考纲展示
考情汇总
备考指导
空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.③会用平行投影与中心投影两种方法，画出三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
2017年1月T212018年1月T82019年1月T92019年1月T212020年1月T14
本章的重点是求几何体的体积和表面积，难点是三视图的识别及应用，学习本章时要注意提高空间想象能力，计算几何体的体积或表面积时要注意和空间中点、直线、平面间的位置关系相结合.
多面体与旋转体的概念
[基础知识填充]
空间几何体的结构
(1)柱、锥、台、球的结构特征
①棱柱：有两个面互相平行(即底面平行且全等)，其余各面(即侧面)都是四边形，每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体．
②棱锥：有一个面(即底面)是多边形，其余各面(即侧面)都有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体．
③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分．
④圆柱
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体．
轴：旋转轴叫做圆柱的轴．
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面．
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面．
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边．
⑤圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转，形成的面所围成的旋转体．
⑥圆台：用平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．
⑦球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．
(2)简单组合体的结构特征
①定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
②组合形成(如图)：
[学考真题对练]
(2019·1月广东学考)如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，BD1＝2，则AA1＝( )
A．1
B．
C．2
D．
B [BD＝AB2＋AD2＋DD，DD1＝，AA1＝DD1＝.]
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
[最新模拟快练]
1．(2019·惠州高一期末)下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D [根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．]
2．(2019·江门学考模拟)观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )
A．①是棱柱
B．②不是棱锥
C．③不是棱锥
D．④是棱台
B [结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．]
3．(2019·广州学考模拟)下列说法中正确的是( )
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
A [棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形．但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错．]
4．(2018·汕头市学考模拟)下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
C [由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．]
5.下列几何体中，能截出面是如图所示的形状的有( )
A．球体
B．圆柱
C．棱柱
D．棱锥
B [用过圆柱的底面且不与母线平行的平面截圆柱．]
6．(2019·佛山高一月考)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是( )
A．圆柱
B．圆台
C．球体
D．棱台
D [圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形．只有棱台可以截出三角形，故选D．]
7.如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，BD1＝2，则AA1＝( )
A．1
B．
C．2
D．
空间几何体的三视图
[基础知识填充]
空间几何体的三视图
(1)正视图
光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图，它能反映几何体的高度和长度．
(2)侧视图
光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图，它能反映几何体的高度和宽度．
(3)俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图，它能反映几何体的长度和宽度．
[最新模拟快练]
1．(2019·蛇口学考模拟)如图是一个几何体的三视图，则该几何体为( )
A．球
B．圆柱
C．圆台
D．圆锥
D [根据三视图可知，该几何体为圆锥．]
2．(2018·阳江市学考模拟)正视图为矩形的几何体是( )
A [选项A中圆柱的正视图是矩形．]
3．(2019·河源市高一期末)如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )
A．
三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．
三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．
三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．
三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
C [如图(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱；
(2)三视图复原的几何体是四棱锥；
(3)三视图复原的几何体是圆锥；
(4)三视图复原的几何体是圆台．
所以(1)(2)(3)(4)的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．]
