考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.(2)对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.③了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1).(3)幂函数①了解幂函数的概念.②结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.
2017年1月T92018年1月T22019年1月T72020年1月T11
本章的重点是指数、对数的运算与性质，指数函数，对数函数、幂函数的图象、性质及其应用，难点是幂、指、对函数的图象、性质的应用，学习本章时要注意控制难度，掌握基本知识即可.
指数与指数函数的图象和性质
[基础知识填充]
指数函数
(1)有理指数幂的含义及其运算性质
a＞0，b＞0且r，s，t∈Q.
as·at＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)r＝arbr.
(2)函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数．
(3)指数函数的图象和性质
y＝ax
0＜a＜1
a＞1
图象
y＝ax
0＜a＜1
a＞1
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
定点
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1.a＞1，当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1.
单调性
在R上是减函数.
在R上是增函数.
对称性
y＝ax和y＝a－x关于y轴对称.
[学考真题对练]
1．(2017·1月广东学考)下列等式恒成立的是( )
A．＝xeq
\s\up12(－)
(x≠0)
B．(3x)2＝3x2
C．log3(x2＋1)＋log32＝log3(x2＋3)
D．log3＝－x
2．(2019·1月广东学考)已知a>0，则＝( )
A．aeq
\s\up12()
B．aeq
\s\up12()
C．aeq
\s\up12()
D．aeq
\s\up12()
指数函数的性质及应用问题解题策略：
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题，解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．
[最新模拟快练]
1．(2018·汕头市高一期中)函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象一定经过点( )
A．(1,3)
B．(0,3)
C．(1,2)
D．(0,1)
2．计算：()4·()4等于( )
A．a16
B．a14
C．a8
D．a2
3．(2019·东莞学考模拟题)函数f(x)＝在区间[－2,2]上的最小值是( )
A．－
B．
C．－4
D．4
4．(2018·汕头市高一期中)函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是( )
5．(2019·中山学考模拟题)已知a＝log30.2，b＝30.2，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．b>c>a
D．c>b>a
6．(2019·广州高一期中)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[1,2]上的最大值和最小值的和为6，则a＝
.
7．(2019·深圳高一期末)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
对数运算与对数函数的图象和性质
[基础知识填充]
对数及对数函数
(1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数．记作：x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)对数的运算性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：logaa＝1；
loga1＝0；
alogaN＝N；
logaM＋logaN＝loga(MN)；
logaM－logaN＝loga；
logaMn＝nlogaM(n∈R)；
换底公式：logab＝(a＞0且a≠1，c＞0且c≠1)，
logab·logba＝1.
(3)对数函数的图象和性质
y＝logax
0＜a＜1
a＞1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
定点
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0.同正异负，即0＜a＜1,0＜x＜1或a＞1，x＞1时，logax＞0；0＜a＜1，x＞1或a＞1,0＜x＜1时，logax＜0.
单调性
在(0，＋∞)上是减函数.
在(0，＋∞)上是增函数.
[学考真题对练]
1．(2018·1月广东学考)对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是( )
A．lg
y－lg
x＝lg
B．lg(x＋y)＝lg
x＋lg
y
C．lg
x3＝3lg
x
D．lg
x＝
2．(2020·1月广东学考)设a＝log23，b＝log0.32，c＝log32，则( )
A．c
B．bC．aD．b应用对数型函数的图象可求解的问题：
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[最新模拟快练]
1．(2019·佛山学考模拟题)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
2．(2020·广东学考模拟)三个数a＝30.7，b＝0.73，c＝log30.7的大小顺序为( )
A．bB．bC．cD．c3．(2018·广州市学考模拟题)计算log318－log32＝
.
