1.1命题及其关系 同步练习（含解析）

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高中数学人教新课标A版
选修2-1
1.1命题及其关系
一、单选题
1.在某一命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数不可能是（?
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?4
2.命题“若
，则方程
有实根”的否命题是（???
）
A.?若
，则方程
有实根????????
B.?若
，则方程
有实根
C.?若
，则方程
没有实根?????
D.?若
，则方程
没有实根
3.关于“
，则
，
至少有一个等于
”及其逆命题的说法正确的是（????
）
A.?原命题为真，逆命题为假????????????????????????????????????B.?原命题为假，逆命题为真
C.?原命题与逆命题均为真命题????????????????????????????????D.?原命题与逆命题均为假命题
4.命题“若
,则
”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为（???
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
5.命题“若
，则
”的否命题为（
?）
A.?若
，则
且
???????????????????
?B.?若
，则
或
C.?若
，则
且
????????????????????
D.?若
，则
或
6.命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是(
)
A.?若x2>1，则－1≤x≤1??????????????????????????????????????????B.?若－1≤x≤1，则x2≤1
C.?若－11??????????????????????????????????????????D.?若x<－1或x>1，则x2>1
7.给定①②两个命题：①为“若
，则
”的逆否命题；②为“若
，则
”的否命题，则以下判断正确的是(?
)
A.?①为真命题，②为真命题????????????????????????????????????B.?①为假命题，②为假命题
C.?①为真命题，②为假命题????????????????????????????????????D.?①为假命题，②为真命题
8.给出下列命题：⑴在△ABC中，若
，则
；⑵设
，
，
为实数，若
，则
；⑶设
，则
的取值范围是
.其中，真命题的个数是（??
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
9.下列结论：①函数
和
是同一函数；
②函数
的定义域为
，则函数f（3x2）
的定义域为[0，]；
③函数
的递增区间为
；
其中正确的个数为（
??）
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
10.下列命题中为真命题的是(???
)
A.?命题“若
，则
”的逆命题??????????????
B.?命题“
，则
”的否命题
C.?命题“若
，则
”的否命题?
D.?命题“若
，则
”的逆否命题
11.已知命题
：“若
为锐角三角形，则
”；命题
：“
，使得
成立”若命题
与命题
的真假相同，则实数
的取值范围是（???
）
A.???????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????????????????????D.?
12.已知命题“若函数
在
上是增函数，则
”，则下列结论正确的是（
?）
A.?否命题是“若函数
在
上是减函数，则
”，是真命题
B.?逆命题是“若
，则函数
在
上是增函数”，是假命题
C.?逆否命题是“若
，则函数
在
上是减函数”，是真命题
D.?逆否命题是“若
，则函数
在
上不是增函数”，是真命题
二、多选题
13.当一个非空数集
满足条件“若
，则a+b，a-b，
，且当
时，
”时，称
为一个数域，以下四个关于数域的命题：其中，真命题为（???
）
A.?0是任何数域的元素????????????????????????????????????????????B.?若数域
有非零元素，则
C.?集合
为数域?????????????????????D.?有理数集为数域
三、填空题
14.命题若
，则
”的逆命题是________．
15.下列特称命题是真命题的序号是________．
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数x0
，
使
＋x0＋1<0；
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
16.已知平面α，β，直线
.给出下列命题：
①
若
，
，则
；②
若
，
，则
；
③
若
，则
；④
若
，
，则
.
其中是真命题的是________．（填写所有真命题的序号）．
17.已知函数
在区间
上是增函数，
，对于命题“若
，则
”，有下列结论：
①此命题的逆命题为真命题；
②此命题的否命题为真命题；
③此命题的逆否命题为真命题；
④此命题的逆命题和否命题有且只有一个为真命题.
其中正确的结论的序号为________.
四、解答题
18.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.
（1）若x2＋y2＝0，则x
，
y全为零；
（2）若xy＝0，则x
，
y中至少有一个是零.
已知命题：若m>2,则方程x2+2x+3m=0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假.
将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若
，则
”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．
已知命题p：x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若命题p与命题q有且只有一个为真，求实数m的取值范围．
22.已知命题p:关于
的不等式
的解集为A，且
；命题q:关于x的方程
有两个不相等的正实数根.
（1）若命题p为真命题，求实数m的范围；
（2）若命题p和命题q中至少有一个是假命题，求实数m的范围.
23.已知
，设命题
：当
时，函数
恒成立，命题
：双曲线
的离心率
.
（Ⅰ）若命题
为真命题，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）
若命题
和
中有且只有一个真命题，求实数
的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：原命题与其否命题同真同假，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假，
故真命题个数为偶数，
故答案为：B
【分析】根据逆否命题的等价性进行判断即可．
2.答案：
C
解：命题“若
，则方程
有实根”的否命题是若
，
则方程
没有实根．
故答案为：C.
