宝应县2020-2021学年度第一学期期初调研测试试题
高三数学
（全卷满分150分，考试时间120分钟）
考生注意：请在答题纸上作答，否则无效。
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，计45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.
已知集合，，则集合中元素的个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
2.
以下四个命题：
；
；
其中，是真命题的为（
）
A．
B．
C．
D．
3.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬43°，则晷针与点A处的水平面所成角为（
）
A
137°
B.
47°
C.
43°
D.
21.5°
4．函数的图象大致为（
）
5.
王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，从此诗句中你认为“破楼兰”是“还家乡”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6.
从编号分别为的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（
）
A. B.
C.
D.
7. 已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）
A．是减函数
B．是增函数
C．有最小值
D．有最大值
8.
已知函数（且）在R上单调递增，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（
）
A.
B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题5分，计15分。在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9.
设集合，，则下列关系正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
10.
已知两个命题
：对任意，总有；
：“”是“”的充分不必要条件.
则下列说法正确的是（
）
A．为真命题
B．为假命题
C．为真命题
D.
为假命题
11.
如图，在三棱锥C－ABD中，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，以下结论正确的是（
）
A.
AC⊥BD
B.
△AOC为正三角形
C.
四面体A-BCD外接球的表面积为32π
D.
cos∠ADC=
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.
布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.
J.
Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.
下列函数中是“不动点”函数的有（
）
A.
B.
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）
13.
已知函数，则的值域是________.
若函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是
_________
.
15.
四棱锥P-ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是_________
16.
设，则的最小值为_______．
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.
（本题满分10分）
已知集合，．
（1）当时，求AB；
（2）设，，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.
（本题满分12分）
已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.
（本题满分12分）
设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最大值为，正实数满足，求的最小值.
20.
（本题满分12分）
如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°，AD⊥BC．
（1）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（2）
求直线CD与平面ABD所成角的余弦值．
21.
（本题满分12分）
某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84)．
(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73
mm，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
(2)如果钢管的直径X满足60.6～69.4
mm为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望．
参考数据：若X～，则；；.
22.
（本题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；
（3）比较与的大小，并加以证明．
202008高三数学
第4
页（共4页）2020-
2021学年度第一学期期初检测试题
高三数学答案
一、单项选择题
1.
B．
2. A
3.
C
4．A
5.B
6.D
7.B
8.D
二、多项选择题
9.AB
10.BC
11.ABC
12．ACD
三、填空题
13.[0，＋∞)
14.
15.
16.
四、17.
(本小题10分)
解：(1)由x2＋2x－3<0，解得－3-------1分
当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4所以＝(－3,-2)．
---------------------4分
(2)q是p成立的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集．--6分
又集合A＝(－3,1)，B＝(－a－1，－a＋1)，
所以
----------------------8分
解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是[0,2]．
----------------10分
18.
(本小题12分)
解析：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]．
故函数h(x)的值域为[0，2]．------------------------------------4分
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得
(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，-------------6分
①当t＝0时，k∈R；-------------------------------------8分
②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15恒成立，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，
即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．--------12分
19(本小题12分)
解不等式或或，解得，-----------------------------3分
故原不等式的解集为；---------------------------4分
，，，--------6分
，，，，
，
---------------------10分
的最小值为，当且仅当时取等．------------12分
20、(本小题12分)
【解析】（1）取棱的中点，连接，．又因为为棱的中点，故．
所以（或其补角）为异面直线与所成的角．
在中，，故．----------2分
因为可证平面，
故．在中，，故．------------------4分
在等腰三角形中，，可得．----------5分
所以，异面直线与所成角的余弦值为．--------------------6分
（2）连接，因为为等边三角形，为边的中点，故，．又因为平面⊥平面，而平面，故平面．
所以，为直线与平面所成的角．------------------8分
在中，．在中，．
所以，直线与平面所成角的余弦值为．-------------12分
21．(本小题满分12分)
解 (1)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6，
∵73∈(μ＋3σ，＋∞)，
∴P(X>71.6)＝
＝＝0.0013.----------------3分
∴此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理．----------4分
(2)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，
由题意，可知钢管直径满足μ－2σ∴在60根钢管中，合格品有57根，次品有3根，任意挑选3根，则次品数Y的所有可能取值为0,1,2,3.
P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝
P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝，----------------------10分
则次品数Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
得E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.15.------------12分
22.
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数的定义域是，导函数为．-
1分
所以，
又，所以曲线在点处的切线方程为．--------
[
2分]
（Ⅱ）由已知．
-------------
[
3分]
所以只需证明方程
在区间有唯一解．
即方程
在区间有唯一解．
--------
[
4分]
设函数
，
---------
[
5分]
则
．
当
时，，故在区间单调递增．
---------
[
6分]
又
，，
所以
存在唯一的，使得．-----------
[
7分]
综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为
．--------
[
8分]
（Ⅲ）．证明如下：
-----------
[9分]
首先证明：当时，．
设
，--------------
[10分]
则
．
当
时，，，
所以
，故在单调递增，----------------
[11分]
所以
时，有，
即当
时，有．
所以
．
----------------
[12分]
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