3.3 幂函数 同步练习（解析版）

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第三章
函数的概念与性质
【3.3
幂函数】
基础闯关
务实基础
达标检测
题型一
幂函数的概念
1、下列函数中，是幂函数的个数是（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：根据幂函数的定义判断，是幂函数．故选B
2、
设，则使为奇函数且在上单调递减的的值的个数是（
）．
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
解析：当时，为奇函数，当时在上单调递减，同时满足两个条件的只有一个，即．故选A．
3、下列结论中正确的个数有（
）
（1）幂函数的图象一定过原点；
　　
（2）
当<0时,幂函数是减函数；
（3）当>0时，幂函数是增函数；
（4）函数既是二次函数，又是幂函数．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：幂函数，当时，图象一定过原点，当时，图象一定不过原点,故（1）不对．当时，幂函数图象在上是减函数，故（2）不对．当时，幂函数图象在上是增函数，故（3）不对．函数是二次函数，不是幂函数，故（4）不对．故选A
4、已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（
）
A．
B．0
C．1
D．2
解析：由题意可得：且为偶数，，
解得，且为偶数，，
∴．
故选：C．
题型二
幂函数的图像及其应用
5、函数的图象是（
）
解析：函数，因为，所以这个函数为偶函数，图象关于轴对称，可能是或，又，所以当时，图象应在直线的下方，故选C．
6、已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线，，，对应的的值依次为：
故选：C.
7、如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小(
)
A．
B．
C．
D．
解析：在上单调递减的幂函数，幂指数小于0，故，故选D
题型三
幂函数的性质及其应用
8、幂函数在上为增函数，则实数的值为（
）
A．0
B．1
C．1或2
D．2
解析：由题意为幂函数，所以，解得或.
因为在上为增函数，所以，即，所以.故选D.
9、已知幂函数，若，则的取值范围是
解析：由题意，因为是幂函数，所以x＞0，且是递减函数，又因为
所以有
，即
所以，即a的取值范围是(3,4)
10、已知，
（1）分别求出A，B的值；
（2）已知函数是幂函数，且在区间上单调递增，求m的值．
解析：（1），
（2）∵函数是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，
故，解得：m=－3．
11、已知幂函数为偶函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
解析：（1）由题意得m2-5m+7=1,
即m2-5m+6=0,解得m=2或m=3.
又为偶函数,所以m=3,
即.
（2）由(1)知,则g(x)=x2-ax-3.
因为g(x)=x2-ax-3在[1,3]上不是单调函数,所以,解得,
即a的取值范围为(2,6).
已知幂函数y＝f
(x)＝x－2m2－m＋3，其中
m∈{x|－2①是区间(0，＋∞)上的增函数；
②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f
(x)的值域．
解析：因为m∈{x|－2因为对任意x∈R，都有f
(－x)＋f
(x)＝0，
即f
(－x)＝－f
(x)，所以f
(x)是奇函数．
当m＝－1时，f
(x)＝x2只满足①而不满足②；
当m＝1时，f
(x)＝x0条件①、②都不满足．
当m＝0时，f
(x)＝x3条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．
所以x∈[0,3]时，函数f
(x)的值域为[0,27]．
能力提升
思维拓展
探究重点
1、若且，则与的大小关系是_________．
解析：因为所以
由因为函数，在上单调递减，所以
2、如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．nB．mC．n>m>0
D．m>n>0
解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m>2n，所以n3、已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的取值范围．
解析：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m－3＜0，
解得m＜3.
∵m∈N
，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m－3是偶数，
而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m＝1.
而f(x)＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴(a＋1)＜(3－2a)等价于a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.
解得a＜－1或＜a＜.
故a的取值范围为{a|a＜－1或＜a＜}．
4、已知幂函数.
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
（2）若函数的图象经过点，试确定m的值，并求满足的实数a的取值范围.
解析：（1）∵m∈N
,∴m2+m=m(m+1)为偶数.
令m2+m=2k,k∈N
,
则，
∴的定义域为[0,+∞),且在[0,+∞)上为增函数.
（2）由题意可得，∴m2+m=2，解得m=1或m=-2(舍去),
∴.
由（1）知在定义域[0,+∞)上为增函数,
∴等价于2-a>a-1≥0，解得，故实数a的取值范围为.
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