考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)复数的概念①理解复数的基本概念．②理解复数相等的充要条件．③了解复数的代数表示法及其几何意义.
2018年1月T4
本章的重点是复数的相关概念与复数的运算，难点是复数的运算，解决本章问题时要熟练掌握复数的相关概念，把复数问题实数化.
(2)复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算．②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
2017年1月T32019年1月T22020年1月T2
复数的相关概念
[基础知识填充]
复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b是实数，i是虚数单位)的数叫作复数，其中a叫作实部，b叫作虚部．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数?b＝0
a＋bi为虚数?b≠0
a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|，即|z|＝(a，b∈R)．
[学考真题对练]
(2018·1月广东学考)设i是虚数单位，x是实数，若复数的虚部是2，则x＝( )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
解决复数概念问题的方法及注意事项：
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
[最新模拟快练]
1．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)若复数z满足i·z＝－(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是( )
A．－i
B．i
C．－
D．
2．(2019·佛山市学考模拟)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2019·中山市学考模拟)若复数z满足i(z－3)＝－1＋3i(其中i是虚数单位)，则z的实部为( )
A．6
B．1
C．－1
D．－6
4．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)若纯虚数z满足(1－i)z＝1＋ai，则实数a等于( )
A．0
B．－1或1
C．－1
D．1
5．(2019·珠海高二期末检测)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于( )
A．1
B．
C．
D．2
6．(2018·云浮市高二月考)已知复数z满足(1－i)z＝2i，且z＋ai(a∈R)为实数，则a＝( )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
7．(2018·肇庆市高二月考)设(1＋2i)x＝x＋yi，其中x，y是实数，则＝( )
A．1
B．
C．
D．
8．(2019·深圳高二期中检测)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝ .
9．(2019·潮州高二月考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 ．
10．(2019·广州市学考模拟)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，则b＝ .
复数的运算
[基础知识填充]
复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝1＋2，＝2－1.
[学考真题对练]
1．(2019·1月广东学考)设i为虚数单位，则复数i(3＋i)＝( )
A．1＋3i
B．－1＋3i
C．1－3i
D．－1－3i
2．(2020·1月广东学考)复数(1＋i)i＝( )
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1－i
D．1－i
复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算拓号里面的．
[最新模拟快练]
1．(2019·梅州高二期中检测)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2等于( )
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
2．(2020·广东学考模拟)复数z＝的共轭复数是( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
3．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1＋i，则z1z2＝( )
A．－2
B．2
C．1－i
D．1＋i
4．(2018·茂名市学考模拟)设复数z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．
B．
C．
D．2
5．(2019·东莞市学考模拟)等于( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
6．(2019·中山市学考模拟)若z＝1＋2i，则等于( )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
7．(2019·广州市学考模拟)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
8．(2018·东莞市高二月考)复数＝ .
复数的几何意义
[基础知识填充]
复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
[最新模拟快练]
1．(2018·深圳市高二月考)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．(2019·惠州高二期末检测)设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．(2019·珠海高二月考)在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为( )
A．2＋8i
B．4－4i
C．6－6i
D．－4＋2i
4．(2018·佛山学考模拟题)如图，在复平面内，若复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1＋z2所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．(2019·潮州市学考模拟)已知i为虚数单位，则z＝在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．(2019·茂名市学考模拟)若复数z＝＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是( )
A．－4
B．－3
C．1
D．2
因为复平面内的点、向量(始点为原点的向量)及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.
一、选择题
1．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A．
B．2
C．0
D．1
2．设复数z满足z＋i＝3－i，则＝( )
A．－1＋2i
B．1－2i
C．3＋2i
D．3－2i
3．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1
B．2
C．－2
D．－2或1
4．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a等于( )
A．1或－1
B．或－
C．－
D．
5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( )
A．
B．5
C．
D．5
6．若z＝4＋3i，则等于( )
A．1
B．－1
C．＋i
D．－i
7．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i
B．5＋4i
C．3－4i
D．3＋4i
8．(2018·茂名市高二月考)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于( )
A．－2－3i
B．－2＋3i
C．2－3i
D．2＋3i
9．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
A．实轴上
B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上
D．以上都不对
10．等于( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
11．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
12．若i为虚数单位，图3中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E
B．F
C．G
D．H
13．若复数z＝sin
θ－＋i是纯虚数，则tan
θ的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
14．
“复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
二、填空题
16．已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是 ．
17．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝ .
18．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)·(1－bi)＝a，则的值为 ．
19．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝ .
