江苏省沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研数学试题 Word版含解析

沛县歌风中学2020—2021学年度第一学期高二学情调研
数学
一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)
A.充分条件 B.必要条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件 D.无法判断
2．若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
3．椭圆的焦距为，则的值等于（ ）
A． B． C．或 D．
4．设双曲线 (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x
5.已知椭圆的准线方程为y＝±4，离心率为，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.x2＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
6．下列叙述中正确的是 （ ）
A．若a，b，cR，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”
B．若a，b，cR，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
C．命题“对任意xR，有x2≥0”的否定是“存在xR，有x2≥0”
D．钱大姐常说“好货不便宜”，她的意思是：“好货”是“不便宜”的充分条件
7.已知离心率为的双曲线C：(a＞0，b＞0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点．若△AOF的面积为2，则实数a的值为（ ）
??????A．2?? B．?? C．4?? D．8
8．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则AB的最大值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.－1A.－210．(2020·辽宁六校协作体月考)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(　　)
A．若C为椭圆，则13或t<1
C．曲线C可能是圆 D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则111．已知双曲线C：，则
A．双曲线C的离心率等于半焦距的长
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．双曲线C的一条准线被圆x2＋y2＝1截得的弦长为
D．直线y＝kx＋b(k，bR)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
12．设点F、直线l分别是椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点、右准线，点P是椭圆C上一点，记点P到直线l的距离为d，椭圆C的离心率为e，则d＞2PF的充分不必要条件有
A．e(0，) B．e(，) C．e(，) D．e(，1)
三、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.其中第13题第一个空2分,第二个空3分.
13.已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m14．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为3m，则该椭圆的离心率为 ．
15．已知P是抛物线y2＝2x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．
16．已知椭圆C：(a＞b＞0)的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得，且△PF1F2的面积等于4，则实数b的值为 ，实数a的取值范围为 ．
四、 解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)抛物线的顶点在原点，它的焦点与椭圆的一个焦点重合，
若抛物线与椭圆的一个交点是，求抛物线与椭圆的标准方程．
18.已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题
（1）若与是真命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
19．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈
[－1,1]，使得m≤ax成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1时，若p和q中有且仅有一个为真命题，求m的取值范围．
20（本小题满分12分）河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面?8m，拱圈内水面宽?24m，一条船在水面以上部分高?6.5m，船顶部宽6m．
（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少??（精确到0.1m）
21已知双曲线：（，）的离心率为，虚轴长为4.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线：与双曲线相交于，两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程.
22．在①离心率，②椭圆过点，③面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，已知椭圆的短轴长为，________．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．
沛县歌风中学2020—2021学年度第一学期高二学情调研试题
高二数学
一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)
A.充分条件 B.必要条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件 D.无法判断
解析　当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.
答案　A
2．若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，
可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，故选C．
3．椭圆的焦距为，则的值等于（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】
若椭圆的焦点在轴上时，则有，解得；
若椭圆的焦点在轴上时，则有，解得.
综上所述，或.
故选：C.
4．设双曲线 (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
【答案】C
【解析】由题意知2b=2,2c=2,∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,
∴渐近线方程为y=±x=±x=±x.故选C.
5.已知椭圆的准线方程为y＝±4，离心率为，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.x2＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析　由解得所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案　D
6．下列叙述中正确的是
A．若a，b，cR，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”
B．若a，b，cR，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
C．命题“对任意xR，有x2≥0”的否定是“存在xR，有x2≥0”
D．钱大姐常说“好货不便宜”，她的意思是：“好货”是“不便宜”的充分条件
【答案】D
7.已知离心率为的双曲线C：(a＞0，b＞0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点．若△AOF的面积为2，则实数a的值为（ ）
[2020常州高二上期末]1
??????A．2?? B．?? C．4?? D．8
【答案】A
【解析】根据题意，根据离心率为，求出双曲线的渐近线，然后得到为等腰直角三角形，根据其面积为，得到的值，再得到的值.
【详解】因为双曲线的离心率为，所以，所以得到，所以
所以双曲线：的渐近线为取，倾斜角为，
为直径，所以，所以为等腰直角三角形
所以，解得所以.
故选：A.
【点睛】本题考查根据双曲线的离心率求渐近线方程，双曲线的几何性质，属于简单题.
8．(2020·青岛调研)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则AB的最大值为(　　)
A. B. C. D.
解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线的方程为y＝x＋m，
由消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴AB＝|x1－x2|＝·＝·
＝·，
∴当m＝0时，AB取得最大值，故选B.
答案　B
8-1若抛物线上的两点关于直线对称，且，
则实数等于 (　　 )．
A.　　 　 B. C. D.
【答案】A.