4．(2018·惠州市高一月考)如图中几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的几何体是( )
A．圆锥
B．正方体
C．正三棱柱
D．球
A [选项A中圆锥的正视图和侧视图相同，与俯视图不同，故选A．]
5．(2019·广州学考模拟)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
D [由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D．]
6．(2019·梅州高一月考)如图，某简单组合体由半个球和一个圆台组成，则该几何体的侧视图为( )
B [由三视图的概念易知答案选B．]
7．(2018·广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))若如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．圆锥
B．棱柱
C．圆柱
D．棱锥
C [∵圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个圆，∴该几何体是圆柱．故选C．]
三视图问题的常见类型及解题策略：
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
空间几何体的表面积和体积
[基础知识填充]
空间几何体的表面积与体积
下表中，c′，c分别表示上、下底面的周长，h表示高，h′表示斜高，l表示母线长，r表示圆柱、圆锥底面半径，r1，r2分别表示圆台的上、下底面半径，R表示球半径．
名称
S侧
S全
V
直棱柱
ch
S侧＋2S底
S底·h
正棱锥
ch′
S侧＋S底
S底·h
正棱台
(c＋c′)·h′
S侧＋S上底＋S下底
h(S上＋S下＋)
圆柱
2πrl
2πr(l＋r)
πr2·h
圆锥
πrl
πr(l＋r)
πr2·h
圆台
πl(r1＋r2)
π(r＋r＋r1l＋r2l)
πh(r＋r1r2＋r)
球
4πR2
πR3
[学考真题对练]
1．(2018·1月广东学考)如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
C [由图象可知该空间几何体为长方体，长和宽为2，高为1，体积V＝2×2×1＝4，故选C．]
2．(2020·1月广东学考)一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是( )
(参考公式：球的表面积公式为S＝4πR2，其中R是球的半径)
A．3π
B．4π
C．8π
D．12π
D [由于正方体的顶点均在同一球的球面上，即其体对角线为球的直径：2R＝＝2，
∴R＝，
∴球的表面积为S＝4πR2＝12π，故选D．]
3．(2019·1月广东学考)如图，三棱锥P?ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PA＝PB＝PC＝2，E是AC的中点，点F在线段PC上．
(1)证明：PB⊥AC；
(2)若PA∥平面BEF，求四棱锥B?APFE的体积．
(参考公式：锥体的体积公式为V＝Sh，其中S是底面积，h是高．)
[解] (1)∵PA⊥PB，PB⊥PC，PC∩PA＝P，
∴PB⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴PB⊥AC．
(2)∵PA∥平面BEF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝EF，∴EF∥PA，
∴四边形PAEF为梯形，又∵PA⊥PC，∴四边形PAEF为直角梯形，
又∵E是AC的中点，∴F为PC的中点，
∴PF＝PC＝1，EF＝PA＝1，
∴直角梯形APFE的面积S＝×PF＝.
由(1)知PB⊥平面APFE.
∴四棱锥B?APFE的体积V＝S·PB＝1.
1.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
2．空间几何体表面积的求法：
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
[最新模拟快练]
1．(2018·揭阳学考模拟题)某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是( )
A．4π
B．5π
C．6π
D．2π＋4
C [由三视图知该几何体为高为2，直径为2的圆柱，其表面积是S＝π×12×2＋2π×1×2＝6π.]
2．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是( )
A．3
B．
C．
D．
D [由三视图知该几何体是底面为两直角边分别为，1的直角三角形，高为的直三棱柱，其体积为××1×＝，故选D．]
3．(2019·韶关市学考模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．π
B．48π
C．π
D．64π
A [由三视图可得，该几何体为圆锥，该圆锥的底面半径为2，圆锥的高为4，由圆锥的体积公式可得该几何体的体积为×π×22×4＝π.]
4．(2019·东莞市学考模拟)已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A．
B．
C．
D．
A [设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.
S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，
＝＝.]
5．(2020·广东学考模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A．8cm3
B．12cm3
C．cm3
D．cm3
C [由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面边长为2的正方形高为2的正四棱锥，
所求几何体的体积为：23＋×2×2×2＝cm3.
故选C．]
6．(2019·潮州高一月考)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为
．
3π [由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.]考纲展示
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备考指导
空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.③会用平行投影与中心投影两种方法，画出三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
2017年1月T212018年1月T82019年1月T92019年1月T212020年1月T14
本章的重点是求几何体的体积和表面积，难点是三视图的识别及应用，学习本章时要注意提高空间想象能力，计算几何体的体积或表面积时要注意和空间中点、直线、平面间的位置关系相结合.
