考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.
本章的重点是应用线性规划求目标函数的最值，基本不等式及其应用，难点是不等式及其性质的综合应用，解决简单的线性规划问题时，要注意理解并应用目标函数的几何意义，应用基本不等式求最值时，要注意其使用条件.
(2)一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
2019年1月T6
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
2017年1月T112018年1月T92019年1月T112020年1月T13
(4)基本不等式：≥(a≥0，b≥0)①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
2017年1月T13
不等式的性质与解法
[基础知识填充]
1．不等关系及不等式
a－b>0?a>b；
a－b＝0?a＝b；
a－b<0?a
2．不等式的基本性质
(1)对称性：如果a>b，那么ba.
(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c；如果a＜b，b＜c，那么a(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(5)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac＞bc；如果a>b，c<0，那么ac(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd>0.
(7)乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N＋，n≥2)．
(8)开方性：如果a>b>0，那么>(n∈N＋，n≥2)．
3．一元二次不等式的解集
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实根
有两个相等的实根
没有实根
ax2＋bx＋c>0(a>0)
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)
{x|x1?
?
[学考真题对练]
(2019·1月广东学考)不等式x2－9<0的解集为( )
A．{x|x<－3}
B．{x|x<3}
C．{x|x<－3或>3}
D．{x|－3D [x2－9<0，x2<9，－3解一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
[最新模拟快练]
1．(2019·佛山市学考模拟)若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|x∈N
，x≤5}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3}
B．{1,2}
C．{4,5}
D．{1,2,3,4,5}
B [∵(2x＋1)(x－3)＜0，∴－＜x＜3，又x∈N
且x≤5，则x＝1,2.]
2．(2019·珠海市学考模拟)不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A．
B．
C．?
D．
D [(3x＋1)2≤0，∴3x＋1＝0，∴x＝－.]
3．(2019·东莞市学考模拟)设xA．x2B．x2>ax>a2
C．x2D．x2>a2>ax
B [∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]
4．(2019·揭阳高二月考)已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是( )
A．a＞＞
B．＞＞a
C．＞a＞
D．＞＞a
D [由题意知＞0，b2＞1，则＞a.且＜0，所以＞＞a.]
5．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．MD．与x有关
A [M－N＝x2＋x＋1＝＋>0，∴M>N.]
6．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0,1)
B．[0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
C [要使函数有意义，需满足x2－x>0，解得x<0或x>1，故选C．]
7．(2018·深圳市高一期中)不等式x2－2x－5>2x的解集是( )
A．{x|x≥5或x≤－1}
B．{x|x>5或x<－1}
C．{x|－1D．{x|－1≤x≤5}
B [原不等式化为x2－4x－5>0，即(x－5)(x＋1)>0，得x<－1或x>5，故选B．]
8．(2019·韶关高二期中)当不等式x2＋x＋k>0恒成立时，k的取值范围为
．
[由题意知Δ<0，即1－4k<0，得k>，即k∈.]
9．(2018·肇庆市学考模拟)关于x的不等式(mx－1)·(x－2)＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是
．
(－∞，0) [由题意得解得m<0.]
简单的线性规划
[基础知识填充]
二元一次不等式(组)与简单的线性规划
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0，表示直线Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域，其作法分两步：
(1)定边界：画直线Ax＋By＋C＝0确定边界；
(2)定区域：取特殊点确定区域．
[学考真题对练]
1．(2018·1月广东学考)若实数x，y满足，则z＝x－2y的最小值为( )
A．0
B．－1
C．－
D．－2
D [(快速验证法)交点为(0,1)，(0,0)，，则z＝x－2y分别为－2,0，－，所以z的最小值为－2，故选D．]
2．(2019·1月广东学考)设x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为( )
A．－5
B．－3
C．1
D．4
C [→
→→将三点代入z＝x－2y则可得最大值为1.]
3．(2020·1月广东学考)设x，y满足约束条件
，则z＝x－2y的最小值是( )
A．－2
B．－3
C．－5
D．－6
C [由z＝x－2y得y＝x－z，
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：
平移直线y＝x－z，由图象可知当直线y＝x－z过点C(－1,2)时，直线的截距最大，此时z最小，
代入目标函数z＝x－2y，得z＝－1－2×2＝－5.
∴目标函数z＝x－2y的最小值是－5.故选C．]
简单线性规划问题的解题步骤
1．根据线性约束条件画出可行域．
2．根据线性目标函数，画出直线l0：z＝0.
3．平移l0过特殊点使目标函数取得最大值或最小值(当y的系数大于0时，越向上平移l0，z越大，越向下平移l0，z越小；当y的系数小于0时，正好相反)．
[最新模拟快练]
1．(2019·东莞高二月考)不等式组表示的平面区域是( )
D [在直角坐标系中，画出直线x＝1，x＋y－3＝0，x－y－3＝0，判断(2,0)满足不等式组所以不等式组的可行域为：故选D．]
2．(2018·广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))设x，y满足约束条件，则z＝x＋y的最大值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
D [x，y满足约束条件的可行域如图：
则z＝x＋y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A(3,0)，
所以z＝x＋y的最大值为3.故选D．]
3．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x＋4y＋1的最小值是( )
A．－14
B．1
C．－5
D．－9
A [作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：2x＋4y＝0，平移直线l0，
由图知，当直线l：z＝2x＋4y＋1过点A时，z取最小值，解得A，故zmin＝－14，故选A．]
4．(2018·江门市学考模拟题)设x，y满足约束条件则z＝x－y的最大值为( )
A．3
B．1
C．－1
D．－5
B [y＝x－z，作l0：y＝x，当l0移至l1，l2两直线交点H时截距－z最小，即z最大，H(－1，－2)，zmax＝－1＋2＝1.]