【解析】∵两点关于直线对称，∴直线，由知，的斜率为，可设直线的方程为，联立，消去，整理，得，由韦达定理，得由，得，又设弦的中点为，则，，将点的坐标代入的方程中，得，从而．
二、 多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.－1A.－2解析　由于－1－1而0答案　AB
10．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(　　)
A．若C为椭圆，则1B．若C为双曲线，则t>3或t<1
C．曲线C可能是圆
D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1答案　AD
解析　若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若212．已知双曲线C：，则
A．双曲线C的离心率等于半焦距的长
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．双曲线C的一条准线被圆x2＋y2＝1截得的弦长为
D．直线y＝kx＋b(k，bR)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
[南通市通州区、海安县2019-2020学年上学期高二期]ACD
13．设点F、直线l分别是椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点、右准线，点P是椭圆C上一点，记点P到直线l的距离为d，椭圆C的离心率为e，则d＞2PF的充分不必要条件有
A．e(0，) B．e(，) C．e(，) D．e(，1)
【江苏省盐城市2019—2020学年高二下学期期终考试数学试题】 BC
三、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.其中第13题第一个空2分,第二个空3分.
14.已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m解析　由p?q，∴A?B，即∴m>3.
答案　(3，＋∞)
15．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为3m，则该椭圆的离心率为 ．
16．已知P是抛物线y2＝2x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．
解析　因为点P在抛物线上，所以d1＝PF－(其中点F为抛物线的焦点)，则d1＋d2＝PF＋PA－≥AF－＝－＝5－＝，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号．
答案　
16．已知椭圆C：(a＞b＞0)的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得，且△PF1F2的面积等于4，则实数b的值为 ，实数a的取值范围为 ．
【答案】．2；[，) [2020淮安高二上期末]16
17．设过双曲线C：(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)的直线l与其一条渐近线垂直相交于点A，则点A的横坐标可用a，c表示为 ；若l与另一条渐近线交于点B，且，则C的离心率为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）
，【江苏省盐城市2019—2020学年高二下学期期终考试数学试题】
四、 解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)抛物线的顶点在原点，它的焦点与椭圆的一个焦点重合，
若抛物线与椭圆的一个交点是，求抛物线与椭圆的标准方程．
解：由题意可设抛物线方程为，
∵点在抛物线上，∴，
∴，∴抛物线的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．6分
∴抛物线的焦点为，从而椭圆的一个焦点为，∴，．．．．．．．．．．8分
∴椭圆方程为，∵点在椭圆上，
∴，解之得或（舍去）．．．．．．．．．．13分
∴椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
18.已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题
（1）若与是真命题，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
．（本小题满分15分）【扬州市2015-2016学年高二上学期期末17】
解：（1）若为真： --------1分
解得 --------2分
若为真：则 ------3分
解得 --------4分
若“且”是真命题，则 --------6分
解得 --------7分
（2）由是的必要不充分条件，则可得 -------11分
即 （等号不同时成立） -------13分
解得 --------15分
18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈
[－1,1]，使得m≤ax成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1时，若p和q中有且仅有一个为真命题，求m的取值范围．
解　(1)对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，
令f(x)＝2x－2(x∈[0,1])，则f(x)min≥m2－3m，
当x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－2，
即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.
因此，当p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．
(2)当a＝1时，若q为真命题，
则存在x∈[－1,1]，使得m≤x成立，所以m≤1.
因此，当命题q为真时，m≤1.
因为p，q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，由得1当p假q真时，由得m<1.
综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．
18-1.已知p：?x∈R，2x>m(x2＋1)，q：?x∈R，x2＋2x－m－1＝0，且p和q都是真命题，求实数m的取值范围.
解　2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0.
若p：?x∈R，2x>m(x2＋1)为真，
则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立.
当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；
当m≠0时，由m<0且Δ＝4－4m2<0，所以m<－1.
若q：?x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真，
则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.
又p，q均为真命题.
所以m<－1且m≥－2，
所以m的取值范围为[－2，－1).
20（本小题满分12分）河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面?8m，拱圈内水面宽?24m，一条船在水面以上部分高?6.5m，船顶部宽6m．
（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少??（精确到0.1m）
解：（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，
以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，
设拱桥所在的抛物线方程为，…3分
因点在抛物线上，代入解得，
故拱桥所在的抛物线方程是．……6分
（2）因，故当时，，
故当水位暴涨1.54m后，船身至少应降低
，…………….11分
因精确到0.1m，故船身应降低0.6m．
答：船身应降低0.6m，才能安全通过桥洞．……12分
21已知双曲线：（，）的离心率为，虚轴长为4.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线：与双曲线相交于，两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程组即可得到，，进而得到双曲线的方程；
（2）将直线l的方程代入双曲线方程并整理，根据l与双曲线交于不同的两点A、B，进而可求得m的范围，设，，运用韦达定理和弦长公式，以及求出O点到直线AB的距离公式，最后由三角形的面积求得m，进而可得直线方程.
【详解】解：（1）由题可得 ，解得，，，
故双曲线的标准方程为；
（2）由得，
由得 ，
设， ，则 ，

O点到直线l的距离 ， ，
或 或
故所求直线方程为：或
【点睛】本题考查了双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查三角形的面积的求法，注意运用联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题.
22．在①离心率，②椭圆过点，③面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，已知椭圆的短轴长为，________．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．
【解析】（1）选①，由题意可得：，解得，所以所求椭圆的方程为；
（2）（i）当时，
（ii）当时，由题意可得：．
设直线的方程为，设，
由整理得：
显然，且，
所以
所以线段的中点，
则线段的中垂线方程为，
令，可得，即，又，
所以，所以，即