【分析】根据否命题的概念求解．
3.答案：
D
解：若
,
,则
,故原命题为假;
若
,
,则
,故其逆命题为假.
故答案为：D.
【分析】通过举反例,可说明原命题和其逆命题都是假命题.
4.答案：
B
解：因为
，所以
或
.
因为
或
，所以原命题为真命题，则其逆否命题为真命题.
因为
或
，所以逆命题为假命题，则否命题为假命题，即2个真命题.
故答案为：B
【分析】解不等式
，得
或
.当
时，
或
成立，原命题成立.当
或
时，
不成立，逆命题不成立.根据原命题与其逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题，并且互为逆否命题的两个命题真假性相同.则可判断真命题的个数.
5.答案：
D
解：命题“若
，则
”的否命题是“若
，则
或
”．
故答案为：D．
【分析】根据否命题的定义，既否定条件又否定结论，即可求出原命题的否命题.
6.答案：
B
解：命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是“若－1≤x≤1，则x2≤1”，
要注意两点，一是否定时的双否，二是逻辑连接词“或”要改成“且”
，
故答案为：B
【分析】根据逆否命题的改写原则进行改写，先逆后否即可.
7.答案：
C
解：对于①原命题显然为真命题，故其逆否命题也为真命题，
对②其否命题是“若
，则
”，
由于
时，
，故否命题是假命题.
所以①为真命题，②为假命题，
故选C.
【分析】判断①原命题的真假性，得出其逆否命题的真假性，写出②的否命题，并判断真假性，由此得出正确选项.
8.答案：
B
解：由题意，对于（1）中，在△ABC中，若
，可得
，
由正弦定理得
，则
，所以（1）是正确的；
对于（2）中，若
，当
时，此时
，所以（2）不正确；
对于（3）中，由
，则
的取值范围是
，所以（3）不正确.
故答案为：B.
【分析】对于（1）中，利用正弦定理，可判定是正确的；对于（2）中，根据不等式的性质，可判定不正确；对于（3）中，利用不等式的性质，可判定不正确，即可求解.
9.答案：
A
解：对于①，由于函数
的定义域为R，
的定义域为[0，+∞），
这两个函数的定义域不同，故不是同一函数，故①不满足条件．
对于②，由于函数f（x-1）的定义域为[1，2]，故有0≤x-1≤1．
对于函数f（3x2），可得0≤3x2≤1，解得x∈[-
,
]
故函数f（3x2）的定义域为[-
,
]，故②不正确．
对于③，函数y=log2（x2+2x-3），令t=x2+2x-3＞0，求得x＜-3，或x＞1，
故函数的定义域为（-∞，-3）∪（1，+∞），本题即求t在定义域内的增区间，
利用二次函数的性质可得t的递增区间为（1，+∞），故③不正确．
故答案为：A
【分析】由已知利用同一函数的定义，抽象函数定义域的求法，复合函数的单调性的求法，二次函数的性质，分别判断各结论的真假即可得结果.
10.答案：
A
解：命题“若
,则
”的逆命题为“若
,则
”，
因为，所以为真命题；
命题“若
,则
”的否命题为“若
,则
”，
因为-2
,但
，所以为假命题；
命题“若
,则
”的否命题为“若
,则
”，
因为当
时
，所以为假命题；
命题“若
,则
”为假命题，所以其逆否命题为假命题.
故答案为：A
【分析】由已知利用四种命题的概念，分别判断各选项中的命题即可得结论.
11.答案：
C
解：先判断命题
的真假,若
为锐角三角形,则
,则
,
由此
,所以
,即
,所以命题
为假命题,
因为命题
与命题
的真假相同,故命题
也为假命题,
即命题“
,使得
成立”是假命题,
所以命题
:“
恒成立”为真命题,
因为
,所以
,
解得
,即实数
的取值范围是
.
故选:C
【分析】先判断命题的真假,由锐角可得
,则可推得
,即命题
为假命题,则命题
也为假命题,可知
:“
恒成立”为真命题,进而求解即可.
12.答案：
D
解：原命题“若函数
在
上是增函数，则
”，是真命题；
逆命题为“若
，则函数
在
上是增函数”，是真命题；
否命题为“若函数
在
上不是增函数，则
”，是真命题；
逆否命题为“若
，则函数
在
上不是增函数”，是真命题，
综上所述，故答案为：D.
【分析】本题首先可以根据原命题“若函数
在
上是增函数，则
”写出原命题的逆命题、否命题以及逆否命题，然后判断出四种命题的真假，即可得出结果.
