3.2.1 函数的单调性 同步练习（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
第三章
函数的概念与性质
【3.2.1
函数的单调性】
基础闯关
务实基础
达标检测
题型一
单调性的概念及其应用
1、若函数在区间(a,b)上单调递增,在区间(b,c)上也单调递增,则函数在区间(a,b)∪(b,c)上(　)
A.必单调递增
B.必单调递减
C.单调递增或单调递减
D.无法确定单调性
解析：函数在区间(a,b)∪(b,c)上无法确定单调性.如在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上也单调递增,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上并不具有单调性.
2、若函数在[a,b]上是增函数,则对任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论不正确的是
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
解析：由增函数的定义易知A,B,D结论正确,故选C.
3、已知函数在定义域[-2,3]上单调递增,则满足>的x的取值范围是
(　　)
A.[-2,1]
B.[-2,2]
C.[1,2]
D.(1,2]
解析：依题意有-2≤x<2x-1≤3,解得1故选D
4、如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　　.?
解析：当a=0时,f(x)=2x-3在定义域R上单调递增,故在(-∞,4)上单调递增;当a≠0时,二次函数f(x)图像的对称轴为直线x=,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a<0且≥4,解得≤a<0.综上,实数a的取值范围是.
5、函数在(-2,2)上为增函数,且,则实数m的取值范围是　　.?
解析：由题意知
解得
题型二
单调性的判断与证明
6、函数的减区间是（
）
A．
B．
C．，
D．
【解析】
由图象知单调减区间为，
7、下列函数中，满足对任意，当x1A．
B．
C．
D．
【解析】由时，，所以函数在上为减函数的函数.A选项，在上为增函数，不符合题意.B选项，在上为减函数，符合题意.C选项，在上为增函数，不符合题意.D选项，在上为增函数，不符合题意.故选B.
8、已知函数.
（1）求的值;
（2）判断函数在(1,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
（3）确定x的取值范围,使得函数的图象在x轴上方(写出结论即可).
解析：（1）因为，
所以.
（2）函数在(1,+∞)上单调递减.
证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则==,
由x1,x2∈(1,+∞),得(x1-1)(x2-1)>0,
由x10,所以>0,即f(x1)>f(x2).由单调性的定义可知,在(1,+∞)上单调递减.
（2）作出函数的图象,如图所示,由图象知,当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,的图象在x轴上方.
题型三
单调性的综合应用
9、函数在上是减函数．则（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：根据题意，函数在上是减函数，
则有，
解可得，
10、若是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足.
（1）求的值;
（2）若,求不等式的解集.
解析：（1）在中,令x=y=1,则有=-=0,∴=0.
∵f(6)=1，∴=，
∴.
∵是(0,+∞)上的增函数,
∴解得-3故不等式的解集为{x|-311、设函数，且
(1)求的值；
(2)试判断在上的单调性，并用定义加以证明；
(3)若求值域；
解析：（1）由（1），得，．
（2）在上单调递减．
证明：由（1）知，，
设，则．
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上单调递减．
（3）由于函数在上单调递减．
所以所以函数的值域为.
12、已知定义在上的函数满足，若，求实数的取值范围.
解析：因为函数满足
所以函数在上是减函数，
又因为
所以
能力提升
思维拓展
探究重点
1、已知函数,则的单调递增区间为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：因为,所以由-x2+3x>0,得0又t=-x2+3x=在区间上单调递增,在区间上单调递减,又y=(t>0)为减函数,所以函数y=的单调递增区间为.故选D.
2、函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是______
.
解析：因为是R上的增函数，∴，解得
3、已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最大值.
解析：（1）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）由（1）可知函数在区间上单调递增，
当时，函数取得最大值.
4、若非零函数对任意实数均有，且当时，.
（1）求证：；
（2）求证：为减函数；
（3）当时，解不等式
解析：（1）
（2）设则
，所以
为减函数.
（3）由
由（1）得
原不等式转化为，
结合（2）得：，即
故不等式的解集为.
5、设函数f（x）=x｜x―a｜+｜x+b｜（a，b∈R）．
（1）若a=2，b=1，试求函数f（x）在[0，2]上的值域；
（2）若b=0，1＜a＜2，试求函数f（x）在[―1，3]上的最大值g（a）．
解析：（1）当a=2，b=1时，
f（x）=x｜x―2｜+｜x+1｜，
又∵x∈[0，2]，
∴，
∵x∈[0，2]，
∴，
故函数的值域为；
（2）由题意，f（x）=x｜x―a｜+｜x｜，
当―1≤x≤0时，，
在[―1，0]上单调递增，
故f（x）max=f（0）=0，
当0＜x≤a时，，
其图象的对称轴为，
故f（x）在上是增函数，在上是减函数，
故，
当a＜x≤3时，，
其图象的对称轴为，
故f（x）在（a，3]上是增函数，
故f（x）max=f（3）=9―3（a―1）=12―3a，
又∵1＜a＜2，
∴，
故g（a）=12―3a．
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)