人教版数学九年级上册24.1.4圆周角讲义（表格式 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级上册24.1.4圆周角讲义（表格式 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-24 18:23:52 | ||
图片预览
文档简介
学科教师辅导讲义
学员编号：
年
级：
初三
课
时
数：
3学员姓名：
辅导科目：
数学
学科教师：
授课类型
T同步(圆的角度转换)
授课日期及时段
教学内容
（大脑放电影~）
一、与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。二、圆心角定理与圆周角定理1．圆心角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弧相等
，所对的弦也相等．2.圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个
、
、
、
中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．圆心角所对的弧叫做10的弧，n0的圆心角所对的弧就是n0的弧．2.圆周角定理①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．三、圆内接四边形如果一个四边形的
在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．圆内接四边形的对角
．【经典例题】知识点一
圆心角与弧的度数之间的转化【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E。求、的度数。【分析】连接CD，由直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出、的度数。【解答】解：连接CD∵△ABC是直角三角形，∠B＝36°∴∠A＝90°－36°＝54°∵AC＝DC∴∠ADC＝∠A＝54°∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－54°＝72°∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－72°＝18°∵∠ACD、∠BCD分别是、所对的圆心角
∴的度数为72°，的度数为18°知识点二
圆周角与圆心角之间的换算【例2】如图，在⊙O中，AB为直径，C，D是⊙O上的两点，CD∥AB，若∠COD＝40°，则∠A的度数为__________【分析】由OC＝OD，利用等边对等角得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，以及同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出所求即可．【解答】解：∵OC＝OD，∠COD＝40°∴∠CDO＝70°∵AB∥CD∴∠BOD＝∠CDO＝70°∵∠BOD与∠A都对
∴∠A＝∠BOD＝35°知识点三
利用圆周角定理及推论进行计算【例3】如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOB＝110°，则∠ACB等于（
）A．55°
B．110°
C．125°
D．140°
【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD．利用圆内接四边形的性质即可。【解答】解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD．∵∠ADB＝∠AOB＝55°∵∠ACB＋∠ADB＝180°∴∠ACB＝125°故选：C．知识点四
利用圆周角定理及推论进行证明【例4】已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE＝CF。求证：AE是⊙O的直径。【分析】由BE＝CF，则可证得∠BAE＝∠FAC，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可；【解答】证明：∵BE＝CF
∴＝
∴∠BAE＝∠CAF∵AF⊥BC∴ADC＝90°∴∠FAD＋∠ACD＝90°∵∠E＝∠ACB∴∠E＋∠BAE＝90°∴∠ABE＝90°∴AE是⊙O的直径知识点五
圆外角、圆周角、圆内角之间的转化【例5】如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，若所对的圆心角为100°，所对的圆心角为20°，求∠P的度数。【分析】根据圆周角定理求出∠ADC和∠BAD度数，根据三角形外角性质求出∠P即可．【解答】解：连结AD，
∵所对的圆心角为100°，所对的圆心角为20°
∴∠BAD＝10°，∠ADC＝50°∵∠ADC为三角形ADP的外角∴∠P＝50°－10°＝40°．知识点六
圆心角、圆周角性质定理的综合运用【例6】如图，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE．（1）求证：EC平分∠BED．（2）当EB＝ED时，求证：AE＝CE．【分析】（1）由AB是半圆O的直径，得到∠AEB=90°，求得∠DEB＝90°．推出∠BEC＝∠DEC，于是得到结论；（2）连结BC根据全等三角形的性质得到∠CBE＝∠CDE．根据圆周角定理得到∠AOE＝∠COE，于是得到AE＝CE．【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径∴∠AEB＝90°∴∠DEB＝90°∵OC⊥AB∴∠AOC＝∠BOC＝90°∴∠BEC＝45°∴∠DEC＝45°∴∠BEC＝∠DEC即EC平分∠BEC；（2）连结BC，OE∵BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC
在△BEC与△DEC中
∴△BEC≌△DEC∴∠CBE＝∠CDE∵∠CDE＝90°－∠A＝∠ABE∴∠ABE＝∠CBE∴∠AOE＝∠COE∴AE＝CE．题型一：圆周角与圆心角关系1．如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有________个圆周角，分别是_____________．【答案】6
∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE
2．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆弧上两点，∠D=115°，则∠CAB=（ ）A．55°
B．45°
C．35°
D．25°【答案】D3.在圆中等于半径的弦所对圆心角的度数是_______,弦所对劣弧所含圆周角的度数是______．【答案】60°