5．(2019·梅州学考模拟)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7
B．－4
C．1
D．2
A [可行域如图阴影部分(含边界)．
令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，当直线l过D点时，z取得最小值．由得D(5,3)．∴zmin＝3－2×5＝－7.]
6．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
B [如图所示，作出可行域，
由目标函数可得y＝－x＋z.令z＝0，作出直线y＝－x，结合图形得出直线平移过A点时，截距最大，此时目标函数值最大．可得A(0,1)，则z最大值为1，故本题选B．]
7．(2019·广州高二期中检测)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是
．
[2,6] [如图，作出可行域，作直线l：x＋2y＝0，将l向右上方平移，过点A(2,0)时，有最小值2，过点B(2,2)时，有最大值6，故z的取值范围为[2,6]．]
8．(2020·广东学考模拟)已知实数x，y满足
，则z＝2x－y的最大值为
．
7 [根据约束条件
画出可行域如图，
得到△ABC及其内部，其中A(5,3)，B(－1,3)，C(2,0)
平移直线l：z＝2x－y，得当l经过点A(5,3)时，z取最大值，
∴z最大为2×5－3＝7.故答案为7.]
9．(2019·韶关市学考模拟)设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为
．
3 [满足约束条件的平面区域如下图所示：
目标函数z＝x＋5y可看做斜率为－的动直线，其纵截距越大z越大，由可得A点，当x＝，y＝时，目标函数z＝x＋5y取最大值为4，即＝4；解得m＝3.]
基本不等式的应用
[基础知识填充]
基本不等式
(1)对任意实数a，b，我们有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，“＝”成立．
(2)若a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，“＝”成立．
[学考真题对练]
(2017·1月广东学考)下列不等式一定成立的是( )
A．x＋≥2(x≠0)
B．x2＋≥1(x∈R)
C．x2＋1≤2x(x∈R)
D．x2＋5x＋6≥0(x∈R)
B [A选项：错在x可以小于0；
B选项：x2＋＝x2＋1＋－1≥
2－1＝1，
(当且仅当x2＋1＝，即x＝0时等号成立)
C选项：∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x.
D选项：设y＝x2＋5x＋6可知二次函数与x轴有两个交点，其值可以小于0.]
利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
②条件变形，进行“1”的代换求目标函数的最值．
(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．
[最新模拟快练]
1．(2019·佛上高二期末检测)
若0A．a>>>b
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
C [∵0a＋b，∴b>>.
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.故b>>>a.]
2．(2019·蛇口高二期末检测)已知x＞1，y＞1且lg
x＋lg
y＝4，则lg
xlg
y的最大值是( )
A．4
B．2
C．1
D．
A [∵x＞1，y＞1，∴lg
x＞0，lg
y＞0，lg
xlg
y≤＝4，当且仅当lg
x＝lg
y＝2，即x＝y＝100时取等号．]
3．(2018·佛山市学考模拟)当a>0时，2a＋的最小值为( )
A．3
B．2
C．2
D．
B [2a＋≥2＝2，当且仅当2a＝，即a＝时等号成立．]
4．(2018·揭阳学考模拟题)已知a>0，b>0，且a＋2b＝8，那么ab的最大值等于( )
A．4
B．8
C．16
D．32
B [由a＋2b≥2得2≤8，即ab≤8.]
5．(2019·惠州学考模拟)已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2
B．4
C．16
D．不存在
B [∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝4.
当且仅当2x＝4y，即x＝，y＝时，等号成立．]
6．(2019·珠海学考模拟)已知a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x，y为正实数)，若a⊥b，则xy的最大值是( )
A．
B．－
C．1
D．－1
A [∵a⊥b，则a·b＝0，∴4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴xy＝(2x)·y≤·2＝，当且仅当2x＝y时，等号成立．]
7．(2018·茂名市学考模拟)若a＞1，则a＋的最小值是
．
3 [原式＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.]
8．(2018·中山市高二月考)已知a，b∈R
，且a＋2b＝1，则＋的最小值为
．
3＋2 [＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.]考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.
本章的重点是应用线性规划求目标函数的最值，基本不等式及其应用，难点是不等式及其性质的综合应用，解决简单的线性规划问题时，要注意理解并应用目标函数的几何意义，应用基本不等式求最值时，要注意其使用条件.
