考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.
本章的重点是等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式的应用，难点是应用转化与化归的方法求数列的和，学习本章要熟练掌握数列的相关公式，并且注意数列与函数的异同点.
(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
2018年1月T152018年1月T202019年1月T142019年1月T172020年1月T82020年1月T17
等差数列
[基础知识填充]
1．数列的概念及简单表示法
(1)数列是按一定顺序排列的一列数．
(2)如果数列{an}的第n项与项数n之间的关系可用一个式子(即an＝f(n))来表示，则这个式an＝f(n)叫数列的通项公式．
(3)数列是一种特殊函数，是定义在正整数集(或它的有限子集)上的特殊函数．
(4)数列的表示方法有：①解析法(通项公式法)；②列表法；③图象法；④递推法．
(5)an与Sn的关系式：an＝
2．等差数列
(1)定义：an＋1－an＝d(常数)，这是证明一个数列是等差数列的依据，也可用2an＋1＝an＋an＋2(n∈Z＋)来判断．
(2)公差为d的等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，另外，等差数列任意两项之间的关系为：an＝am＋(n－m)d.
(3)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫a与b的等差中项，可以表示为A＝.
(4)前n项和公式Sn＝或na1＋n(n－1)d(n∈N＋)．
(5)等差数列的性质：
①若公差d>0，则{an}是递增等差数列．
②若公差d<0，则{an}是递减等差数列．
③若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，当m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
④若{an}是等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍成等差数列，且公差为n2d.
[学考真题对练]
1．(2019·1月广东学考)若数列{an}的通项an＝2n－6，设bn＝|an|，则数列{bn}的前7项和为( )
A．14
B．24
C．26
D．28
2．(2020·1月广东学考)在等差数列{an}中，若a5＝－15，a10＝－10，则a20＝( )
A．－20
B．－5
C．0
D．5
3．(2018·1月广东学考)若等差数列{an}满足a1＋a3＝8，且a6＋a12＝36.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝an＋1－2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
等差数列中求值问题的方法
1．求项与求和：关键是确定等差数列的首项a1，公差d，进而利用相关公式求解，同时注意利用等差数列的性质求解．
2．方程与函数的思想：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝na1＋n(n－1)d中共含有五个量：an，a1，d，Sn，n，知道其中三个量可利用公式构建方程(组)求出其余两个量，即“知三求二”；
若涉及求等差数列前n项和的最值问题，则可把前n项和看作关于n的二次函数，利用函数的性质求解，此时注意n∈N＋.
[最新模拟快练]
1．(2019·珠海市学考模拟)已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A．15
B．22
C．7
D．29
2．(2020·广东学考模拟)等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )
A．8
B．12
C．16
D．24
3．(2018·茂名市学考模拟)已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则其前10项的和为( )
A．100
B．210
C．380
D．400
4．(2019·深圳市学考模拟)在等差数列{an}中，a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，则公差d为( )
A．－14
B．－7
C．7
D．14
5．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝( )
A．41
B．48
C．49
D．56
6．(2019·揭阳市学考模拟)在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A．49
B．50
C．51
D．52
7．(2019·珠海市学考模拟)在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝
.
8．(2019·蛇口高一月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝
.
9．(2019·东莞市学考模拟)在等差数列{an}中，a2＝2，a4＝4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前5项和．
等比数列
[基础知识填充]
等比数列
(1)定义：＝q(q为常数，且q≠0)，这是证明一个数列是等比数列的依据，还可用a＝an·an＋2(n∈N＋，an≠0)来判断．
(2)公比为q(q≠0)的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
另外：等比数列任意两项之间的关系为an＝am·qn－m(q≠0)．
(3)等比中项：若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，则可表示为G＝±.
(4)等比数列前n项和公式：
(5)等比数列的性质：
①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈Z＋)，则an·am＝ap·aq.
特别地：当m＋n＝2p，则am·an＝a.
②若数列{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍成等比数列(当Sn≠0时)，且公比为qn.
[学考真题对练]
1．(2018·1月广东学考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，则a＋a＋…＋a＝( )
A．4(2n－1)2
B．4(2n－1＋1)2
C．
D．
2．(2019·1月广东学考)在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝2，则a4＝
.