150°
4．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，求所对的圆周角的大小．【答案】30°5、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为88°、30°，则∠ACB的大小为（ C ）A．15°
B．28°
C．29°
D．34°
6．如图，在⊙O中，AB．AC是弦，，求的关系．【答案】7．如图，在⊙O中，弦BC∥OA，AC与OB相交于点D，∠ADB＝75°，试求∠C的度数．【答案】∠C＝25°．8．如图，已知E是⊙O上任意一点，CD平分∠ACB，求证：ED平分∠AEB．【详解】∵平分，∴，∴∴ED平分∠AEB．题型二：圆内接四边形的性质1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=100°，则∠ADC=（ ）A．70°
B．80°
C．90°
D．100°【答案】B2．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆弧上两点，∠D=115°，则∠CAB=（ ）A．55°
B．45°
C．35°
D．25°【答案】D3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（ D ）A．40°
B．60°
C．80°
D．90°
4．在圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=2：3：6，则∠D等于（ ）A．67.5°
B．135°
C．112.5°
D．45°故选C．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）A．45°
B．50°
C．55°
D．60°故选B．6．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=（ ）A．25°
B．30°
C．40°
D．55°故选：C．7．如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等，若∠ABC=30°，则∠ADC的度数是（ ）A．150°
B．120°
C．60°
D．30°故选A8、如图，点O为△ABC内一点，OA=OB=OC，且∠ABO=40°，则∠ACB的大小是（ B ）A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
9．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，∠E=α，∠F=β，则∠A=（ ）A．α+β
B．
C．180﹣α﹣β
D．【解答】连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=．故选D．10、如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：PA+PB=PC．11、（2019?马鞍山二模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上的一点，AF，CD的延长线相交于点G．（1）若⊙O的半径为，且∠DFC=45°，求弦CD的长．（2）求证：∠AFC=∠DFG．12、（2019?临海市一模）如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC．（1）求证：∠ACB+∠BOC=90°；（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长度．13、（2019春?江都区校级月考）如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的圆交AD于点E，交BD于点F，过点D作DC∥AB交AF的延长线于点C，连接CB．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若AE=7，BF=2，求半圆的半径和菱形ABCD的面积．14、（2019?阜阳模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO（1）当∠BCO=25°时，求∠A的度数；（2）若CD=，BE=4，求⊙O的半径．【课堂达标检测】1.
如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为(
)A．84°
B．60°
C．36°
D．24°【解答】解：∵∠B与∠C所对的弧都是∴∠C＝∠B＝24°故选：D2.
如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（
）A．70°
B．80°
C．110°
D．140°
【解答】解：作所对的圆周角∠APC，如图，∵∠P＝∠AOC＝×140°＝70°∵∠P＋∠B＝180°∴∠B＝180°70°＝110°故选：C
3.
如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝40°，则∠BOC的大小为（
）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
【解答】解：∵OA＝OB，∠A＝40°∴∠B＝∠A＝40°∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝100°∵点C是的中点，OC过O
∴＝
∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB＝50°故选：C．4.
如图，在⊙O中，已知OA⊥BC，∠AOB＝58°，则∠ADC的度数为（
）
A．29°
B．58°
C．87°
D．32°
【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝
∴∠ADC＝∠AOB＝29°故选：A5.
如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么BC的长是（
）
A.
B.
C.
1
D.
【解答】解：∵∠BAC＝60°∴∠BOC＝120°∵OD⊥弦BC∴∠BOD＝90°∵∠BOD＝∠A＝60°∴OD＝OB＝1
∴
∴BC＝2BD＝
故选：A【培优特训】6.
如图，已知在⊙O中，半径OA＝，弦AB＝2，∠BAD＝18°，OD与AB交于点C，则∠ACO＝________度【解答】解：∵OA＝
，OB＝，AB＝2
∴，OA＝OB∴△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°∴∠OBA＝45°∵∠BAD＝18°∴∠BOD＝36°∴∠ACO＝∠OBA＋∠BOD＝45°＋36°＝81°故答案为：817.