4．(2019·中山高一期中)已知函数f(x)＝4－log2x，x∈[2,8]，则f(x)的值域是
．
5．(2018·中山高一期末)已知f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．
幂函数的有关性质
[基础知识填充]
幂函数
(1)函数y＝xα叫做幂函数(只考虑α＝1,2,3，，－1的图象)．
(2)画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq
\s\up12()，y＝x－1的图象(如图)，观察它们的性质：
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq
\s\up12()
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈(0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0)时，减
增
增
x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减
定点
(1,1)
[最新模拟快练]
1．(2019·揭阳学考模拟题)已知幂函数f(x)＝xn的图象经过点(3，)，则f(9)的值为( )
A．3
B．±3
C．
D．3
2．(2019·云浮学考模拟题)函数y＝x－2在区间上的最大值是( )
A．
B．
C．4
D．－4
3．(2019·佛山学考模拟题)如图，函数y＝xeq
\s\up12()的图象是( )
4．(2018·韶关市高一月考)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N
)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)－<(5－2a)－的a的取值范围．考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.(2)对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.③了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1).(3)幂函数①了解幂函数的概念.②结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.
2017年1月T92018年1月T22019年1月T72020年1月T11
本章的重点是指数、对数的运算与性质，指数函数，对数函数、幂函数的图象、性质及其应用，难点是幂、指、对函数的图象、性质的应用，学习本章时要注意控制难度，掌握基本知识即可.
指数与指数函数的图象和性质
[基础知识填充]
指数函数
(1)有理指数幂的含义及其运算性质
a＞0，b＞0且r，s，t∈Q.
as·at＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)r＝arbr.
(2)函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数．
(3)指数函数的图象和性质
y＝ax
0＜a＜1
a＞1
图象
y＝ax
0＜a＜1
a＞1
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
定点
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1.a＞1，当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1.
单调性
在R上是减函数.
在R上是增函数.
对称性
y＝ax和y＝a－x关于y轴对称.
[学考真题对练]
1．(2017·1月广东学考)下列等式恒成立的是( )
A．＝xeq
\s\up12(－)
(x≠0)
B．(3x)2＝3x2
C．log3(x2＋1)＋log32＝log3(x2＋3)
D．log3＝－x
D [A．＝xeq
\s\up12(－)
(x≠0)；B．(3x)2＝32x；C．log3(x2＋1)＋log32＝log32(x2＋1)．]
2．(2019·1月广东学考)已知a>0，则＝( )
A．aeq
\s\up12()
B．aeq
\s\up12()
C．aeq
\s\up12()
D．aeq
\s\up12()
D
指数函数的性质及应用问题解题策略：
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题，解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．
[最新模拟快练]
1．(2018·汕头市高一期中)函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象一定经过点( )
A．(1,3)
B．(0,3)
C．(1,2)
D．(0,1)
A [对于任意a>0且a≠1，由x－1＝0可得x＝1，当x＝1时，f(1)＝3，所以函数f(x)＝ax－1＋2的图象一定经过点(1,3)，本题选择A选项．]
2．计算：()4·()4等于( )
A．a16
B．a14
C．a8
D．a2
B [将根式化为分数指数幂的运算可得结果为a14.]
3．(2019·东莞学考模拟题)函数f(x)＝在区间[－2,2]上的最小值是( )
A．－
B．
C．－4
D．4
B [函数f(x)＝在定义域R上单调递减，
∴f(x)在区间[－2,2]上的最小值为f(2)＝＝.]
4．(2018·汕头市高一期中)函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是( )
C [由于当x＝1时，y＝0，即函数y＝ax－a的图象过点(1,0)，故排除A、B、D．故选C．]
5．(2019·中山学考模拟题)已知a＝log30.2，b＝30.2，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．b>c>a
D．c>b>a
C [a＝log30.2＜0，b＝30.2＞1，c＝0.30.2∈(0,1)，
∴a＜c＜b.]
6．(2019·广州高一期中)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[1,2]上的最大值和最小值的和为6，则a＝
.
2 [当x＝1时，f(x)取得最大值，那么x＝2取得最小值，或者x＝1时，f(x)取得最小值，那么x＝2取得最大值．∴a＋a2＝6，∵a＞0，a≠1，∴a＝2.]
