考纲展示
考情汇总
备考指导
圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
2017年1月T122018年1月T192019年1月T122020年1月T12
本章的重点是求根据所给条件求圆的方程、直线与圆的位置关系的判定与应用，难点是与圆有关的综合问题，解决与圆有关的问题时，要特别注意应用圆的几何性质，而不是只应用代数运算，前者往往更简洁.
空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．②会推导空间两点间的距离公式.
求圆的方程
[基础知识填充]
1．圆的标准方程
圆心坐标是(a，b)，半径是r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
当方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0满足D2＋E2－4F>0时表示圆，此圆的圆心坐标为，半径为.
[学考真题对练]
1．(2017·
1月广东学考)已知点A(－1,
8)和B(5,
2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是( )
A．(x＋2)2＋(y＋5)2＝3
B．(x＋2)2＋(y＋5)2＝18
C．(x－2)2＋(y－5)2＝3
D．(x－2)2＋(y－5)2＝18
D [圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
其中圆心为C＝(2,5)，
半径为r＝＝3.
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－5)2＝18.]
2．(2018·
1月广东学考)圆心为两直线x＋y－2＝0和－x＋3y＋10＝0的交点，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程是
．
(x－4)2＋(y＋2)2＝2 [联立得?圆心为(4，－2)，
则圆心(4，－2)到直线x＋y－4＝0的距离为d＝＝，故圆的半径为.
∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋2)2＝2.]
3．(2019·1月广东学考)已知圆C与y轴相切于点(0,5)，半径为5，则圆C的标准方程是( )
A．(x－5)2＋(y－5)2＝25
B．(x＋5)2＋(y－5)2＝25
C．(x－5)2＋(y－5)2＝5或(x＋5)2＋(y－5)2＝5
D．(x－5)2＋(y－5)2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25
D [(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＝5，又和y轴相切于点(0,5)，a＝5，b＝5或a＝－5，b＝5，则方程为(x－5)2＋(y－5)2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.]
求圆的方程的两种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：若已知圆心和半径有关，则设圆的标准方程．
[最新模拟快练]
1．(2019·惠州高一月考)圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是( )
A．(1，)
B．(－1，)
C．(1，－)
D．(－1，－)
C [由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－)．]
2．(2019·广州市学考模拟)圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为( )
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5
B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
D [将O(－3,4)，r＝5代入圆的标准方程可得．]
3．(2019·梅州市学考模拟)已知两点P(4,0)，Q(0,2)，则以线段PQ为直径的圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝10
C．(x－2)2＋(y－1)2＝5
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝10
C [∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为(2,1)，半径r＝＝＝
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]
4．(2019·佛山高一期中检测)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
B [设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.]
5．(2018·梅州市高一月考)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2
＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
A [法一 (直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，
解得b＝2，∴圆的方程为x2＋(y－2)2
＝1.
法二 (数形结合法)：根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2)，∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
法三 (验证法)：将点(1,2)代入四个选项中，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．]
6．(2018·云浮市高一期末)如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心为
．
(0，－1) [将方程配方得＋(y＋1)2＝－k2＋1.即r2＝1－k2＞0，
∴rmax＝1，此时k＝0.∴圆心为(0，－1)．]
直线与圆的位置关系
[基础知识填充]
直线、圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判定方法：
(1)几何法：
圆心O(a，b)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
若d若d＝r?直线与圆相切；
若d>r?直线与圆相离．
(2)代数法：
由直线方程与圆的方程联立得方程组
消元后得到的关于x或y的一元二次方程，记它的判别式为Δ，则：
若Δ>0?直线与圆相交；
若Δ＝0?直线与圆相切；
若Δ＜0?直线与圆相离．
[学考真题对练]
(2020·1月广东学考)直线l：x＋y－2＝0被圆C：x2＋y2＝3截得的弦长为( )
A．2 B．2 C． D．1
B [∵圆C：x2＋y2＝3的圆心(0,0)到直线l：x＋y－2＝0的距离d＝＝，
圆C的半径r＝，
∴直线l：x＋y－2＝0被圆C：x2＋y2＝3截得的弦长为2＝2＝2.故选B．]
(1)判断直线与圆的位置关系时，通常利用圆心到直线的距离，注意求距离时直线方程必须化成一般式．
(2)求直线被圆所截得的弦长时，方法一：考虑由弦心距和垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．方法二：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝.