如图，AB、BC是⊙O的弦，OM∥BC交AB于M，若∠AOC＝100°，则∠AMO＝________°【解答】解：∵∠AOC＝2∠B，∠AOC＝100°，∴∠B＝50°，∵OM∥BC，∴∠AMO＝∠B＝50°，故答案为：508.
如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，则∠ABC＝________度．【解答】解：∵弦AC与半径OB互相平分∴OA＝AB∵OA＝OC∴△OAB是等边三角形∴∠AOB＝60°∴∠AOC＝120°∴∠ABC＝120°故答案为1209.
如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°，（1）求∠ABD的度数；（2）若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径。【解答】解：（1）∵∠C＝45°∴∠A＝∠C＝45°∵AB是⊙O的直径∴∠ADB＝90°∴∠ABD＝45°；（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3∴AB＝6∴⊙O的半径为310.
如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求证：△ACM≌△BCP；（2）若PA＝1，PB＝2，求△PCM的面积【解答】证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°∴∠BAC＝∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形∴BC＝AC，∠ACB＝60°∵CM∥BP∴∠PCM＝∠BPC＝60°又∵∠APC＝60°∴△PCM是等边三角形∴PC＝MC，∠M＝60°∵∠BCA－∠PCA＝∠PCM－∠PCA∴∠PCB＝∠ACM在△ACM和△BCP中
∴△ACM≌△BCP≌△ACM（AAS）
（2）∵△ACM≌△BCP∴AM＝PB＝2∴PM＝PA＋AM＝1＋2＝3∵△PCM是等边三角形∴△PCM的面积＝＝【中考链接】11.
（2018?广东）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是______【解答】解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．故答案为50°．12.
（2018?威海）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（
）
A.
B.
5
C.
D.
【解答】解：连接OC、OA
∵∠ABC＝30°∴∠AOC＝60°∵AB为弦，点C为的中点∴OC⊥AB在Rt△OAE中，AE＝
∴AB＝
故选：D13.（2018?白银）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（
）A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【解答】解：连接DC
∵C（，0），D（0，1）∴∠DOC＝90°，OD＝1，OC＝∴∠DCO＝30°∴∠OBD＝30°故选：B．
T同步——圆的角度转换同步训练
同步知识梳理
1
学员编号：
年
级：
初三
课
时
数：
3学员姓名：
辅导科目：
数学
学科教师：
授课类型
T同步(圆的角度转换)
授课日期及时段
教学内容
（大脑放电影~）
一、与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。二、圆心角定理与圆周角定理1．圆心角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弧相等
，所对的弦也相等．2.圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个
、
、
、
中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．圆心角所对的弧叫做10的弧，n0的圆心角所对的弧就是n0的弧．2.圆周角定理①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．三、圆内接四边形如果一个四边形的
在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．圆内接四边形的对角
．【经典例题】知识点一
圆心角与弧的度数之间的转化【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E。求、的度数。【分析】连接CD，由直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出、的度数。【解答】解：连接CD∵△ABC是直角三角形，∠B＝36°∴∠A＝90°－36°＝54°∵AC＝DC∴∠ADC＝∠A＝54°∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－54°＝72°∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－72°＝18°∵∠ACD、∠BCD分别是、所对的圆心角
∴的度数为72°，的度数为18°知识点二
圆周角与圆心角之间的换算【例2】如图，在⊙O中，AB为直径，C，D是⊙O上的两点，CD∥AB，若∠COD＝40°，则∠A的度数为__________【分析】由OC＝OD，利用等边对等角得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，以及同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出所求即可．【解答】解：∵OC＝OD，∠COD＝40°∴∠CDO＝70°∵AB∥CD∴∠BOD＝∠CDO＝70°∵∠BOD与∠A都对
∴∠A＝∠BOD＝35°知识点三
利用圆周角定理及推论进行计算【例3】如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOB＝110°，则∠ACB等于（
）A．55°
B．110°
C．125°
D．140°
【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD．利用圆内接四边形的性质即可。【解答】解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD．∵∠ADB＝∠AOB＝55°∵∠ACB＋∠ADB＝180°∴∠ACB＝125°故选：C．知识点四
利用圆周角定理及推论进行证明【例4】已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE＝CF。求证：AE是⊙O的直径。【分析】由BE＝CF，则可证得∠BAE＝∠FAC，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可；【解答】证明：∵BE＝CF