3．(2020·1月广东学考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，S2＝3，则S3＝
.
等比数列中的基本计算
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解．
[最新模拟快练]
1．(2019·揭阳市学考模拟)在等比数列{an}中，an＞0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16
B．27
C．36
D．81
2．(2020·广东学考模拟)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11
B．5
C．－8
D．－11
3．(2018·佛山市学考模拟)数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1(n≥2，n∈N
)，则数列{an}的前n项和等于( )
A．2n－1
B．2n－1
C．2n＋1
D．2n＋1
4．(2018·广东省普通高中学业水平考试模拟题)在各项为正数的等比数列{an}中，若a1·a4＝，则log3a2＋log3a3＝( )
A．－1
B．1
C．－3
D．3
5．(2018·揭阳学考模拟题)设数列{an}的前n项和为Sn，如果a1＝1，an＋1＝－2an(n∈N
)那么S1，S2，S3，S4中最小的是( )
A．S1
B．S2
C．S3
D．S4
6．(2019·深圳市学考模拟)若等比数列{an}的前n项和为Sn，a3＝，S3＝，则公比q＝
.
7．(2019·佛山高一期中检测)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg
an}的通项公式为
．
8．(2019·潮州市学考模拟)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和．
数列的综合应用
[最新模拟快练]
1．(2019·东莞市学考模拟)已知等比数列{an}的公比q＝2，且a2，a3＋1，a4成等差数列．
(1)求a1及an；
(2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前5项和S5.
2．(2019·茂名市高一期中检测)
等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
3．(2018·韶关市高一期末)已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a1＋a2,2(a1＋a4)成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn，求证：Sn<6.
数列求和的方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(3)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写，再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(4)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.
本章的重点是等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式的应用，难点是应用转化与化归的方法求数列的和，学习本章要熟练掌握数列的相关公式，并且注意数列与函数的异同点.
(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
2018年1月T152018年1月T202019年1月T142019年1月T172020年1月T82020年1月T17
等差数列
[基础知识填充]
1．数列的概念及简单表示法
(1)数列是按一定顺序排列的一列数．
(2)如果数列{an}的第n项与项数n之间的关系可用一个式子(即an＝f(n))来表示，则这个式an＝f(n)叫数列的通项公式．
(3)数列是一种特殊函数，是定义在正整数集(或它的有限子集)上的特殊函数．
(4)数列的表示方法有：①解析法(通项公式法)；②列表法；③图象法；④递推法．
(5)an与Sn的关系式：an＝
2．等差数列
(1)定义：an＋1－an＝d(常数)，这是证明一个数列是等差数列的依据，也可用2an＋1＝an＋an＋2(n∈Z＋)来判断．
(2)公差为d的等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，另外，等差数列任意两项之间的关系为：an＝am＋(n－m)d.
(3)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫a与b的等差中项，可以表示为A＝.
(4)前n项和公式Sn＝或na1＋n(n－1)d(n∈N＋)．
(5)等差数列的性质：
①若公差d>0，则{an}是递增等差数列．
②若公差d<0，则{an}是递减等差数列．
③若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，当m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
④若{an}是等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍成等差数列，且公差为n2d.
[学考真题对练]
1．(2019·1月广东学考)若数列{an}的通项an＝2n－6，设bn＝|an|，则数列{bn}的前7项和为( )
A．14
B．24
C．26
D．28
C [前7项和为|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＋|a7|＝|－4|＋|－2|＋|0|＋|2|＋|4|＋|6|＋|8|＝4＋2＋0＋2＋4＋6＋8＝26.]
2．(2020·1月广东学考)在等差数列{an}中，若a5＝－15，a10＝－10，则a20＝( )
A．－20
B．－5
C．0
D．5
C [等差数列{an}中，若a5＝－15，a10＝－10，
a10－a5＝5d，d＝＝＝1，
所以a20＝a5＋15d＝－15＋15×1＝0，故选C．]
3．(2018·1月广东学考)若等差数列{an}满足a1＋a3＝8，且a6＋a12＝36.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝an＋1－2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d.
∴??
