考纲展示
考情汇总
备考指导
直线与方程
①
在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.
②
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
③
能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
④
掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
⑤
能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
⑥
掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
2017年1月T52019年1月T52020年1月T4
本章的重点是根据所给条件求直线的方程，难点是两条直线的位置关系的判定，易错点是在根据两直线的位置关系求参数的值时，容意漏解或出现增根，出错的根本原因是没有掌握两直线平行或垂直的充要条件.
直线的倾斜角、斜率和位置关系
[基础知识填充]
1．直线的倾斜角和斜率
(1)倾斜角
当直线l与x轴平行或重合时，规定此时直线的倾斜角为0°.
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫直线l的倾斜角．
注：倾斜角的取值范围为.
(2)直线的斜率
当直线l的倾斜角θ≠90°时(即直线与x轴不垂直)，直线l的斜率存在，且斜率k＝tan
θ.
当直线的倾斜角为θ(θ≠90°)，斜率为k，则k≥0?θ∈；k<0?θ∈.
(3)直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率k＝.
注：任何直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率．
2．两条直线平行和垂直的判定
(1)当直线l1∥l2或l1与l2重合，倾斜角α1＝α2.
若斜率存在，则k1＝k2.
若斜率不存在，则k1与k2都不存在．
(2)直线l1∥l2，若斜率存在，则k1＝k2，且在y轴上的截距不同，若斜率不存在，则l1与l2都垂直于x轴且在x轴上的截距不同．
(3)若斜率存在，且直线l1⊥l2，则k1·k2＝－1.
若其中有一条斜率不存在，且l1⊥l2，则另一条直线斜率为0.
(4)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，且A1，A2，B1，B2都不为零．
①l1∥l2?＝≠.
②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
③l1与l2相交?≠.
④l1与l2重合?＝＝.
[学考真题对练]
1．(2019·1月广东学考)直线3x＋2y－6＝0的斜率是( )
A．
B．－
C．
D．－
B [k＝－＝－.]
2．(2020·1月广东学考)直线x－2y－1＝0的斜率是( )
A．
B．－
C．2
D．－2
A [直线斜率为k＝－＝.故选A．]
1.斜率的求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan
α求斜率．
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
(3)已知直线方程可把直线方程化为y＝x＋b的形式求斜率．
2．求倾斜角的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k＝tan
α的取值范围；
(2)利用正切函数在[0，π)上的图象，确定倾斜角α的取值范围．
[最新模拟快练]
1．(2018·深圳高一月考)已知直线l经过两点P(1,2)，Q(4,3)，那么直线l的斜率为( )
A．－3
B．－
C．
D．3
C [k＝＝.]
2．(2018·揭阳高一月考)直线x＋y－＝0的倾斜角为( )
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
D [由题意知k＝tan
α＝－1，故α＝135°.]
3．(2019·惠州学考模拟)
若直线y＝2x－1与直线x＋my＋3＝0平行，则m的值为( )
A．
B．－
C．－2
D．2
B [直线y＝2x－1化为2x－y－1＝0，因为2x－y－1＝0与直线x＋my＋3＝0平行，
∴＝≠，解得m＝－，故选B．]
4．(2019·深圳学考模拟)若过点A(a，－1)和B(2，a)的直线的斜率为，则a的值为( )
A．4
B．0
C．－4
D．1
B [kAB＝＝，解得a＝0.]
5．(2019·东莞高一月考)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k3＜k2
B．k3＜k1＜k2
C．k1＜k2＜k3
D．k3＜k2＜k1
A [设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，∴tan
α1＜0，tan
α2＞tan
α3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0，故选A．]
6．(2019·蛇口高一期末)若三点A(2,3)，B(3,2)，C共线，则实数m的值为
．
[设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由斜率公式，得kAB＝＝－1，
kBC＝＝－(m－2)．∵A，B，C三点共线，
∴kAB＝kBC，
即－1＝－(m－2)，解得m＝.]
求直线的方程
[基础知识填充]
直线方程的形式
名称
方程形式
条件
局限性
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
P1(x1，y1)，k
不能表示垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
k，b
不能表示垂直于x轴的直线
两点式
＝
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
不能表示垂直于坐标轴的直线
截距式
＋＝1
a，b
不能表示垂直于坐标轴的直线与过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
[学考真题对练]
(2017·
1月广东学考)已知直线l过点A(1,2)，且与直线y＝x＋1垂直，则直线l的方程是( )
A．y＝2x
B．y＝－2x＋4
C．y＝x＋
D．y＝x＋
B [∵两直线垂直?k1k2＝－1，∴直线l的斜率为k＝－2.
根据点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可得y－2＝－2(x－1)，整理得y＝－2x＋4.]
