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华师版数学八年级上13.4.尺规作图导学案
课题
13.4.2
尺规作图
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.掌握尺规的基本作图:画直线的垂线;
2.掌握尺规的基本作图:画线段的垂直平分线;
3.进一步学习解尺规作图题，会写已知、求作和作法，以及掌握准确的作图语言.
重点
难点
1.过已知直线外一点作这条直线的垂线.
2.线段的垂直平分线.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC=6，AD=2，则BD的长为（ ）
2
B.
3
C.
4
D.
6
2、
如图所示的尺规作图的痕迹表示的是(
)
A.
尺规作线段的垂直平分线
B.
尺规作一条线段等于已知线段
C.
尺规作一个角等于已知角
D.
尺规作角的平分线
合
作
探
究
探究一：
4.经过一已知点作已知直线的垂线
已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系:
点在直线上，
点不在直线上.
因此要分别按这两种情况作图.
(1)经过已知直线上一点作已知直线的垂线.
已知直线AB和AB上一点C,
试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.
如图,由于点C在直线AB上，
因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线.
(2)经过已知直线外一点作已知直线的垂线.
已知直线AB和AB外一点C,试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.
探究二：
例
利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
探究三：
5.作已知线段的垂直平分线
如图13.4.9,已知直线l是线段AB的垂直平分线，
则直线l是线段AB的对称轴,对l上的任意两点C、D,
通过对折可以发现,总有CA=CB,DA=DB.
由此，你能发现作垂直平分线的方法吗?
如图13.4.10,已知线段AB,试按下列步骤用直尺和
圆规准确地作出线段AB的垂直平分线.
我们可以证明这样作出来的直线是符合要求的,即
直线CD垂直平分线段AB.
如图13.4.
11,连结CA、CB、DA、DB.
∴AC=
BC,
AD=
BD,
CD
=
CD,△ACD≌△BCD(S.S.S.
),
∴∠ACD
=∠BCD(全等三角形的对应角相等)，
CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线合一”).
由于上面作出的直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，因此我们可以用这种方法作出线段AB的中点，从而也可以作出任意一个三角形的三条中线.
注意：
1.掌握一些规范的几何作图语句.
2.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于常用基本作图的地方，只需用一句话概括叙述即可.
3.解决尺规作图问题，先作出符合条件的图形草图,在确定具体的作图方法.
当
堂
检
测
1、
如图，已知AB=AC，AB=6，BC=4，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点E、F，直线EF与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A.
15
B.
13
C.
11
D.
10
如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以点C为圆心，CA的长为半径画弧①；
步骤2：以点B为圆心，BA的长为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结AD，交BC的延长线于点H．
下列叙述正确的是?
（???
）
A.
BH垂直平分线段AD
B.
AC平分∠BAD
C.
S△ABC＝BC·AH
D.
AB＝AD
3、尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A.
①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅰ，④-Ⅲ
B.
①-Ⅳ，②-Ⅲ，③-Ⅱ，④-Ⅰ
C.
①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ
D.
①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ
4、根据要求画图，并回答问题．已知：直线AB，CD相交干点O，且OE⊥AB．
过点O画直线MN⊥CD；
若点F是（1）所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC＝34°，求∠EOF的度数．
课
堂
小
结
今天学习了哪些作图方法？
参考答案
自主学习：
1、解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AC=6，AD=2，
∴BD=CD=4，
故选：C．
2、A
合作探究：
探究一：
第一步:作平角ACB的平分线CD;
第二步:反向延长射线CD.
直线CD就是要求作的垂线
如图13.4.7，若以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E两点的弧，则△CDE为等腰三角形.
由“等腰三角形顶角的平分线就是底边上的高”可知,只需作出∠DCE的平分线,则该平分线所在的直线就是要求作的垂线.
探究二：
作法
1.
作直线AB;
2.过点A作直线AB的垂线AC;
3.作∠CAB的平分线AD.
∠DAB就是要求作的角(如图13.4.8所示).
探究三：
第一步:分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的
长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D;
第二步:作直线CD.
直线CD就是要求作的线段AB的垂直平分线.
当堂检测：
1、解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=6+4=10．
故选：D．
2、解：∵步骤1：以点C为圆心，CA的长为半径画弧①；???
步骤2：以点B为圆心，BA的长为半径画弧②，交弧①于点D；???
步骤3：连结AD，交BC的延长线于点H，
∴AD为BH的垂直平分线.
故选A.
3、解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是：①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ．
故选：D．
4、解：（1）如图；
（2）如上图：①当F在OM上时，
∵EO⊥AB，MN⊥CD，
∴∠EOB＝∠MOD＝90°，
∴∠MOE＋∠EOD＝90°，
∠EOD＋∠BOD＝90°，
∴∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝34°；
②当F在ON上时，如图．在F'点时，
∵MN⊥CD，
∴∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，
∴∠AOM＝90°-∠AOC＝56°，
∴∠BON＝∠AOM＝56°，
∴∠EOF'＝∠EOB＋∠BON＝90°＋56°＝146°，
?答：∠EOF的度数是34°或146°．
课堂小结：
1、4.经过一已知点作已知直线的垂线
2、5.作已知线段的垂直平分线
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13.4.2
尺规作图
数学华师版
八年级上
复习导入
我们上一节学习了哪些尺规作图呢？
1.作一条线段等于已知线段
2.作一个角等于已知角
3.作已知角的平分线
新知讲解
4.经过一已知点作已知直线的垂线
已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系:
点在直线上，
点不在直线上.