∴＝
∴∠BAE＝∠CAF∵AF⊥BC∴ADC＝90°∴∠FAD＋∠ACD＝90°∵∠E＝∠ACB∴∠E＋∠BAE＝90°∴∠ABE＝90°∴AE是⊙O的直径知识点五
圆外角、圆周角、圆内角之间的转化【例5】如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，若所对的圆心角为100°，所对的圆心角为20°，求∠P的度数。【分析】根据圆周角定理求出∠ADC和∠BAD度数，根据三角形外角性质求出∠P即可．【解答】解：连结AD，
∵所对的圆心角为100°，所对的圆心角为20°
∴∠BAD＝10°，∠ADC＝50°∵∠ADC为三角形ADP的外角∴∠P＝50°－10°＝40°．知识点六
圆心角、圆周角性质定理的综合运用【例6】如图，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE．（1）求证：EC平分∠BED．（2）当EB＝ED时，求证：AE＝CE．【分析】（1）由AB是半圆O的直径，得到∠AEB=90°，求得∠DEB＝90°．推出∠BEC＝∠DEC，于是得到结论；（2）连结BC根据全等三角形的性质得到∠CBE＝∠CDE．根据圆周角定理得到∠AOE＝∠COE，于是得到AE＝CE．【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径∴∠AEB＝90°∴∠DEB＝90°∵OC⊥AB∴∠AOC＝∠BOC＝90°∴∠BEC＝45°∴∠DEC＝45°∴∠BEC＝∠DEC即EC平分∠BEC；（2）连结BC，OE∵BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC
在△BEC与△DEC中
∴△BEC≌△DEC∴∠CBE＝∠CDE∵∠CDE＝90°－∠A＝∠ABE∴∠ABE＝∠CBE∴∠AOE＝∠COE∴AE＝CE．题型一：圆周角与圆心角关系1．如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有________个圆周角，分别是_____________．【答案】6
∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE
2．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆弧上两点，∠D=115°，则∠CAB=（ ）A．55°
B．45°
C．35°
D．25°【答案】D3.在圆中等于半径的弦所对圆心角的度数是_______,弦所对劣弧所含圆周角的度数是______．【答案】60°
150°
4．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，求所对的圆周角的大小．【答案】30°5、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为88°、30°，则∠ACB的大小为（ C ）A．15°
B．28°
C．29°
D．34°
6．如图，在⊙O中，AB．AC是弦，，求的关系．【答案】7．如图，在⊙O中，弦BC∥OA，AC与OB相交于点D，∠ADB＝75°，试求∠C的度数．【答案】∠C＝25°．8．如图，已知E是⊙O上任意一点，CD平分∠ACB，求证：ED平分∠AEB．【详解】∵平分，∴，∴∴ED平分∠AEB．题型二：圆内接四边形的性质1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=100°，则∠ADC=（ ）A．70°
B．80°
C．90°
D．100°【答案】B2．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆弧上两点，∠D=115°，则∠CAB=（ ）A．55°
B．45°
C．35°
D．25°【答案】D3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（ D ）A．40°
B．60°
C．80°
D．90°
4．在圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=2：3：6，则∠D等于（ ）A．67.5°
B．135°
C．112.5°
D．45°故选C．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）A．45°
B．50°
C．55°
D．60°故选B．6．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=（ ）A．25°
B．30°
C．40°
D．55°故选：C．7．如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等，若∠ABC=30°，则∠ADC的度数是（ ）A．150°
B．120°
C．60°
D．30°故选A8、如图，点O为△ABC内一点，OA=OB=OC，且∠ABO=40°，则∠ACB的大小是（ B ）A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
9．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，∠E=α，∠F=β，则∠A=（ ）A．α+β
B．
C．180﹣α﹣β
D．【解答】连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=．故选D．10、如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：PA+PB=PC．11、（2019?马鞍山二模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上的一点，AF，CD的延长线相交于点G．（1）若⊙O的半径为，且∠DFC=45°，求弦CD的长．（2）求证：∠AFC=∠DFG．12、（2019?临海市一模）如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC．（1）求证：∠ACB+∠BOC=90°；（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长度．13、（2019春?江都区校级月考）如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的圆交AD于点E，交BD于点F，过点D作DC∥AB交AF的延长线于点C，连接CB．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若AE=7，BF=2，求半圆的半径和菱形ABCD的面积．14、（2019?阜阳模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO（1）当∠BCO=25°时，求∠A的度数；（2）若CD=，BE=4，求⊙O的半径．【课堂达标检测】1.