二、多选题
13.答案：
A,B,D
解：若
，则
，A符合题意；若
且
，则
，
由此
，
，依次类推
，B符合题意；
又
，
，但
，
不是数域，C不符合题意；
因
是两个有理数，则
（
）都是有理数，
所以有理数集是数域，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】根据新概念数域的定义判断．
三、填空题
14.答案：
若
，则
解：逆命题是将原命题结论写成条件，条件写成结论，
所以“
，则
”的逆命题是“若
，则
”.
答案：若
，则
.
【分析】由已知利用逆命题是将原命题结论写成条件，条件写成结论，即可写出逆命题.
15.答案：
①③④
解：三角形面积相等，只需满足底乘以高相等即可，并不一定要相似，①对；
＋x0＋1对应的判别式为
，则
＋x0＋1>0恒成立，②错；
要使函数y＝ax＋b为增函数，
即可，③对；
设实数为
，则
，④对.
答案选①③④
【分析】①面积相等三角形不一定相似，①对；②判断判别式，命题错误；③a为斜率，大于0即可④
都可以.
16.答案：
③④
解：对于①，若
，
，则
或
相交，所以该命题是假命题；
对于②，若
，
，则
可能平行、相交、异面，所以该命题是假命题；
对于③④可以证明是真命题.
故答案为：③④
【分析】利用线面平行，面面平行的判定与性质，分别判断各命题的真假，即可得结果.
17.答案：
①②③
解：已知函数
在区间
上是增函数，
，若
，则
，故
，
同理可得
，则
，
即原命题为真命题，可得其逆否命题为真命题，③正确；
若
，则
，故
，
同理可得
，则
，即否命题为真命题，
可得其等价命题逆命题为真命题，①②正确；由此得④不正确，
故答案为①②③.
【分析】逆否命题与原命题真假相同,所以判断逆否命题的真假可以直接判断原命题的真假，否命题与逆命题真假相同,所以判断否命题的真假可以直接判断逆命题的真假.
四、解答题
18.答案：
（1）解：逆命题：若x,y全为零，则x2＋y2＝0.（真）；
否命题：若x2＋y2≠0，则x
，
y不全为零.（真）；
逆否命题：若x
，
y不全为零，则x2＋y2≠0.（真）
（2）解：逆命题：若x＝0或y＝0，则xy＝0.（真）；
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.（真）；
逆否命题：若x≠0且y≠0，则xy≠0.（真）
【分析】结合逆命题、否命题、逆否命题的写法和真假关系，即可得出答案.
答案：
解：逆命题:若方程x2+2x+3m=0无实根，
则m>2,根据
，解得：
，所以是假命题.
否命题:若m≤2,则方程x2+2x+3m=0有实根，
当
时，判别式
，不一定有实根，所以假命题.
逆否命题:若方程x2+2x+3m=0有实根，
则m≤2,根据
，解得：
，此时
成立，所以是真命题.
【分析】根据原命题，分别写出逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，再分别判断其真假，从而可得结论.
答案：
解：“若
，则
”的形式：
若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．（真命题）
逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．（真命题）
否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．（真命题）
逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．（真命题）
【分析】先由已知利用四种命题的定义，分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，再利用平行四边形的性质即可判断它们的真假.
21.答案：
解：
有两个不等的负根，
?
无实根，
得
有且只有一个为真，若p真q假，得
?，若p假q真，得
，
综合上述得
.
【分析】若
真，
?，若
?真，
?，由题意可知，
与
一真一假，分类讨论即可.
22.答案：
（1）解：命题p:关于x的不等式
的解集为A,且
，
因为命题p为真命题，所以
，解得
；
（2）解：命题q:关于x的方程
有两个不相等的正实数根，
当命题q为真命题时,
，解得
，
当命题p和命题q都为真命题
，所以
，
所以若命题p和命题q中至少有一个是假命题，则
或
，
所以实数m的范围为
或
.
【分析】（1）根据不等式的解集且
,代入即可根据命题p为真命题求得数m的范围.（2）先求得命题p和命题q都为真命题时m的范围,根据补集思想即可求得命题p和命题q中至少有一个是假命题时m的范围.
23.答案：
解：（Ⅰ）当
时，因为
在
上为减函数，在
上为增函数，
∴
在
上最小值为
，
当
时，由函数
恒成立，得
，解得
.
（Ⅱ）若命题
为真命题，则
，解得
，
若
为真命题且
为假命题，则
，可得
，
若
为假命题且
为真命题，则
，此时
，
由上可知，
的取值范围为
.
【分析】（1）由
命题
为真命题
，分离常数a，找最值可得实数a的取值范围；
（2）分别由命题
和
为真命题，求实数
的取值范围，则由
为真命题且
为假命题
与
为假命题且
为真命题
可得
实数
的取值范围.
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精品试卷·第
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