7．(2019·深圳高一期末)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
[解] (1)因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
经检验a＝1，b＝1符合题意．
(2)任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
因为x10，又因为(2x1＋1)(2x2＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x)为R上的减函数．
对数运算与对数函数的图象和性质
[基础知识填充]
对数及对数函数
(1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数．记作：x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)对数的运算性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：logaa＝1；
loga1＝0；
alogaN＝N；
logaM＋logaN＝loga(MN)；
logaM－logaN＝loga；
logaMn＝nlogaM(n∈R)；
换底公式：logab＝(a＞0且a≠1，c＞0且c≠1)，
logab·logba＝1.
(3)对数函数的图象和性质
y＝logax
0＜a＜1
a＞1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
定点
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0.同正异负，即0＜a＜1,0＜x＜1或a＞1，x＞1时，logax＞0；0＜a＜1，x＞1或a＞1,0＜x＜1时，logax＜0.
单调性
在(0，＋∞)上是减函数.
在(0，＋∞)上是增函数.
[学考真题对练]
1．(2018·1月广东学考)对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是( )
A．lg
y－lg
x＝lg
B．lg(x＋y)＝lg
x＋lg
y
C．lg
x3＝3lg
x
D．lg
x＝
B [对于B项，令x＝y＝1，则lg(x＋y)＝lg
2，而lg
x＋lg
y＝0，显然不成立，故选B．]
2．(2020·1月广东学考)设a＝log23，b＝log0.32，c＝log32，则( )
A．cB．bC．aD．bD [1＜a＝log23＜2，b＝log0.32<0,0＜c＝log32＜1，
故b应用对数型函数的图象可求解的问题：
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[最新模拟快练]
1．(2019·佛山学考模拟题)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
A [由于函数为偶函数又过(0,0)，所以直接选A．]
2．(2020·广东学考模拟)三个数a＝30.7，b＝0.73，c＝log30.7的大小顺序为( )
A．bB．bC．cD．cD [∵a＝30.7>30＝1,03．(2018·广州市学考模拟题)计算log318－log32＝
.
2 [log318－log32＝log3＝log39＝2.]
4．(2019·中山高一期中)已知函数f(x)＝4－log2x，x∈[2,8]，则f(x)的值域是
．
[1,3] [∵函数f(x)＝4－log2x在x∈[2,8]时单调递减，∴当x＝2时函数取最大值4－log22＝3，当x＝8时函数取最小值4－log28＝1，∴函数f(x)的值域为[1,3]．]
5．(2018·中山高一期末)已知f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．
[解] (1)根据题意可得，解不等式可得－3(2)∵定义域为(－3,3)关于原点对称，∴f(－x)＝log3(3－x)＋log3(3＋x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数.
幂函数的有关性质
[基础知识填充]
幂函数
(1)函数y＝xα叫做幂函数(只考虑α＝1,2,3，，－1的图象)．
(2)画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq
\s\up12()，y＝x－1的图象(如图)，观察它们的性质：
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq
\s\up12()
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈(0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0)时，减
增
增
x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减
定点
(1,1)
[最新模拟快练]
1．(2019·揭阳学考模拟题)已知幂函数f(x)＝xn的图象经过点(3，)，则f(9)的值为( )
A．3
B．±3
C．
D．3
A [∵幂函数f(x)＝xn的图象经过点(3，)，∴f(3)＝3n＝，解得n＝
，∴f(x)＝xeq
\s\up12()，∴f(9)＝9eq
\s\up12()＝3.]
2．(2019·云浮学考模拟题)函数y＝x－2在区间上的最大值是( )
A．
B．
C．4
D．－4
C [易知y＝x－2在上单调递减，所以当x＝时，函数y＝x－2的最大值是＝4.]
3．(2019·佛山学考模拟题)如图，函数y＝xeq
\s\up12()的图象是( )
D [幂函数y＝xeq
\s\up12()是偶函数，图象关于y轴对称，所以可排除选项A，B，C，选D．]
4．(2018·韶关市高一月考)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N
)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)－<(5－2a)－的a的取值范围．
[解] 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N
，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为
(a＋3)eq
\s\up12(－)
<(5－2a)
eq
\s\up12(－)，因为y＝xeq
\s\up12(－)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a