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函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
2018年1月T5
本章的重点是求函数的零点，判断函数零点的个数及其所在的区间，难点是根据函数的零点的情况求参数的取值范围，学习本章时要注意应用数形结合的思想方法、转化与化归的思想方法解决问题.
求函数的零点、判断零点的个数
[基础知识填充]
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点与方程的根、函数图象与x轴交点的关系
函数y＝f(x)有零点?方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．
3．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[最新模拟快练]
1．(2019·惠州学考模拟)函数y＝ln
x的零点是( )
A．(0,0)
B．x＝0
C．x＝1
D．不存在
C [令ln
x
＝0，解得
x＝1.]
2．(2019·江门学考模拟)函数f(x)＝2x－1的零点为( )
A．1
B．0
C．(1,0)
D．(0,0)
B [函数的零点即相应方程的根．由2x－1＝0得x＝0，∴函数f(x)＝2x－1的零点为0.]
3．(2018·揭阳学考模拟题)函数f(x)＝x－－2的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [由f(x)＝0得x－2＝，在同一坐标系内做出函数y＝x－2，y＝的图象，如图所示，二者有1个交点，即f(x)有1个零点．
]
4．(2019·东莞高一月考)方程2－x＝－x2＋3的实数解的个数为( )
A．2
B．3
C．1
D．4
A [令f(x)＝2－x，g(x)＝－x2＋3，绘制这两个函数的函数图象，可得
故有2个交点，故选A．]
5．(2018·东莞市高一期中)下列函数没有零点的是( )
A．f(x)＝0
B．f(x)＝2
C．f(x)＝x2－1
D．f(x)＝x－
B [函数f(x)＝2，不能满足方程f(x)＝0，因此没有零点．]
6．(2019·梅州高一期末)函数f(x)＝(lg
x)2－lg
x的零点为
．
x＝1或x＝10 [由(lg
x)2－lg
x＝0，得lg
x(lg
x－1)＝0，∴lg
x＝0或lg
x＝1，∴x＝1或x＝10.]
7．(2018·佛山市高一期中考试)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为
．
－2 [令f(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.]
利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.
判断函数零点所在的区间
[最新模拟快练]
1．(2019·佛山高一期末)对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实数解
D．方程f(x)＝0可能无实数解
D [∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有零点，即方程f(x)＝0可能无实数解．]
2．(2019·深圳学考模拟)函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间是( )
A．(－2,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
C [∵函数f(x)＝－x3－3x＋5是单调递减函数，又∵f(1)＝－13－3×1＋5＝1>0，f(2)＝－23－3×2＋5＝－9<0，∴函数f(x)的零点必在区间(1,2)上，故必存在零点的区间是(1,2)，故选C．]
3．(2018·深圳市高一期中)若x0是函数f(x)＝ln
x与g(x)＝的图象交点的横坐标，则x0属于区间( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3，＋∞)
C [设h(x)＝f(x)－g(x)＝ln
x－，h(1)＝－2<0，h(2)＝ln
2－1<0，h(3)＝ln
3－>0，故x0∈(2,3)．]
4．(2019·江门学考模拟)根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
C [令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．]
5.
(2019·肇庆学考模拟)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
B [因为函数f(x)＝2x＋3x在其定义域内是递增的，那么根据f(－1)＝－3＝－<0，f(0)＝1＋0＝1>0，那么由函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(－1,0)，选B．]
6．(2018·佛山市学考模拟题)已知函数f(x)＝2x＋log3x的零点在区间上，则整数k的值为
．
1 [∵函数f(x)＝2x＋log3x在(0，＋∞)单调递增．∴函数f(x)＝2x＋log3x最多有一个零点．当k＝1时，区间为，当x→0时，f(x)→－∞，当x＝时，f＝－log32>0，∴函数f(x)在区间上存在零点，因此必然k＝1.]
确定函数零点所在的区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是把函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的方法.
函数零点的应用
[学考真题对练]
(2018·广东学业水平真题)设实数a为常数，则函数f(x)＝x2－x＋a(x∈R)存在零点的充分必要条件是( )
A．a≤1
B．a>1
C．a≤
D．a>
C [由已知可得，Δ＝1－4a≥0?a≤，故选C．]
已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围；
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
[最新模拟快练]
1．(2018·肇庆市学考模拟题)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是( )
A．a>
B．a>或a<－1
C．－1
D．a<－1
B [由题意，要使函数f(x)在区间(－1,1)上存在一个零点，则有f(－1)f(1)<0，即(a＋1)(－5a＋1)<0，所以(a＋1)(5a－1)>0，即或，
解得a>或a<－1.]