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n，∴数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由(1)知，an＝2n，∴bn＋1＝an＋1－2an＝2(n＋1)－2×2n＝－2n＋2，∴bn＝－2(n－1)＋2＝－2n＋4，
又∵b1＝2适合上式，∴bn＝－2n＋4(n∈N
)．
∴bn＋1－bn＝－2n＋2－(－2n＋4)＝－2，
∴数列{bn}是首项为2，公差为－2的等差数列．
∴Sn＝2n＋×(－2)＝2n－n2＋n＝－n2＋3n.
等差数列中求值问题的方法
1．求项与求和：关键是确定等差数列的首项a1，公差d，进而利用相关公式求解，同时注意利用等差数列的性质求解．
2．方程与函数的思想：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝na1＋n(n－1)d中共含有五个量：an，a1，d，Sn，n，知道其中三个量可利用公式构建方程(组)求出其余两个量，即“知三求二”；
若涉及求等差数列前n项和的最值问题，则可把前n项和看作关于n的二次函数，利用函数的性质求解，此时注意n∈N＋.
[最新模拟快练]
1．(2019·珠海市学考模拟)已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A．15
B．22
C．7
D．29
A [设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得
解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.]
2．(2020·广东学考模拟)等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )
A．8
B．12
C．16
D．24
C [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a2＝2，a5＝8，得
，
解得a1＝0，d＝2，
∴a9＝a1＋8d＝16.故选C．]
3．(2018·茂名市学考模拟)已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则其前10项的和为( )
A．100
B．210
C．380
D．400
B [由a2＝7，a4＝15得2d＝a4－a2＝8，即d＝4，则a10＝a2＋8d＝7＋32＝39，S10＝×10×(7－4＋39)＝210.]
4．(2019·深圳市学考模拟)在等差数列{an}中，a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，则公差d为( )
A．－14
B．－7
C．7
D．14
C [∵a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，则4d＝28，解得d＝7.]
5．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝( )
A．41
B．48
C．49
D．56
C [设Sn＝An2＋Bn，由题知，，解得A＝1，B＝0，∴S7＝49，故选C．]
6．(2019·揭阳市学考模拟)在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A．49
B．50
C．51
D．52
D [∵an＋1－an＝，∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)·＝2＋，∴a101＝2＋＝52.]
7．(2019·珠海市学考模拟)在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝
.
190 [S19＝＝＝19a10＝19×10＝190.]
8．(2019·蛇口高一月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝
.
[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝.]
9．(2019·东莞市学考模拟)在等差数列{an}中，a2＝2，a4＝4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前5项和．
[解] (1)∵a4＝a2＋2d，∴4＝2＋2d，∴d＝1，
∴an＝a2＋(n－2)d＝2＋(n－2)＝n.
(2)∵bn＝2n，∴b1＝2，b2＝4，b3＝8，b4＝16，b5＝32，S5＝2＋4＋8＋16＋32＝62.
即数列{bn}的前5项和为62.
等比数列
[基础知识填充]
等比数列
(1)定义：＝q(q为常数，且q≠0)，这是证明一个数列是等比数列的依据，还可用a＝an·an＋2(n∈N＋，an≠0)来判断．
(2)公比为q(q≠0)的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
另外：等比数列任意两项之间的关系为an＝am·qn－m(q≠0)．
(3)等比中项：若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，则可表示为G＝±.
(4)等比数列前n项和公式：
(5)等比数列的性质：
①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈Z＋)，则an·am＝ap·aq.
特别地：当m＋n＝2p，则am·an＝a.
②若数列{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍成等比数列(当Sn≠0时)，且公比为qn.
[学考真题对练]
1．(2018·1月广东学考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，则a＋a＋…＋a＝( )
A．4(2n－1)2
B．4(2n－1＋1)2
C．
D．
C [当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2×2n－2n＝2n；
当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2适合上式．
∴an＝2n(n∈N
)?a＝(2n)2＝4n，
∴{a}是首项为4，公比为4的等比数列，
∴a＋a＋…＋a＝＝，故选C．]
2．(2019·1月广东学考)在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝2，则a4＝
.
8 [q＝＝2，a4＝a2·q2＝8.]
3．(2020·1月广东学考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，S2＝3，则S3＝
.
