2020年秋人教版九年级上册数学把关提分类中考真题专练：22.2二次函数与一元一次方程（Word版 含解析）

把关提分类中考真题专练：22.2二次函数与一元一次方程
一．选择题（共12小题）
1．（2019?烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（2019?杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）
A．M＝N﹣1或M＝N+1
B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1
D．M＝N或M＝N﹣1
3．（2019?广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：
①abc＜0②b＜c③3a+c＝0④当y＞0时，﹣1＜x＜3
其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．（2019?南充）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（，m），给出下列结论：①若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，那么（　　）
A．①正确，②正确
B．①正确，②错误
C．①错误，②正确
D．①错误，②错误
5．（2019?潍坊）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．2≤t＜11
B．t≥2
C．6＜t＜11
D．2≤t＜6
6．（2018?鄂州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论：①abc＞0②4a﹣2b+c＞0
③2a﹣b＞0
④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（　　）
A．1
个
B．2个
C．3个
D．4个
7．（2018?兰州）如图，抛物线y＝x2﹣7x+与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．﹣＜m＜﹣
B．﹣＜m＜﹣
C．﹣＜m＜﹣
D．﹣＜m＜﹣
8．（2018?莱芜）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞2
B．﹣4＜x＜2
C．x＜0或x＞2
D．0＜x＜2
9．（2018?贵阳）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）
A．﹣＜m＜3
B．﹣＜m＜2
C．﹣2＜m＜3
D．﹣6＜m＜﹣2
10．（2018?玉林）如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是（　　）
A．6＜t≤8
B．6≤t≤8
C．10＜t≤12
D．10≤t≤12
11．（2018?陕西）对于抛物线y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
12．（2018?天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：
①抛物线经过点（1，0）；
②方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；
③﹣3＜a+b＜3
其中，正确结论的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
二．填空题（共4小题）
13．（2019?武汉）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是　
　．
14．（2019?泰安）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为　
　．
15．（2018?河池）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M，若AB＝6，则OM的长为　
　．
16．（2018?黔西南州）已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是　
　．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
三．解答题（共5小题）
17．（2019?杭州）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．
18．（2019?温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）
（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．
（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．
19．（2019?威海）在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y甲
……
6
3
2
3
6
……
乙写错了常数项，列表如下：
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y乙
……
﹣2
﹣1
2
7
14
……
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求原二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当x　
　时，y的值随x的值增大而增大；
（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
20．（2018?乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|＝6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．
21．（2018?苏州）如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
参考答案
一．选择题
1．解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），
把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线x＝2，所以②正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；
抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；
若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则|x2﹣2|＞|x1﹣2|，所以⑤错误．
故选：B．
2．解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，
∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；
综上可知，M＝N或M＝N+1．
故选：C．
另一解法：∵a≠b，
∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，
∴M＝2，
又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，
而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，
∴N≤2，
∴N≤M，
∴不可能有M＝N﹣1，
故排除A、B、D，
故选：C．
3．解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
∴abc＜0．
故①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，
即b＜c，
故②正确；
③∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴3a+c＝0．
故③正确；
④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0）．
∴当y＞0时，﹣1＜x＜3
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
4．解：①∵顶点坐标为（，m），n＜，
∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝的对称点为（1﹣n，y1），
∴点（1﹣n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，
∵（1﹣n）﹣（﹣2n）＝n﹣＜0，
∴1﹣n＜﹣2n，
∵a＞0，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故此小题结论正确；
②把（，m）代入y＝ax2+bx+c中，得m＝a+b+c，
∵对称轴x＝﹣，
∴b＝﹣a，
∴a+b＝0，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（a+b+c）﹣4a＝（a+b）2﹣4a＝02﹣4a＝﹣4a＜0，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，故此小题正确；