2．(2018·清远市高一月考)若函数y＝＋m有零点，则m的取值范围是( )
A．m≤－1
B．－1≤m<0
C．m≥1
D．0B [∵y＝
＝，画图象
可知－1≤m<0，故选B．]
3．(2019·汕头学考模拟)若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是
．
m>1 [f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.]
4．(2019·佛山学考模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为
．
－3 [设函数f(x)的两个零点为x1，x2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－＝－2.又因为x1＝1，所以x2＝－3.]
5．(2019·广州高一期中)设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且g(1)＝－.
(1)求证：函数g(x)有两个零点；
(2)讨论函数g(x)在区间(0,2)内的零点个数．
[解] (1)证明：∵g(1)＝a＋b＋c＝－，
∴3a＋2b＋2c＝0，
∴c＝－a－b.∴g(x)＝ax2＋bx－a－b，
∴Δ＝b2－4a＝(2a＋b)2＋2a2.∵a>0，
∴Δ>0恒成立，
故函数g(x)有两个零点．
(2)根据g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，又由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a－c.
(ⅰ)当c>0时，有g(0)>0，
又∵a>0，∴g(1)＝－<0，
故函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点，故在区间(0,2)内至少有一个零点．
(ⅱ)当c≤0时，g(1)<0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c>0，
∴函数f(x)在区间(1,2)内有一零点，
综合(ⅰ)(ⅱ)，可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.考纲展示
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函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
2018年1月T5
本章的重点是求函数的零点，判断函数零点的个数及其所在的区间，难点是根据函数的零点的情况求参数的取值范围，学习本章时要注意应用数形结合的思想方法、转化与化归的思想方法解决问题.
求函数的零点、判断零点的个数
[基础知识填充]
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点与方程的根、函数图象与x轴交点的关系
函数y＝f(x)有零点?方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．
3．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[最新模拟快练]
1．(2019·惠州学考模拟)函数y＝ln
x的零点是( )
A．(0,0)
B．x＝0
C．x＝1
D．不存在
2．(2019·江门学考模拟)函数f(x)＝2x－1的零点为( )
A．1
B．0
C．(1,0)
D．(0,0)
3．(2018·揭阳学考模拟题)函数f(x)＝x－－2的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．(2019·东莞高一月考)方程2－x＝－x2＋3的实数解的个数为( )
A．2
B．3
C．1
D．4
5．(2018·东莞市高一期中)下列函数没有零点的是( )
A．f(x)＝0
B．f(x)＝2
C．f(x)＝x2－1
D．f(x)＝x－
6．(2019·梅州高一期末)函数f(x)＝(lg
x)2－lg
x的零点为
．
7．(2018·佛山市高一期中考试)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为
．
利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.
判断函数零点所在的区间
[最新模拟快练]
1．(2019·佛山高一期末)对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实数解
D．方程f(x)＝0可能无实数解
2．(2019·深圳学考模拟)函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间是( )
A．(－2,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
3．(2018·深圳市高一期中)若x0是函数f(x)＝ln
x与g(x)＝的图象交点的横坐标，则x0属于区间( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3，＋∞)
4．(2019·江门学考模拟)根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
5.
(2019·肇庆学考模拟)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
6．(2018·佛山市学考模拟题)已知函数f(x)＝2x＋log3x的零点在区间上，则整数k的值为
．
确定函数零点所在的区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是把函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的方法.
函数零点的应用
[学考真题对练]
(2018·广东学业水平真题)设实数a为常数，则函数f(x)＝x2－x＋a(x∈R)存在零点的充分必要条件是( )
A．a≤1
B．a>1
C．a≤
D．a>
已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围；
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
[最新模拟快练]
1．(2018·肇庆市学考模拟题)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是( )
A．a>
B．a>或a<－1
C．－1D．a<－1
2．(2018·清远市高一月考)若函数y＝＋m有零点，则m的取值范围是( )
A．m≤－1
B．－1≤m<0
C．m≥1
D．03．(2019·汕头学考模拟)若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是
．
4．(2019·佛山学考模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为
．
5．(2019·广州高一期中)设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且g(1)＝－.
(1)求证：函数g(x)有两个零点；
(2)讨论函数g(x)在区间(0,2)内的零点个数．