因此要分别按这两种情况作图.
新知讲解
(1)经过已知直线上一点作已知直线的垂线.
已知直线AB和AB上一点C,
试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.
A
C
B
新知讲解
如图13.4.6,由于点C在直线AB上，
因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线.
第一步:作平角ACB的平分线CD;
第二步:反向延长射线CD.
直线CD就是要求作的垂线
A
B
D
图13.4.6
C
新知讲解
(2)经过已知直线外一点作已知直线的垂线.
已知直线AB和AB外一点C,试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.
A
B
·C
新知讲解
如图13.4.7，若以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E两点的弧，则△CDE为等腰三角形.
由“等腰三角形顶角的平分线就是底边上的高”可知,只需作出∠DCE的平分线,则该平分线所在的直线就是要求作的垂线.
A
B
·
C
F
图13.4.7
D
E
新知讲解
作法
1.
作直线AB;
2.过点A作直线AB的垂线AC;
3.作∠CAB的平分线AD.
∠DAB就是要求作的角(如图13.4.8所示).
例
利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
图13.4.8
A
B
C
D
新知讲解
思考
如图13.4.9,已知直线l是线段AB的垂直平分线，
则直线l是线段AB的对称轴,对l上的任意两点C、D,
通过对折可以发现,总有CA=CB,DA=DB.
由此，你能发现作垂直平分线的方法吗?
C
A
B
D
图13.4.9
新知讲解
如图13.4.10,已知线段AB,试按下列步骤用直尺和
圆规准确地作出线段AB的垂直平分线.
第一步:分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的
长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D;
第二步:作直线CD.
直线CD就是要求作的线段AB的垂直平分线.
图13.4.10
A
B
C
D
我们可以证明这样作出来的直线是符合要求的,即
直线CD垂直平分线段AB.
如图13.4.
11,连结CA、CB、DA、DB.
∴AC=
BC,
AD=
BD,
CD
=
CD,
∴△ACD≌△BCD(S.S.S.
),
∴∠ACD
=∠BCD(全等三角形的对应角相等)，
CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线合一”).
图13.4.11
A
B
D
C
新知讲解
由于上面作出的直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，因此我们可以用这种方法作出线段AB的中点，从而也可以作出任意一个三角形的三条中线.
新知讲解
注意：
1.掌握一些规范的几何作图语句.
2.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于常用基本作图的地方，只需用一句话概括叙述即可.
3.解决尺规作图问题，先作出符合条件的图形草图,在确定具体的作图方法.
新知讲解
课堂练习
1、如图，已知AB=AC，AB=6，BC=4，分别以A、B两点为圆心，大于
AB的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A.
15
B.
13
C.
11
D.
10
课堂练习
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长
=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=6+4=10．
故选：D．
2、如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
???
步骤1：以点C为圆心，CA的长为半径画弧①；
???
步骤2：以点B为圆心，BA的长为半径画弧②，交弧①于点D；
???
步骤3：连结AD，交BC的延长线于点H．
下列叙述正确的是?
（???
）
A.
BH垂直平分线段AD
B.
AC平分∠BAD
C.
S△ABC＝BC·AH
D.
AB＝AD
课堂练习
课堂练习
解：∵步骤1：以点C为圆心，CA的长为半径画弧①；???
步骤2：以点B为圆心，BA的长为半径画弧②，交弧①于点D；???
步骤3：连结AD，交BC的延长线于点H，
∴AD为BH的垂直平分线.
故选A.
课堂练习
3、尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A.
①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅰ，④-Ⅲ
B.
①-Ⅳ，②-Ⅲ，③-Ⅱ，④-Ⅰ
C.
①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ
D.
①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ
课堂练习
解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；
Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；
Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是：①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ．
故选：D．
拓展提高
4、根据要求画图，并回答问题．已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥AB．
（1）过点O画直线MN⊥CD；
（2）若点F是（1）所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC＝34°，求∠EOF的度数．
拓展提高
解：（1）如图；
（2）如上图：①当F在OM上时，
∵EO⊥AB，MN⊥CD，
∴∠EOB＝∠MOD＝90°，
∴∠MOE＋∠EOD＝90°，
∠EOD＋∠BOD＝90°，
∴∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝34°；
拓展提高
②当F在ON上时，如图．在F'点时，
∵MN⊥CD，
∴∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，
∴∠AOM＝90°-∠AOC＝56°，
∴∠BON＝∠AOM＝56°，
∴∠EOF'＝∠EOB＋∠BON＝90°＋56°＝146°，
?答：∠EOF的度数是34°或146°．
课堂总结
尺规作图
4.经过一已知点作已知直线的垂线
5.作已知线段的垂直平分线
板书设计
课题：13.4.2
尺规作图
?
教师板演区
?
学生展示区
4.经过一已知点作已知直
线的垂线
5.作已知线段的垂直平分线
作业布置
基础作业：
课本P90练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P91练习第5题