(3)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应该注意斜率不存在的切线．
[最新模拟快练]
1．(2018·广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))直线y＝x被圆(x－1)2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A．
B．1
C．
D．2
C [由圆的方程得：圆心坐标为(1,0)，半径r＝1，∵圆心到直线x－y＝0的距离d＝，∴直线被圆截得的弦长为2＝.故选C．]
2．(2019·梅州市学考模拟)如果圆C：(x－a)2＋(y－3)2＝5的一条切线的方程为y＝2x，那么a的值为( )
A．4或1
B．－1或4
C．1或－4
D．－1或－4
B [由题意，圆心到直线的距离d＝＝，∴a＝－1或4.]
3．(2020·广东学考模拟)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－
B．－
C．
D．2
A [圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为：(1,4)，
故圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，
解得a＝－，故选A．]
4．(2019·佛山市学考模拟)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
B [∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.∴圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r，则直线与圆的位置关系是相交．]
5．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于( )
A．2
B．2
C．
D．1
B [∵圆心到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝1，半径r＝2，
∴弦长|AB|＝2＝2＝2.]
6．(2019·深圳市高二期中)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
D [依题意可设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，则圆心(0,0)到直线2x＋y＋c＝0的距离为＝，解得c＝±5.故所求切线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.]
7．(2018·揭阳高一月考)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．
[解] 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，
则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.设圆心C到直线l的距离为d，则d＝.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，
解得a＝－.
(2)根据题意和圆的性质，d2＋＝|AC|2，
∴＋()2＝22，
解得a＝－7或a＝－1，故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
8．(2019·河源高二期末)已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，曲线C表示圆？
(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值．
[解] (1)由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m，
由5－m>0时，得m<5，∴当m<5时，曲线C表示圆．
(2)圆C的圆心坐标为(－1，－2)，半径为.
∵直线l：y＝x－m与圆C相切，∴＝，
解得：m＝±3，满足m<5.∴m＝±3.
9．(2019·珠海市学考模拟)已知点P(－2,2)在圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)上，直线l与圆O交于A，B两点．
(1)r＝
；
(2)如果△PAB为等腰三角形，底边AB＝2，求直线l的方程．
[解] (1)∵点P(－2,2)在圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)上，
∴r＝2.
(2)因为△PAB为等腰三角形，且点P在圆O上，所以PO⊥AB．
因为PO的斜率k＝＝－1，所以可设直线l的方程为y＝x＋m.
由得2x2＋2mx＋m2－8＝0.Δ＝4m2－8×(m2－8)＝64－4m2＞0，解得－4＜m＜4.
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
可得x1,2＝＝.
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝2.
解得m＝±2.所以直线l的方程为x－y＋2＝0，x－y－2＝0.
圆与圆的位置关系
[基础知识填充]
设两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)的圆心距|O1O2|＝d，则：
(1)d>r1＋r2?相离；
(2)d＝r1＋r2?外切；
(3)|r1－r2|(4)d＝|r1－r2|?内切；
(5)0[最新模拟快练]
1．(2018·揭阳学考模拟题)已知圆M：x2＋y2＝2与圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3，那么两圆的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．外离
D [两圆心之间的距离为d＝＝，两圆的半径分别为r1＝，r2＝，由于r1＋r2>d，所以两圆外离．]
2．(2018·梅州学考模拟题)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
B [两圆心之间的距离为：d＝＝，两圆的半径分别为：r1＝2，r2＝3，则|r2－r1|＝13．(2018·中山市高一期中)两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( )
A．
B．
C．
D．5
B [圆心距为，由相外切得r＋r＝，
∴r＝.]
4．(2019·潮州高二检测)若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则实数m的值为( )
A．2
B．－5
C．2或－5
D．不确定
C [两圆的圆心分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3,2，由题意得＝3＋2，解得m＝2或－5.]
5．(2019·汕头市学考模拟)已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为
．
x＋y－3＝0 [∵圆C1的圆心为C1(3,0)，圆C2的圆心为C2(0,3)，∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.]
6．(2019·珠海市高二检测)圆C1：x2＋y2－2mx＋m2－4＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4my＋4m2－8＝0相交，则实数m的取值范围是
．
(0,2)或 [整理圆C1得(x－m)2＋y2＝4，整理圆C2得(x＋1)2＋(y－2m)2＝9，
∴C1的圆心为(m,0)，半径为2，圆C2的圆心为(－1,2m)，半径为3.
∵两圆相交，∴圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差，
即1<<5，解得：0考情汇总
备考指导
圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
2017年1月T122018年1月T192019年1月T122020年1月T12
本章的重点是求根据所给条件求圆的方程、直线与圆的位置关系的判定与应用，难点是与圆有关的综合问题，解决与圆有关的问题时，要特别注意应用圆的几何性质，而不是只应用代数运算，前者往往更简洁.