多面体与旋转体的概念
[基础知识填充]
空间几何体的结构
(1)柱、锥、台、球的结构特征
①棱柱：有两个面互相平行(即底面平行且全等)，其余各面(即侧面)都是四边形，每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体．
②棱锥：有一个面(即底面)是多边形，其余各面(即侧面)都有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体．
③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分．
④圆柱
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体．
轴：旋转轴叫做圆柱的轴．
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面．
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面．
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边．
⑤圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转，形成的面所围成的旋转体．
⑥圆台：用平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．
⑦球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．
(2)简单组合体的结构特征
①定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
②组合形成(如图)：
[学考真题对练]
(2019·1月广东学考)如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，BD1＝2，则AA1＝( )
A．1
B．
C．2
D．
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
[最新模拟快练]
1．(2019·惠州高一期末)下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．(2019·江门学考模拟)观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )
A．①是棱柱
B．②不是棱锥
C．③不是棱锥
D．④是棱台
3．(2019·广州学考模拟)下列说法中正确的是( )
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
4．(2018·汕头市学考模拟)下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
5.下列几何体中，能截出面是如图所示的形状的有( )
A．球体
B．圆柱
C．棱柱
D．棱锥
6．(2019·佛山高一月考)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是( )
A．圆柱
B．圆台
C．球体
D．棱台
7.如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，BD1＝2，则AA1＝( )
A．1
B．
C．2
D．
空间几何体的三视图
[基础知识填充]
空间几何体的三视图
(1)正视图
光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图，它能反映几何体的高度和长度．
(2)侧视图
光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图，它能反映几何体的高度和宽度．
(3)俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图，它能反映几何体的长度和宽度．
[最新模拟快练]
1．(2019·蛇口学考模拟)如图是一个几何体的三视图，则该几何体为( )
A．球
B．圆柱
C．圆台
D．圆锥
2．(2018·阳江市学考模拟)正视图为矩形的几何体是( )
3．(2019·河源市高一期末)如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )
A．
三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．
三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．
三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．
三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
4．(2018·惠州市高一月考)如图中几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的几何体是( )
A．圆锥
B．正方体
C．正三棱柱
D．球
5．(2019·广州学考模拟)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
6．(2019·梅州高一月考)如图，某简单组合体由半个球和一个圆台组成，则该几何体的侧视图为( )
7．(2018·广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))若如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．圆锥
B．棱柱
C．圆柱
D．棱锥
三视图问题的常见类型及解题策略：
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
空间几何体的表面积和体积
[基础知识填充]
空间几何体的表面积与体积
下表中，c′，c分别表示上、下底面的周长，h表示高，h′表示斜高，l表示母线长，r表示圆柱、圆锥底面半径，r1，r2分别表示圆台的上、下底面半径，R表示球半径．
名称
S侧
S全
V
直棱柱
ch
S侧＋2S底
S底·h
正棱锥
ch′
S侧＋S底
S底·h
正棱台
(c＋c′)·h′
S侧＋S上底＋S下底
h(S上＋S下＋)
圆柱
2πrl
2πr(l＋r)
πr2·h
圆锥
πrl
πr(l＋r)
πr2·h
圆台
πl(r1＋r2)
π(r＋r＋r1l＋r2l)
πh(r＋r1r2＋r)
球
4πR2
πR3
[学考真题对练]
1．(2018·1月广东学考)如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
2．(2020·1月广东学考)一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是( )
(参考公式：球的表面积公式为S＝4πR2，其中R是球的半径)
A．3π
B．4π
C．8π
D．12π
3．(2019·1月广东学考)如图，三棱锥P?ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PA＝PB＝PC＝2，E是AC的中点，点F在线段PC上．
(1)证明：PB⊥AC；
(2)若PA∥平面BEF，求四棱锥B?APFE的体积．
(参考公式：锥体的体积公式为V＝Sh，其中S是底面积，h是高．)
1.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
2．空间几何体表面积的求法：
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
[最新模拟快练]
1．(2018·揭阳学考模拟题)某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是( )
A．4π
B．5π
C．6π
D．2π＋4
2．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是( )
A．3
B．
C．
D．
3．(2019·韶关市学考模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．π
B．48π
C．π
D．64π
4．(2019·东莞市学考模拟)已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A．
B．
C．
D．
5．(2020·广东学考模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A．8cm3
B．12cm3
C．cm3
D．cm3
6．(2019·潮州高一月考)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为
．