7 [根据题意，等比数列{an}中a1＝1，S2＝3，则a2＝S2－S1＝S2－a1＝3－1＝2，
则其公比q＝＝2，
故a3＝a2q＝4，
则S3＝a1＋a2＋a3＝1＋2＋4＝7，故答案为7.]
等比数列中的基本计算
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解．
[最新模拟快练]
1．(2019·揭阳市学考模拟)在等比数列{an}中，an＞0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16
B．27
C．36
D．81
B [由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.]
2．(2020·广东学考模拟)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11
B．5
C．－8
D．－11
D [由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.]
3．(2018·佛山市学考模拟)数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1(n≥2，n∈N
)，则数列{an}的前n项和等于( )
A．2n－1
B．2n－1
C．2n＋1
D．2n＋1
B [由题意知Sn＝＝2n－1.]
4．(2018·广东省普通高中学业水平考试模拟题)在各项为正数的等比数列{an}中，若a1·a4＝，则log3a2＋log3a3＝( )
A．－1
B．1
C．－3
D．3
A [原式＝log3a2a3＝log3a1a4＝log3＝－1.]
5．(2018·揭阳学考模拟题)设数列{an}的前n项和为Sn，如果a1＝1，an＋1＝－2an(n∈N
)那么S1，S2，S3，S4中最小的是( )
A．S1
B．S2
C．S3
D．S4
D [S1＝a1＝1，S2＝1－2＝－1，S3＝S2＋a3＝－1＋4＝3.
S4＝S3＋a4＝3－8＝－5，所以，S4最小．]
6．(2019·深圳市学考模拟)若等比数列{an}的前n项和为Sn，a3＝，S3＝，则公比q＝
.
1或－ [∵a3＝，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝，则a1＋a2＝3，∴＋＝3化简得2q2－q－1＝0，解得q＝1或－.]
7．(2019·佛山高一期中检测)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg
an}的通项公式为
．
lg
an＝(n－3)lg
2 [∵a5＝a4q，∴q＝2，∴a1＝＝，∴an＝·2n－1＝2n－3，∴lg
an＝(n－3)lg
2.]
8．(2019·潮州市学考模拟)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和．
[解] (1)∵{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0，
∴解得a1＝－10，d＝2.∴an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)∵等比数列{bn}满足b1＝8，b2＝a1＋a2＋a3＝－10－8－6＝－24，∴q＝＝＝－3，∴{bn}的前n项和Sn＝＝2－2(－3)n.
数列的综合应用
[最新模拟快练]
1．(2019·东莞市学考模拟)已知等比数列{an}的公比q＝2，且a2，a3＋1，a4成等差数列．
(1)求a1及an；
(2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前5项和S5.
[解] (1)由已知得a2＝2a1，a3＋1＝4a1＋1，a4＝8a1，又a2，a3＋1，a4成等差数列，可得：
2(a3＋1)＝a2＋a4，所以2(4a1＋1)＝2a1＋8a1，解得a1＝1，故an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)因为bn＝2n－1＋n，所以S5＝b1＋b2＋b3＋b4＋b5
＝(1＋2＋…＋16)＋(1＋2＋…＋5)＝＋＝31＋15＝46.
2．(2019·茂名市高一期中检测)
等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
因为，所以.
解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝＝＝－，
所以Sn＝＋＋…＋＝.
3．(2018·韶关市高一期末)已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a1＋a2,2(a1＋a4)成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn，求证：Sn<6.
[解] (1)∵{an}为等差数列，∴a2＝a1＋d＝a1＋2，a4＝a1＋3d＝a1＋6，
∵a1，a1＋a2,2(a1＋a4)成等比数列，
∴(a1＋a2)2＝2a1(a1＋a4)，故有(2a1＋2)2＝2a1(2a1＋6)，
解得a1＝1，∴an＝1＋2×(n－1)＝2n－1.
(2)证明：＝
Sn＝＋＋＋…＋
①
Sn＝＋＋＋…＋
②
①－②得Sn＝1＋2－＝1＋2×－
＝1＋2－－＝3－＝3－
∴Sn＝6－.
∵n∈N
，>0，
∴Sn＝6－<6.
数列求和的方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(3)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写，再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(4)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.
