3.2.2 函数的最大（小）值 同步练习（解析版）

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第三章
函数的概念与性质
【3.2.2
函数的最大（小）值】
基础闯关
务实基础
达标检测
题型一
求函数的最值
1、若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是
(　　)
A.2
B.-2
C.2或-2
D.0
解析：当a>0时,由题意得2a+1-(a+1)=2，所以a=2；当a<0时，由题意得a+1-(2a+1)=2，所以a=-2。综上a=±2.故选C
2、当0≤x≤2时，a<-x2+2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(-∞，1]
B．(-∞，0]
C．(-∞，0)
D．(0，+∞)
解析：令f(x)=-x2+2x，则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1。又∵x∈[0，2]，∴f(x)min=f(0)=f(2)=0，∴a<0.
3、函数的最大值是：（
）
A．
B．
C．
D．
解析：
故函数的最大值为：.故选A
4、函数在上的最小值和最大值分别是（
）
A．
B．
C．
D．，无最大值
【详解】由题意知，函数的对称轴为，
在上，为减函数，在上，为增函数，
故当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，最大值为.故选A
5、已知的解集为.
（1）求实数a，b的值;
（2）若，，求函数的最小值.
解析：（1）依题意可得方程的根为4或1，
∴由根与系数的关系得即
（2）由（1）知，
∵，∴，，
∴+=（+）=++5≥2+5=9
当且仅当=，即x=时等号成立,∴的最小值为9.
题型二
函数最值的综合运用
6、若函数的定义域为[0,m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：∵=，∴，且，
由已知及二次函数的图象可知，m的值最小为,最大为3,即m的取值范围是，故选C.
7、设，其中min{a，b}=则函数的最大值为　　　　.?
解析：
在同一平面直角坐标系内,作出y=-x+6和y=-x2+4x+6的图像,如图所示.
由题意及图可知的图像是图中的实线部分,观察图像可知此函数的最大值为6.
8、已知，函数对任意，总有，且当时，，.
（1）求证:是R上的减函数；
（2）求在上的最小值.
解析：（1）证明:?x1,x2∈R,且x10.
因为x>0时，f
(x)<0，所以f
(x2-x1)<0.
又因为x2=(x2-x1)+x1，
所以f
(x2)=f
[(x2-x1)+x1]=f
(x2-x1)+f
(x1),
所以f
(x2)-f
(x1)=f(x2-x1)<0，所以f
(x2)(x1),
所以f
(x)是R上的减函数.
（2）由（1）可知f
(x)在R上是减函数，所以f
(x)在[-3，3]上单调递减，
所以f
(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).
又f
(3)=f
(1)+f
(2)=3f
(1)=3×=-2,
所以函数f
(x)在[-3,3]上的最小值是-2.
题型三
函数最值在方程不等式中的应用
9、已知二次函数的最小值为1，.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求的取值范围；
（3）若，试求的最小值.
解析：（1）由已知∵是二次函数，且，∴对称轴为.又最小值为1，
设，
又，∴.
∴.
（2）要使在区间上不单调，则，∴.
（3）由（1）知，的对称轴为，
若，则在上是增函数，.
若，即，则在上是减函数，.
若，即，则.
综之，当时，；
当时，；当时，.
10、已知函数.
（1）若，求函数在区间[0,3]上的最小值；
（2）若函数在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值.
解析：（1）若a=2，则f(x)=
-x2+4x-1=
-(x-2)2+3,该函数的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=2，
∴函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,在区间[2,3]上单调递减,
又f(0)=
-1，
f(3)=2,∴f
(x)min=f
(0)=
-1.
(2)易知函数图象的对称轴为直线x=a,
①当a≤0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,则f(x)max=f(0)=1-a=3,解得a=
-2；
②当0f(x)max=f(a)=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,均不符合题意;
③当a≥1时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=3,解得a=3.
综上所述,a=-2或a=3.
能力提升
思维拓展
探究重点
1、函数在闭区间上有最大值3，最小值为2，
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
解析：作出函数的图象，如图所示，
当时，最小，最小值是2，当时，，
函数在闭区间，上上有最大值3，最小值2，
则实数的取值范围是，．
故选：．
2、已知函数，若的最小值为，则实数的值不可能是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意当时，，
当且仅当时，等号成立；
当时，，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为，
当时，为函数在上的最小值，不合题意；
当时，为函数在上的最小值，，
由题意可得，解得；
综上，实数的取值范围为.故选：A.
3、已知函数.
（1）若对任意的实数都有成立，求实数的值；
（2）若在区间上为单调增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，求函数的最大值.
解析：（1）由题意知函数的对称轴为1，即
（2）函数的图像的对称轴为直线;
在区间上为单调递增函数，
得，
（3）函数图像开口向上，对称轴，
当时，时，函数取得最大值为：
当时，时，函数取得最大值为：
当时，或－1时，函数取得最大值为：
4、已知函数.
（1）若，求函数的最值；
（2）若，记函数的最小值为，求关于a的函数解析式.
解析：（1）当时，其图象开口向上,且对称轴方程为，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，
，，∴的最大值为，最小值为.
（2）函数的图象开口向上，且对称轴方程为，
当，即时，在[-1,1]上单调递增，∴；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
∴；
当，即时，在[-1,1]上单调递减，
∴.
综上可得，
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