(2)一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
2019年1月T6
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
2017年1月T112018年1月T92019年1月T112020年1月T13
(4)基本不等式：≥(a≥0，b≥0)①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
2017年1月T13
不等式的性质与解法
[基础知识填充]
1．不等关系及不等式
a－b>0?a>b；
a－b＝0?a＝b；
a－b<0?a2．不等式的基本性质
(1)对称性：如果a>b，那么ba.
(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c；如果a＜b，b＜c，那么a(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(5)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac＞bc；如果a>b，c<0，那么ac(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd>0.
(7)乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N＋，n≥2)．
(8)开方性：如果a>b>0，那么>(n∈N＋，n≥2)．
3．一元二次不等式的解集
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实根
有两个相等的实根
没有实根
ax2＋bx＋c>0(a>0)
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)
{x|x1?
?
[学考真题对练]
(2019·1月广东学考)不等式x2－9<0的解集为( )
A．{x|x<－3}
B．{x|x<3}
C．{x|x<－3或>3}
D．{x|－3解一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
[最新模拟快练]
1．(2019·佛山市学考模拟)若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|x∈N
，x≤5}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3}
B．{1,2}
C．{4,5}
D．{1,2,3,4,5}
2．(2019·珠海市学考模拟)不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A．
B．
C．?
D．
3．(2019·东莞市学考模拟)设xA．x2B．x2>ax>a2
C．x2D．x2>a2>ax
4．(2019·揭阳高二月考)已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是( )
A．a＞＞
B．＞＞a
C．＞a＞
D．＞＞a
5．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．MD．与x有关
6．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0,1)
B．[0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
7．(2018·深圳市高一期中)不等式x2－2x－5>2x的解集是( )
A．{x|x≥5或x≤－1}
B．{x|x>5或x<－1}
C．{x|－1D．{x|－1≤x≤5}
8．(2019·韶关高二期中)当不等式x2＋x＋k>0恒成立时，k的取值范围为
．
9．(2018·肇庆市学考模拟)关于x的不等式(mx－1)·(x－2)＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是
．
简单的线性规划
[基础知识填充]
二元一次不等式(组)与简单的线性规划
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0，表示直线Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域，其作法分两步：
(1)定边界：画直线Ax＋By＋C＝0确定边界；
(2)定区域：取特殊点确定区域．
[学考真题对练]
1．(2018·1月广东学考)若实数x，y满足，则z＝x－2y的最小值为( )
A．0
B．－1
C．－
D．－2
2．(2019·1月广东学考)设x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为( )
A．－5
B．－3
C．1
D．4
3．(2020·1月广东学考)设x，y满足约束条件
，则z＝x－2y的最小值是( )
A．－2
B．－3
C．－5
D．－6
简单线性规划问题的解题步骤
1．根据线性约束条件画出可行域．
2．根据线性目标函数，画出直线l0：z＝0.
3．平移l0过特殊点使目标函数取得最大值或最小值(当y的系数大于0时，越向上平移l0，z越大，越向下平移l0，z越小；当y的系数小于0时，正好相反)．
[最新模拟快练]
1．(2019·东莞高二月考)不等式组表示的平面区域是( )
2．(2018·广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))设x，y满足约束条件，则z＝x＋y的最大值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
3．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x＋4y＋1的最小值是( )
A．－14
B．1
C．－5
D．－9
4．(2018·江门市学考模拟题)设x，y满足约束条件则z＝x－y的最大值为( )
A．3
B．1
C．－1
D．－5
5．(2019·梅州学考模拟)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7
B．－4
C．1
D．2
6．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
7．(2019·广州高二期中检测)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是
．
8．(2020·广东学考模拟)已知实数x，y满足
，则z＝2x－y的最大值为
．
9．(2019·韶关市学考模拟)设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为
．
基本不等式的应用
[基础知识填充]
基本不等式
(1)对任意实数a，b，我们有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，“＝”成立．
(2)若a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，“＝”成立．
[学考真题对练]
(2017·1月广东学考)下列不等式一定成立的是( )
A．x＋≥2(x≠0)
B．x2＋≥1(x∈R)
C．x2＋1≤2x(x∈R)
D．x2＋5x＋6≥0(x∈R)
利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
②条件变形，进行“1”的代换求目标函数的最值．
(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．
[最新模拟快练]
1．(2019·佛上高二期末检测)
若0A．a>>>b
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
2．(2019·蛇口高二期末检测)已知x＞1，y＞1且lg
x＋lg
y＝4，则lg
xlg
y的最大值是( )
A．4
B．2
C．1
D．
3．(2018·佛山市学考模拟)当a>0时，2a＋的最小值为( )
A．3
B．2
C．2
D．
4．(2018·揭阳学考模拟题)已知a>0，b>0，且a＋2b＝8，那么ab的最大值等于( )
A．4
B．8
C．16
D．32
5．(2019·惠州学考模拟)已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2
B．4
C．16
D．不存在
6．(2019·珠海学考模拟)已知a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x，y为正实数)，若a⊥b，则xy的最大值是( )
A．
B．－
C．1
D．－1
7．(2018·茂名市学考模拟)若a＞1，则a＋的最小值是
．
8．(2018·中山市高二月考)已知a，b∈R
，且a＋2b＝1，则＋的最小值为
．