求直线方程的注意点
(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在；
(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零．
[最新模拟快练]
1．(2019·潮州学考模拟)经过点P(0,2)且斜率为2的直线方程为( )
A．2x＋y＋2＝0
B．2x－y－2＝0
C．2x－y＋2＝0
D．2x＋y－2＝0
C [由点斜式可得：y－2＝2(x－0)，化为：2x－y＋2＝0.故选C．]
2．(2019·广州高一期中)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
C [由于直线x－2y－2＝0的斜率为，故所求直线的斜率等于－2，故所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0，故选C．]
3．(2020·广东学考模拟)直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0互相平行，则a的值是( )
A．1
B．－2
C．1或－2
D．－1或2
B [∵直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0互相平行，
∴1×2－a(a＋1)＝0，∴a2＋a－2＝0，
∴a＝－2或a＝1，
当a＝－2时，直线x－2y－7＝0与直线－x＋2y－14＝0互相平行；
当a＝1时，直线x＋y－7＝0与直线2x＋2y－14＝0重合，不满足题意；
故a＝－2.故选B．]
4．(2019·惠州市学考模拟)直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
B [∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，
又∵直线过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x，整理可得x－y－1＝0，故选B．]
5．(2018·揭阳高一月考)过点P(2，－3)且在两轴上的截距相等的直线方程为
．
3x＋2y＝0或x＋y＋1＝0 [当直线在两轴上的截距为0时，易得其斜率为－，则方程为y＝－x，即3x＋2y＝0.
当直线在两轴上的截距不为0时，设直线的方程为x＋y＋a＝0，又直线过点P(2，－3)，则2－3＋a＝0，解得a＝1，故直线的方程为x＋y＋1＝0.]
6．(2019·揭阳市学考模拟)过点(－3,0)且与直线x＋4y－2＝0平行的直线方程是
．
x＋4y＋3＝0 [设与直线x＋4y－2＝0平行的直线方程为x＋4y＋c＝0，把点(－3,0)代入，得：－3＋0＋c＝0，解得c＝3，∴所求直线的方程为x＋4y＋3＝0.]
7．(2019·顺德高一月考)在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是
．
y＝x－6或y＝－x－6 [与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为：
k＝tan
60°＝，或k＝tan
120°＝－，∴y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是：y＝x－6或y＝－x－6.]
距离公式的应用和两直线的交点坐标
[基础知识填充]
1．两直线的交点坐标
两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点坐标就是方程组的解．
①当方程组只有一组解时，两直线相交．
②当方程组无解时，两直线平行．
③当方程组有无数组解时，两直线重合．
2．三个距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式：|P1P2|＝.
(2)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.
(3)平行直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝.
[最新模拟快练]
1．(2019·汕尾市学考模拟)点(2,5)到直线y＝2x的距离为( )
A．
B．
C．
D．
A [直线y＝2x可化为2x－y＝0，由点到直线的距离公式得＝＝.]
2．(2018·潮州市高一月考)不论m怎么变化，直线(m＋2)x－(2m－1)y－(3m－4)＝0恒过定点( )
A．(1,2)
B．(－1，－2)
C．(2,1)
D．(－2，－1)
B [∵(m＋2)x－(2m－1)y－(3m－4)＝0，∴m(x－2y－3)＋(2x＋y＋4)＝0.
联立解得x＝－1，y＝－2，∴直线过定点(－1，－2)．]
3．(2019·揭阳市学考模拟)直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为2，则C的值为( )
A．9
B．11或－9
C．－11
D．9或－11
B [两平行线间的距离为d＝＝2，解得C＝－9或11.]
4．(2018·蛇口市高一期中)过点(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是( )
A．2x＋y－4＝0
B．x＋2y－5＝0
C．x＋3y－7＝0
D．3x＋y－5＝0
B [当直线与点(1,2)和(0,0)的连线垂直时，距离最大，设A(1,2)，O(0,0)，则kOA＝＝2.故所求直线的斜率为－.由点斜式得y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.]
5．(2019·潮州市高一月考)已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A．
B．
C．
D．3
B [点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，
所以|MP|的最小值为＝.]
6．(2019·深圳市高一期末)直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0
B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0
D．3x＋y＋13＝0
C [由题意知直线l与AB垂直，且过A点，∴kl·kAB＝－1，又∵kAB＝＝，∴kl＝－3，∴l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.]
(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．
(2)应用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中x，y的系数化为相等的数.考纲展示
考情汇总
备考指导
直线与方程
①
在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.
②
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
③
能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
④
掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
⑤
能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
⑥
掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
2017年1月T52019年1月T52020年1月T4
本章的重点是根据所给条件求直线的方程，难点是两条直线的位置关系的判定，易错点是在根据两直线的位置关系求参数的值时，容意漏解或出现增根，出错的根本原因是没有掌握两直线平行或垂直的充要条件.
直线的倾斜角、斜率和位置关系
[基础知识填充]
1．直线的倾斜角和斜率
(1)倾斜角
当直线l与x轴平行或重合时，规定此时直线的倾斜角为0°.
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫直线l的倾斜角．
注：倾斜角的取值范围为.
(2)直线的斜率
当直线l的倾斜角θ≠90°时(即直线与x轴不垂直)，直线l的斜率存在，且斜率k＝tan
θ.