三、解答题
20．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
21．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)复数的概念①理解复数的基本概念．②理解复数相等的充要条件．③了解复数的代数表示法及其几何意义.
2018年1月T4
本章的重点是复数的相关概念与复数的运算，难点是复数的运算，解决本章问题时要熟练掌握复数的相关概念，把复数问题实数化.
(2)复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算．②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
2017年1月T32019年1月T22020年1月T2
复数的相关概念
[基础知识填充]
复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b是实数，i是虚数单位)的数叫作复数，其中a叫作实部，b叫作虚部．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数?b＝0
a＋bi为虚数?b≠0
a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|，即|z|＝(a，b∈R)．
[学考真题对练]
(2018·1月广东学考)设i是虚数单位，x是实数，若复数的虚部是2，则x＝( )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
D [∵＝＝－i，
∴－＝2?x＝－4，故选D．]
解决复数概念问题的方法及注意事项：
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
[最新模拟快练]
1．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)若复数z满足i·z＝－(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是( )
A．－i
B．i
C．－
D．
C [z＝＝i(1＋i)＝－＋i，共轭复数为－－i，虚部为－.故选C．]
2．(2019·佛山市学考模拟)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R，当“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R”．而当“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．]
3．(2019·中山市学考模拟)若复数z满足i(z－3)＝－1＋3i(其中i是虚数单位)，则z的实部为( )
A．6
B．1
C．－1
D．－6
A [∵iz－3i＝－1＋3i，∴iz＝－1＋6i，∴z＝6＋i，故z的实部为6.]
4．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)若纯虚数z满足(1－i)z＝1＋ai，则实数a等于( )
A．0
B．－1或1
C．－1
D．1
D [(1－i)z＝1＋ai?z＝＝(1－a)＋(a＋1)i，∵z为纯虚数，∴有1－a＝0且a＋1≠0，则a＝1且a≠－1，故本题的正确选项为D．]
5．(2019·珠海高二期末检测)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于( )
A．1
B．
C．
D．2
B [由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，由复数相等得解得
所以|x＋yi|＝＝，故选B．]
6．(2018·云浮市高二月考)已知复数z满足(1－i)z＝2i，且z＋ai(a∈R)为实数，则a＝( )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
C [由(1－i)z＝2i，解得z＝－1＋i，故z＋ai＝－1＋(a＋1)i为实数时，a＝－1.]
7．(2018·肇庆市高二月考)设(1＋2i)x＝x＋yi，其中x，y是实数，则＝( )
A．1
B．
C．
D．
D [法一：由(1＋2i)x＝x＋yi可得x＋2xi＝x＋yi，所以y＝2x，即＝2，
所以＝|2＋i|＝＝.
法二：由(1＋2i)x＝x＋yi可知1＋2i＝1＋i，
所以＝2，
所以＝|2＋i|＝＝.]
8．(2019·深圳高二期中检测)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝ .
－2 [由即m＝－2.]
9．(2019·潮州高二月考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 ．
－2 [∵a∈R，＝＝＝－i为实数，
∴－＝0，∴a＝－2.]
10．(2019·广州市学考模拟)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，则b＝ .
－ [由＝
＝，得2－2b＝b＋4，得b＝－.]
复数的运算
[基础知识填充]
复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝1＋2，＝2－1.
[学考真题对练]
1．(2019·1月广东学考)设i为虚数单位，则复数i(3＋i)＝( )
A．1＋3i
B．－1＋3i
C．1－3i
D．－1－3i
B [i(3＋i)＝3i＋i2＝3i－1.]
2．(2020·1月广东学考)复数(1＋i)i＝( )
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1－i
D．1－i
A [复数(1＋i)i＝i＋i2＝－1＋i，故选A．]
复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算拓号里面的．
[最新模拟快练]
1．(2019·梅州高二期中检测)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2等于( )
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
A [∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，
又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2,1)，
即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.]
2．(2020·广东学考模拟)复数z＝的共轭复数是( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
A [由z＝＝＝1－2i，
得复数z＝的共轭复数是：1＋2i．故选A．]
3．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1＋i，则z1z2＝( )
A．－2
B．2
C．1－i
D．1＋i
B [由题意，得z1＝1＋i，z2＝1－i，则z1z2＝(1＋i)(1－i)＝2；故选B．]
4．(2018·茂名市学考模拟)设复数z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．
B．
C．
D．2
C [z＝＋i＝＋i＝＋i＋i＝＋i，
故|z|＝＝.]
5．(2019·东莞市学考模拟)等于( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
D [＝
＝＝2－i.]