如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为(
)A．84°
B．60°
C．36°
D．24°【解答】解：∵∠B与∠C所对的弧都是∴∠C＝∠B＝24°故选：D2.
如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（
）A．70°
B．80°
C．110°
D．140°
【解答】解：作所对的圆周角∠APC，如图，∵∠P＝∠AOC＝×140°＝70°∵∠P＋∠B＝180°∴∠B＝180°70°＝110°故选：C
3.
如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝40°，则∠BOC的大小为（
）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
【解答】解：∵OA＝OB，∠A＝40°∴∠B＝∠A＝40°∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝100°∵点C是的中点，OC过O
∴＝
∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB＝50°故选：C．4.
如图，在⊙O中，已知OA⊥BC，∠AOB＝58°，则∠ADC的度数为（
）
A．29°
B．58°
C．87°
D．32°
【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝
∴∠ADC＝∠AOB＝29°故选：A5.
如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么BC的长是（
）
A.
B.
C.
1
D.
【解答】解：∵∠BAC＝60°∴∠BOC＝120°∵OD⊥弦BC∴∠BOD＝90°∵∠BOD＝∠A＝60°∴OD＝OB＝1
∴
∴BC＝2BD＝
故选：A【培优特训】6.
如图，已知在⊙O中，半径OA＝，弦AB＝2，∠BAD＝18°，OD与AB交于点C，则∠ACO＝________度【解答】解：∵OA＝
，OB＝，AB＝2
∴，OA＝OB∴△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°∴∠OBA＝45°∵∠BAD＝18°∴∠BOD＝36°∴∠ACO＝∠OBA＋∠BOD＝45°＋36°＝81°故答案为：817.
如图，AB、BC是⊙O的弦，OM∥BC交AB于M，若∠AOC＝100°，则∠AMO＝________°【解答】解：∵∠AOC＝2∠B，∠AOC＝100°，∴∠B＝50°，∵OM∥BC，∴∠AMO＝∠B＝50°，故答案为：508.
如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，则∠ABC＝________度．【解答】解：∵弦AC与半径OB互相平分∴OA＝AB∵OA＝OC∴△OAB是等边三角形∴∠AOB＝60°∴∠AOC＝120°∴∠ABC＝120°故答案为1209.
如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°，（1）求∠ABD的度数；（2）若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径。【解答】解：（1）∵∠C＝45°∴∠A＝∠C＝45°∵AB是⊙O的直径∴∠ADB＝90°∴∠ABD＝45°；（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3∴AB＝6∴⊙O的半径为310.
如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求证：△ACM≌△BCP；（2）若PA＝1，PB＝2，求△PCM的面积【解答】证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°∴∠BAC＝∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形∴BC＝AC，∠ACB＝60°∵CM∥BP∴∠PCM＝∠BPC＝60°又∵∠APC＝60°∴△PCM是等边三角形∴PC＝MC，∠M＝60°∵∠BCA－∠PCA＝∠PCM－∠PCA∴∠PCB＝∠ACM在△ACM和△BCP中
∴△ACM≌△BCP≌△ACM（AAS）
（2）∵△ACM≌△BCP∴AM＝PB＝2∴PM＝PA＋AM＝1＋2＝3∵△PCM是等边三角形∴△PCM的面积＝＝【中考链接】11.
（2018?广东）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是______【解答】解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．故答案为50°．12.
（2018?威海）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（
）
A.
B.
5
C.
D.
【解答】解：连接OC、OA
∵∠ABC＝30°∴∠AOC＝60°∵AB为弦，点C为的中点∴OC⊥AB在Rt△OAE中，AE＝
∴AB＝
故选：D13.（2018?白银）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（
）A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【解答】解：连接DC
∵C（，0），D（0，1）∴∠DOC＝90°，OD＝1，OC＝∴∠DCO＝30°∴∠OBD＝30°故选：B．
T同步——圆的角度转换同步训练
同步知识梳理
1
同课章节目录