空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．②会推导空间两点间的距离公式.
求圆的方程
[基础知识填充]
1．圆的标准方程
圆心坐标是(a，b)，半径是r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
当方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0满足D2＋E2－4F>0时表示圆，此圆的圆心坐标为，半径为.
[学考真题对练]
1．(2017·
1月广东学考)已知点A(－1,
8)和B(5,
2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是( )
A．(x＋2)2＋(y＋5)2＝3
B．(x＋2)2＋(y＋5)2＝18
C．(x－2)2＋(y－5)2＝3
D．(x－2)2＋(y－5)2＝18
2．(2018·
1月广东学考)圆心为两直线x＋y－2＝0和－x＋3y＋10＝0的交点，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程是
．
3．(2019·1月广东学考)已知圆C与y轴相切于点(0,5)，半径为5，则圆C的标准方程是( )
A．(x－5)2＋(y－5)2＝25
B．(x＋5)2＋(y－5)2＝25
C．(x－5)2＋(y－5)2＝5或(x＋5)2＋(y－5)2＝5
D．(x－5)2＋(y－5)2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25
求圆的方程的两种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：若已知圆心和半径有关，则设圆的标准方程．
[最新模拟快练]
1．(2019·惠州高一月考)圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是( )
A．(1，)
B．(－1，)
C．(1，－)
D．(－1，－)
2．(2019·广州市学考模拟)圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为( )
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5
B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
3．(2019·梅州市学考模拟)已知两点P(4,0)，Q(0,2)，则以线段PQ为直径的圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝10
C．(x－2)2＋(y－1)2＝5
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝10
4．(2019·佛山高一期中检测)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
5．(2018·梅州市高一月考)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2
＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
6．(2018·云浮市高一期末)如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心为
．
直线与圆的位置关系
[基础知识填充]
直线、圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判定方法：
(1)几何法：
圆心O(a，b)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
若d若d＝r?直线与圆相切；
若d>r?直线与圆相离．
(2)代数法：
由直线方程与圆的方程联立得方程组
消元后得到的关于x或y的一元二次方程，记它的判别式为Δ，则：
若Δ>0?直线与圆相交；
若Δ＝0?直线与圆相切；
若Δ＜0?直线与圆相离．
[学考真题对练]
(2020·1月广东学考)直线l：x＋y－2＝0被圆C：x2＋y2＝3截得的弦长为( )
A．2 B．2 C． D．1
(1)判断直线与圆的位置关系时，通常利用圆心到直线的距离，注意求距离时直线方程必须化成一般式．
(2)求直线被圆所截得的弦长时，方法一：考虑由弦心距和垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．方法二：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝.
(3)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应该注意斜率不存在的切线．
[最新模拟快练]
1．(2018·广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))直线y＝x被圆(x－1)2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A．
B．1
C．
D．2
2．(2019·梅州市学考模拟)如果圆C：(x－a)2＋(y－3)2＝5的一条切线的方程为y＝2x，那么a的值为( )
A．4或1
B．－1或4
C．1或－4
D．－1或－4
3．(2020·广东学考模拟)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－
B．－
C．
D．2
4．(2019·佛山市学考模拟)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
5．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于( )
A．2
B．2
C．
D．1
6．(2019·深圳市高二期中)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
7．(2018·揭阳高一月考)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．
8．(2019·河源高二期末)已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，曲线C表示圆？
(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值．
9．(2019·珠海市学考模拟)已知点P(－2,2)在圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)上，直线l与圆O交于A，B两点．
(1)r＝
；
(2)如果△PAB为等腰三角形，底边AB＝2，求直线l的方程．
圆与圆的位置关系
[基础知识填充]
设两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)的圆心距|O1O2|＝d，则：
(1)d>r1＋r2?相离；
(2)d＝r1＋r2?外切；
(3)|r1－r2|(4)d＝|r1－r2|?内切；
(5)0[最新模拟快练]
1．(2018·揭阳学考模拟题)已知圆M：x2＋y2＝2与圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3，那么两圆的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．外离
2．(2018·梅州学考模拟题)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
3．(2018·中山市高一期中)两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( )
A．
B．
C．
D．5
4．(2019·潮州高二检测)若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则实数m的值为( )
A．2
B．－5
C．2或－5
D．不确定
5．(2019·汕头市学考模拟)已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为
．
6．(2019·珠海市高二检测)圆C1：x2＋y2－2mx＋m2－4＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4my＋4m2－8＝0相交，则实数m的取值范围是
．
