3.2.3 奇偶性 同步练习（解析版）

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第三章
函数的概念与性质
【3.2.3
奇偶性】
基础闯关
务实基础
达标检测
题型一
奇偶性的概念及图像特征
1、已知一个奇函数的定义域为，则等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1
B.1
C.0
D.2
解析：因为该奇函数的定义域为{-1,2,a,b},且奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b中一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1,故选A.
2、函数的图象(
)
A．关于原点对称
B．关于轴对称
C．关于轴对称
D．不具有对称轴
解析：因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称.故选B
3、设函数，且则等于（
）
A.-3
B.3
C.-5
D.
5
解析：因为是奇函数，所以，所以
4、是定义在R上的奇函数,其在[0,+∞)上的图象如图所示.
（1）画出的图象；
（2）解不等式；
解析：（1）根据奇函数的图象关于原点对称,可得的图象如图所示.
（2）即图象上点的横坐标与纵坐标同号,且均不为0。结合图象可知，的解集是(-2,0)∪(0,2).
题型二
奇偶性的判定
5、函数（
）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析：∵定义域为(0,1),不关于原点对称,∴函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,故选C.
6、若定义在上的函数满足：对任意有+1，则下列说法一定正确的是（
）．
A．为奇函数
B．
为偶函数
C．为奇函数
D．为偶函数
解析：令，则，
令，则，
，为奇函数，故选C.
7、判断下列函数的奇偶性，并加以证明．
（1）；
（2）
解析：（1）定义域为，，所以是奇函数．
（2）函数的定义域为，当时，，此时，．
当时，，此时，．
当时，．
综上可知对任意都有，所以为偶函数．
题型三
奇偶性的综合应用
8、若函数是偶函数，则等于____.
解析：由于函数是偶函数，
所以即，
所以恒成立，所以.
9、已知函数.
（1）证明：是奇函数；
（2）用函数单调性的定义证明：在上为增函数.
解析：（1）由已知，函数的定义域为.设，则，
.
所以函数为奇函数.
（2）证明：设是上的两个任意实数，且，则.
.
因为
，
所以
，，，
所以
，
所以
在上是增函数.
10、已知函数定义在上，满足：任意，都有成立，.
（1）求的值.
（2）判断的奇偶性，并加以证明；
解析：（1）令得，，解得：，
令得，，又，
所以可得；
（2）令，则有，
所以，所以函数为上的奇函数.
11、定义在[－1，1]上的函数是增函数且是奇函数，若．求实数的取值范围．
解析：由得
，
∵定义在[－1，1]上的函数y=f（x）是增函数且是奇函数，
∴不等式等价为f（4a－5）＞f（a－1），
则满足，得，
即，
即实数a的取值范围是．
12、已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式．
解析：（1）因为函数是定义在(-1,1)上的奇函数，所以，得.
又知，解得所以.
（2）证明:?x1,x2∈(-1,1),且x1由于-10,
所以，即>0,所以在(-1,1)上是增函数.
（3）因为是奇函数,所以，
所以等价于,即，
又由（2）知在(-1,1)上是增函数,
所以解得，
即原不等式的解集为.
能力提升
思维拓展
探究重点
1、已知函数是奇函数，则a=____，f（f（1））=____．
解析：若函数f（x）是奇函数，
则f（－1）=－f（1），
即a+2=－（1－2）=1，则a=－1，
则f（1）=1－2=－1，
f（－1）=a+2=－1+2=1，
故答案为：－1，1
2、已知函数，，试判断的奇偶性.
解析：
，
画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，
则
当时，，则
都是奇函数.
3、已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的都满足．
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论．
解析：（1）
，．
（2）．
=
故为奇函数．
4、函数对于任意的实数都有成立，且当时恒成立．
（1）证明函数的奇偶性；
（2）若，求函数在[－2，2]上的最大值；
（3）解关于的不等式
解析：（1）令x=y=0得f(0)=0,再令y=—x即得
f(－x)=－f(x）∴f(x）是奇函数
（2）设任意，且，则，由已知得
（1）
又
（2）
由（1）（2）可知，
由函数的单调性定义知在(-∞，+∞)上是减函数
∴x∈[－2，2]时，，
∴f(x)当x∈[－2，2]时的最大值为4．
（3）由已知得：
由（1）知f(x）是奇函数，
∴上式又可化为：由（2）知f(x）是R上的减函数，
∴上式即：
化简得
∴
原不等式的解集为或
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