6．(2019·中山市学考模拟)若z＝1＋2i，则等于( )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
C [z＝1＋2i，z
＝5，＝i.]
7．(2019·广州市学考模拟)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
B [设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，
整理得3a＋bi＝3－2i，∴解得
∴z＝1－2i.]
8．(2018·东莞市高二月考)复数＝ .
－2i [＝＝－2i.]
复数的几何意义
[基础知识填充]
复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
[最新模拟快练]
1．(2018·深圳市高二月考)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [由条件知复数在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限．]
2．(2019·惠州高二期末检测)设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．]
3．(2019·珠海高二月考)在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为( )
A．2＋8i
B．4－4i
C．6－6i
D．－4＋2i
B [＝－＝－(＋)＝4－4i.]
4．(2018·佛山学考模拟题)如图，在复平面内，若复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1＋z2所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A [易知z1＝1＋2i，z2＝1－i，所以z1＋z2＝1＋2i＋1－i＝2＋i，则复数z1＋z2所对应的点为(2,1)，位于第一象限．]
5．(2019·潮州市学考模拟)已知i为虚数单位，则z＝在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B [z＝＝＝＝－＋，其对应的点位于第二象限．]
6．(2019·茂名市学考模拟)若复数z＝＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是( )
A．－4
B．－3
C．1
D．2
A [因为z＝＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，所以解得a<－3.]
因为复平面内的点、向量(始点为原点的向量)及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.
一、选择题
1．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A．
B．2
C．0
D．1
D [由复数相等的充要条件知，解得∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.]
2．设复数z满足z＋i＝3－i，则＝( )
A．－1＋2i
B．1－2i
C．3＋2i
D．3－2i
C [由z＋i＝3－i得z＝3－2i，故＝3＋2i.]
3．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1
B．2
C．－2
D．－2或1
C [由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得得a＝－2.]
4．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a等于( )
A．1或－1
B．或－
C．－
D．
A [∵z·＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2.∵z＝a＋i，∴|z|＝＝2，∴a＝±1.]
5．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝( )
A．
B．5
C．
D．5
D [∵z1－z2＝5＋5i，
∴f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.]
6．若z＝4＋3i，则等于( )
A．1
B．－1
C．＋i
D．－i
D [z＝4＋3i，|z|＝5，＝－i.]
7．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i
B．5＋4i
C．3－4i
D．3＋4i
D [∵a－i与2＋bi互为共轭复数，则a＝2，b＝1，
∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i，故选D．]
8．(2018·茂名市高二月考)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于( )
A．－2－3i
B．－2＋3i
C．2－3i
D．2＋3i
C [由复数z＝(3－2i)i＝2＋3i，得复数z的共轭复数＝2－3i.]
9．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
A．实轴上
B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上
D．以上都不对
C [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi.
∵z2为纯虚数，
∴
∴y＝±x(x≠0)．]
10．等于( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
D [＝＝＝＝＝－1－i.]
11．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
D [由＝1＋i，知z＝＝－＝－1－i.]
12．若i为虚数单位，图3中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E
B．F
C．G
D．H
D [由题图知复数z＝3＋i，∴＝＝＝＝2－i.∴表示复数的点为H.]
13．若复数z＝sin
θ－＋i是纯虚数，则tan
θ的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
B [∵复数z＝sinθ－＋i是纯虚数，
∴sin
θ－＝0，cos
θ－≠0，
∴cos
θ＝－，则tan
θ＝＝－.故选B．]
14．
“复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [z＝＝＝－a－3i.∵z在复平面内对应的点在第三象限，
∴－a<0，解得a>0.∴“复数z＝在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的充分不必要条件．故选A．]
15．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
D [A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2，成立．B中，z1＝2，则1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z11＝z22，C正确．D不一定成立，如z1＝1＋i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.]
二、填空题
16．已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是 ．
[∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，
∴|z|＝＝.]
17．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝ .
3 [＝＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i.
∴解得.∴a＋b＝3.]
18．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)·(1－bi)＝a，则的值为 ．
2 [因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a,1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以＝2.]
19．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝ .
[由z＝＝－＋i，得＝－－i，
所以z·＝·＝＋＝.]
三、解答题
20．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
[解] (1)＝＝－1－3i.
(2)＝＝＝＝＋i.
(3)＋＝＋＝＋＝－1.
(4)＝＝＝
＝－－i.
21．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
[解] (1)因为z＝bi(b∈R)，
所以＝＝
＝＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，所以b＝－2，
即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
所以解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．