故选：A．
5．解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y＝6；
当x＝4时，y＝11；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；
∴2≤t＜11．
故选：A．
6．解：①∵由抛物线的开口向下知a＜0，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即ab＞0．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0；
故正确；
②如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，
故正确；
③对称轴为x＝﹣＞﹣1，得2a＜b，即2a﹣b＜0，
故错误；
④∵当x＝1时，y＝0，
∴0＝a+b+c＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0．
故错误．
综上所述，有2个结论正确．
故选：B．
7．解：∵抛物线y＝x2﹣7x+与x轴交于点A、B
∴B（5，0），A（9，0）
∴抛物线向左平移4个单位长度
∴平移后解析式y＝（x﹣3）2﹣2
当直线y＝x+m过B点，有2个交点
∴0＝+m
m＝﹣
当直线y＝x+m与抛物线C2相切时，有2个交点
∴x+m＝（x﹣3）2﹣2
x2﹣7x+5﹣2m＝0
∵相切
∴△＝49﹣20+8m＝0
∴m＝﹣
如图
∵若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
∴﹣＜m＜﹣
故选：C．
8．解：抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．
故选：A．
9．解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线?y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故选：D．
10．解：翻折后的抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2﹣4＝x2﹣8x+12，
∵设x1，x2，x3均为正数，
∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，
根据对称性可知：x1+x2＝8，
∵2≤x3≤4，
∴10≤x1+x2+x3≤12即10≤t≤12，
故选：D．
11．解：把x＝1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0，
解得：a＞1，
所以可得：﹣，，
所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，
故选：C．
12．解：①∵抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，
∴当x＝1时y＞0，结论①错误；
②过点（0，2）作x轴的平行线，如图所示．
∵该直线与抛物线有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，结论②正确；
③∵当x＝1时y＝a+b+c＞0，
∴a+b＞﹣c．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（0，3），
∴c＝3，
∴a+b＞﹣3．
∵当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∴a+b＝2a+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴a+b＜c＝3，
∴﹣3＜a+b＜3，结论③正确．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
13．解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，
对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
14．解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴，
得b＝﹣4，
则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，
解得，x1＝2，x2＝4．
故答案为：x1＝2，x2＝4．
15．解：抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，
设OM＝h，A、B点的横坐标分别为m、n，
则：A（m，h）、B（n，h），
由题意得：x2+bx+（c﹣h）＝0，
则：m+n＝﹣b，mn＝c﹣h，
AB＝6＝n﹣m＝＝＝，
解得：h＝9，
故答案为9；
附注：其它解法：
将抛物线平移，顶点至原点，此时y＝x2，
则点B点横坐标为3，
故y＝9．
16．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x＝＝1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
三．解答题（共5小题）
17．解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；
∴二次函数经过点（0，0），（1，0），
∴x1＝0，x2＝1，
∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，
当x＝时，y＝﹣，
∴乙说的不对；
（2）对称轴为x＝，
当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；
（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，
∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，
∴mn＝[﹣][﹣]
∵0＜x1＜x2＜1，
∴0＜﹣≤，0＜﹣≤，
∵x1≠x2，
∴m与n不能同时取到，
∴0＜mn＜．
18．解：（1）令y＝0，则﹣，
解得，x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；
（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），
函数图象的对称轴为直线，
∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，
∴，
∴n＝1，
∴，
∴m，n的值分别为，1．
19．解：（1）由甲同学的错误可知c＝3，
由甲同学提供的数据选x＝﹣1，y＝6；x＝1，y＝2，
有，
∴，
∴a＝1，
由甲同学给的数据a＝1，c＝3是正确的；
由乙同学提供的数据，可知c＝﹣1，
选x＝﹣1，y＝﹣2；x＝1，y＝2，
有，
∴，
∴a＝1，b＝2，
∴y＝x2+2x+3；
（2）y＝x2+2x+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线开口向上，
∴当x≥﹣1时，y的值随x的值增大而增大；
故答案为≥﹣1；
（3）方程ax2+bx+c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，
即x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4﹣4（3﹣k）＞0，
∴k＞2；
20．（1）证明：由题意可得：
△＝（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）
＝1+25m2﹣10m+20m
＝25m2+10m+1
＝（5m+1）2≥0，
故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0，
（x﹣5）（mx+1）＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝5，
由|x1﹣x2|＝6，
得|﹣﹣5|＝6，
解得：m＝1或m＝﹣；
（3）解：由（2）得，当m＞0时，m＝1，
此时抛物线为y＝x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x＝2，
由题已知，P，Q关于x＝2对称，
∴＝2，即2a＝4﹣n，
∴4a2﹣n2+8n＝（4﹣n）2﹣n2+8n＝16．
21．解：（1）由x2﹣4＝0得，x1＝﹣2，x2＝2，
∵点A位于点B的左侧，
∴A（﹣2，0），
∵直线y＝x+m经过点A，
∴﹣2+m＝0，
解得，m＝2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴AD＝＝2；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+2，
y＝x2+bx+2＝（x+）2+2﹣，
则点C′的坐标为（﹣，2﹣），
∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），
∴直线CC′的解析式为：y＝x﹣4，
∴2﹣＝﹣﹣4，
解得，b1＝﹣4，b2＝6，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2﹣4x+2或y＝x2+6x+2．