当直线的倾斜角为θ(θ≠90°)，斜率为k，则k≥0?θ∈；k<0?θ∈.
(3)直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率k＝.
注：任何直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率．
2．两条直线平行和垂直的判定
(1)当直线l1∥l2或l1与l2重合，倾斜角α1＝α2.
若斜率存在，则k1＝k2.
若斜率不存在，则k1与k2都不存在．
(2)直线l1∥l2，若斜率存在，则k1＝k2，且在y轴上的截距不同，若斜率不存在，则l1与l2都垂直于x轴且在x轴上的截距不同．
(3)若斜率存在，且直线l1⊥l2，则k1·k2＝－1.
若其中有一条斜率不存在，且l1⊥l2，则另一条直线斜率为0.
(4)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，且A1，A2，B1，B2都不为零．
①l1∥l2?＝≠.
②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
③l1与l2相交?≠.
④l1与l2重合?＝＝.
[学考真题对练]
1．(2019·1月广东学考)直线3x＋2y－6＝0的斜率是( )
A．
B．－
C．
D．－
2．(2020·1月广东学考)直线x－2y－1＝0的斜率是( )
A．
B．－
C．2
D．－2
1.斜率的求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan
α求斜率．
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
(3)已知直线方程可把直线方程化为y＝x＋b的形式求斜率．
2．求倾斜角的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k＝tan
α的取值范围；
(2)利用正切函数在[0，π)上的图象，确定倾斜角α的取值范围．
[最新模拟快练]
1．(2018·深圳高一月考)已知直线l经过两点P(1,2)，Q(4,3)，那么直线l的斜率为( )
A．－3
B．－
C．
D．3
2．(2018·揭阳高一月考)直线x＋y－＝0的倾斜角为( )
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
3．(2019·惠州学考模拟)
若直线y＝2x－1与直线x＋my＋3＝0平行，则m的值为( )
A．
B．－
C．－2
D．2
4．(2019·深圳学考模拟)若过点A(a，－1)和B(2，a)的直线的斜率为，则a的值为( )
A．4
B．0
C．－4
D．1
5．(2019·东莞高一月考)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k3＜k2
B．k3＜k1＜k2
C．k1＜k2＜k3
D．k3＜k2＜k1
6．(2019·蛇口高一期末)若三点A(2,3)，B(3,2)，C共线，则实数m的值为
．
求直线的方程
[基础知识填充]
直线方程的形式
名称
方程形式
条件
局限性
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
P1(x1，y1)，k
不能表示垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
k，b
不能表示垂直于x轴的直线
两点式
＝
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
不能表示垂直于坐标轴的直线
截距式
＋＝1
a，b
不能表示垂直于坐标轴的直线与过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
[学考真题对练]
(2017·
1月广东学考)已知直线l过点A(1,2)，且与直线y＝x＋1垂直，则直线l的方程是( )
A．y＝2x
B．y＝－2x＋4
C．y＝x＋
D．y＝x＋
求直线方程的注意点
(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在；
(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零．
[最新模拟快练]
1．(2019·潮州学考模拟)经过点P(0,2)且斜率为2的直线方程为( )
A．2x＋y＋2＝0
B．2x－y－2＝0
C．2x－y＋2＝0
D．2x＋y－2＝0
2．(2019·广州高一期中)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
3．(2020·广东学考模拟)直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0互相平行，则a的值是( )
A．1
B．－2
C．1或－2
D．－1或2
4．(2019·惠州市学考模拟)直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
5．(2018·揭阳高一月考)过点P(2，－3)且在两轴上的截距相等的直线方程为
．
6．(2019·揭阳市学考模拟)过点(－3,0)且与直线x＋4y－2＝0平行的直线方程是
．
7．(2019·顺德高一月考)在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是
．
距离公式的应用和两直线的交点坐标
[基础知识填充]
1．两直线的交点坐标
两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点坐标就是方程组的解．
①当方程组只有一组解时，两直线相交．
②当方程组无解时，两直线平行．
③当方程组有无数组解时，两直线重合．
2．三个距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式：|P1P2|＝.
(2)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.
(3)平行直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝.
[最新模拟快练]
1．(2019·汕尾市学考模拟)点(2,5)到直线y＝2x的距离为( )
A．
B．
C．
D．
2．(2018·潮州市高一月考)不论m怎么变化，直线(m＋2)x－(2m－1)y－(3m－4)＝0恒过定点( )
A．(1,2)
B．(－1，－2)
C．(2,1)
D．(－2，－1)
3．(2019·揭阳市学考模拟)直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为2，则C的值为( )
A．9
B．11或－9
C．－11
D．9或－11
4．(2018·蛇口市高一期中)过点(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是( )
A．2x＋y－4＝0
B．x＋2y－5＝0
C．x＋3y－7＝0
D．3x＋y－5＝0
5．(2019·潮州市高一月考)已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A．
B．
C．
D．3
6．(2019·深圳市高一期末)直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0
B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0
D．3x＋y＋13＝0
(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．
(2)应用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中x，y的系数化为相等的数.
