为c?e,e?b,所以c?b;又因为b?d,d
c,所以b
c,即c是b的充分不必要条件.
(4)因为e?b,b?d,所以d?e,即d是e的充要条件.
反思感悟
充分条件、必要条件和充要条件反映了条件p与结论q之间的因果关系,在具体判断时,常用如下方法
(1)定义法:
①若p?q,但q
p,则p是q的充分不必要条件;
②若q?p,但p
q,则p是q的必要不充分条件;
③若p?q,且q?p,则p是q的充要条件;
④若p
q,且q
p,则p是q的既不充分也不必要条件.
(2)命题法:
如果原命题为“若p,则q”,逆命题为“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形:
①如果原命题为真,逆命题为假,那么p是q的充分不必要条件;
②如果原命题为假,逆命题为真,那么p是q的必要不充分条件;
③如果原命题与逆命题都为真,那么p是q的充要条件;
④如果原命题与逆命题都为假,那么p是q的既不充分也不必要条件.
(3)集合法:
【变式训练1】
如果A是B的必要不充分条件,B是C的充要条件,D是C的充分不必要条件,那么A是D的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:根据题意得,A
B,B?A,B?C,D?C,C
D,
所以D?C?B?A,即D?A;可从集合的角度考虑得出A
D.
答案:B
探究二
充要条件的证明
【例2】
求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
分析:设p:a+b+c=0,q:方程ax2+bx+c=0有一个根为1.要证明p是q的充要条件,只需分别证明充分性(p?q)和必要性(q?p)即可.
证明:充分性:∵a+b+c=0,
∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中可得ax2+bx-a-b=0,
即(x-1)(ax+a+b)=0.
故方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
∴x=1满足方程ax2+bx+c=0,
∴a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
综上可得,方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
反思感悟
有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件?结论”是证明命题的充分性,由“结论?条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节:一是证明充分性;二是证明必要性.
【变式训练2】
求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有两异号实根的充要条件是ac<0.
证明:必要性:因为方程ax2+bx+c=0有两异号实根,即一正根和一负根,所以Δ=b2-4ac>0,x1x2=
<0(x1,x2为方程的两根),所以ac<0.
充分性:由ac<0可推得Δ=b2-4ac>0及x1x2=
<0(x1,x2为方程的两根),
故方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有两异号实根.
综上可得,方程ax2+bx+c=0有两异号实根的充要条件是ac<0.
探究三
探求充要条件
【例3】
对于非零实数x,y有x>y,试探求
的充要条件,并加以证明.
反思感悟
探求充要条件的方法
方法一:先由结论寻找使之成立的条件,再由条件来验证它成立,即保证必要性和充分性都成立.
方法二:变换命题为其等价命题,使每一步都可逆,直接得到使结论成立的充要条件.
思
想
方
法
等价转化思想在充要条件中的应用
等价转化思想是把未知解的问题转化到已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法,通过不断地转化,将不熟悉、不规范、复杂的问题转化成熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.
【典例】
已知p:-2≤
≤2,q:(x-1+m)(x-1-m)≤0(m>0),q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围为　　　　　.?
审题视角:对题目中的条件进行化简,等价转化为不等式的解集,再将充分条件、必要条件和集合间的关系进行等价转化.
解析:∵q是p的必要不充分条件,
∴p是q的充分不必要条件.
由-2≤
≤2,得-2≤x≤10,
∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}.
设M={x|-2≤x≤10}.
∵(x-1+m)(x-1-m)≤0(m>0),∴1-m≤x≤1+m(m>0).
∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0}.
设N={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.
由p是q的充分不必要条件,知M?N,
∴实数m的取值范围为{m|m≥9}.
答案:{m|m≥9}
方法点睛
本题中既有对题目条件的化简,又有充分条件、必要条件和集合间关系的转化,将复杂的条件转化为简单的条件,将不熟悉的充分条件、必要条件转化为熟悉的集合间的关系,注意逻辑推理素养和数学运算素养的培养.
【变式训练】
已知p:(2x+1)(x-2)≥0,q:(x-a)(x-a+2)≥0,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
随
堂
练
习
1.已知命题“若p,则q”,假设其逆命题为真,则p是q的(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:原命题的逆命题:“若q,则p”,它是真命题,即q?p,所以p是q的必要条件.
答案:B
2.函数y=x2+2mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是(　　)
A.m=-2
B.m=2
C.m=-1
D.m=1
解析:由y=x2+2mx+1,得其图象的对称轴为x=-m,
由题意得-m=1,故m=-1.
答案:C
3.“三角形是等边三角形”的充要条件是　　　　　.?
答案:三角形的三边相等(或三角形的三个角相等或有一个角是60°的等腰三角形)(答案不唯一)
4.如图,有四个电路图,条件A:“开关S1闭合”,条件B:“灯泡L亮”,则A是B的充要条件的图为　　　　　.?
答案:乙
5.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件.
那么:(1)s是q的什么条件?
(2)r是q的什么条件?
(3)p是q的什么条件?
解:(1)因为q?s,s?r?q,所以s是q的充要条件.
(2)因为r?q,q?s?r,所以r是q的充要条件.
(3)因为q?s?r?p,所以p是q的必要条件.