考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．②了解两个互斥事件的概率加法公式.
本章的重点是古典概型概率、几何概型概率的计算，难点是解决概率统计的综合问题，解决古典概型问题的关键是正确地列出试验的基本事件，解决几何概型问题的关键是识别几何概型的类型及其中几何量的计算.
(2)古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
2017年1月T182018年1月T182019年1月T182020年1月T18
(3)随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．②了解几何概型的意义.
互斥事件、对立事件的概率
[基础知识填充]
1．频率与概率
频率与概率P(A)有本质区别，频率随着试验次数的改变而改变，而概率是一个常数a，是客观存在的，与每次试验无关，当试验次数越来越多时，频率稳定于a.
2．事件与事件间的关系
(1)事件：在一定条件下所出现的某种结果称之为事件．
(2)事件的类型：
(3)事件的关系与运算及概率的基本性质
①不能同时发生的两个事件叫做互斥事件．
②不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件．
③事件A发生时，事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)．
④若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件为事件A与事件B的并事件(和事件)．
⑤某事件的发生，当且仅当事件A发生且事件B发生，则称事件A与事件B的交事件(积事件)．
3．概率的基本性质
(1)任何事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，若A为必然事件，则P(A)＝1.若A为不可能事件，则P(A)＝0.
(2)若事件A和B互斥，则事件A＋B的概率满足加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．
推广：若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则事件A1＋A2＋…＋An的概率P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(3)若事件A和B对立，则事件A＋B的概率满足加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．
注意：若事件A与事件B为对立事件，则A，B必互斥．若事件A与事件B为互斥事件，则A，B不一定对立．
[最新模拟快练]
1．(2019·东莞学考模拟题)抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则与事件A互斥的事件为( )
A．恰有两件次品
B．恰有一件次品
C．恰有两件正品
D．至少有两件正品
2．(2018·梅州市高一月考)抛掷一颗骰子，事件M表示“向上一面的数是奇数”，事件N表示“向上一面的数不超过3”，事件P表示“向上一面的数是5”，则( )
A．M为必然事件
B．P为不可能事件
C．M与N为对立事件
D．P与N为互斥事件
3．(2019·深圳学考模拟题)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，且已知P(A)＝0.65，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7
B．0.65
C．0.35
D．0.3
4．(2019·潮州高二期中)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A．
B．
C．
D．1
5．(2018·佛山市学考模拟)袋内装有质地、大小完全相同的6个球，其中红球3个、白球2个、黑球1个，现从中任取两个球．对于下列各组中的事件A和事件B：
①事件A：至少一个白球，事件B：都是红球；
②事件A：至少一个白球，事件B：至少一个黑球；
③事件A：至少一个白球，事件B：红球、黑球各一个；
④事件A：至少一个白球，事件B：一个白球一个黑球．
是互斥事件的是
．(将正确答案的序号都填上)
6．(2018·肇庆市高一期中)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽的正品的概率为
．
古典概型的概率
[基础知识填充]
1．古典概型
如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个且每个基本事件出现的可能性相等，则具有这两个特点的概率模型称为古典概型．
2．古典概型的概率公式
P(A)＝，
即P(A)＝.
[学考真题对练]
1．(2018·1月广东学考)笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为
．
2．(2019·1月广东学考)袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是
．
3．(2020·1月广东学考)从4张分别写有数字1,2,3,4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是
．
求古典概型概率的步骤
(1)先判断是否为古典概型；
(2)确定基本事件的总数n；
(3)确定事件A包含的基本事件个数m；
(4)计算事件A的概率，即P(A)＝.
[最新模拟快练]
1．(2018·广东省普通高中学业水平考试模拟题)甲班和乙班各有两名男羽毛球运动员，从这四人中任意选取两人配对参加双打比赛，则这对运动员来自不同班的概率是( )
A．
B．
C．
D．
2．(2019·广州学考模拟题)甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为( )
A．
B．
C．
D．
3．(2019·肇庆高一月考)从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )
A．
B．
C．
D．
4．(2019·中山市学考模拟题)在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )
A．
B．
C．
D．
5．(2019·珠海市学考模拟题)袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为
．
6．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是
．
7．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试模拟)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．
(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
(2)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．
8．(2019·汕头市学考模拟题)某校从参加邵阳市数学竞赛的学生中随机抽取20名学生的数学成绩(均为整数)整理后分成六组：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，画出如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求这20名学生中分数在[70,80)内的人数；
(2)若从成绩大于或等于80分的学生中随机抽取2人，求恰有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率．
几何概型的概率
[基础知识填充]
(1)如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，若每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
(2)几何概型的概率公式：P(A)＝.
[最新模拟快练]
1．(2019·河源学考模拟题)在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为( )
A．
B．
C．
D．
2．(2018·梅州市高一期末)从区间(0,1)内任取一个数，则这个数小于的概率是( )
A．
B．
C．
D．
3.(2019·清远市高一月考)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积是( )
A．
B．
C．
D．无法计算
4．(2019·肇庆市学考模拟题)当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )
A．
B．
C．
D．
5．(2018·珠海市高一月考)如图，长方体ABCD?A1B1C1D1，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A?A1BD内的概率为
．
6．(2020·广东学考模拟)在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E.若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是
．
7.(2019·广州市高一期末检测)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
．
求解与面积或体积有关的几何概型问题的步骤考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．②了解两个互斥事件的概率加法公式.
本章的重点是古典概型概率、几何概型概率的计算，难点是解决概率统计的综合问题，解决古典概型问题的关键是正确地列出试验的基本事件，解决几何概型问题的关键是识别几何概型的类型及其中几何量的计算.
(2)古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
2017年1月T182018年1月T182019年1月T182020年1月T18
(3)随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．②了解几何概型的意义.
互斥事件、对立事件的概率
[基础知识填充]
1．频率与概率
频率与概率P(A)有本质区别，频率随着试验次数的改变而改变，而概率是一个常数a，是客观存在的，与每次试验无关，当试验次数越来越多时，频率稳定于a.
2．事件与事件间的关系
(1)事件：在一定条件下所出现的某种结果称之为事件．
(2)事件的类型：
(3)事件的关系与运算及概率的基本性质
①不能同时发生的两个事件叫做互斥事件．
②不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件．
③事件A发生时，事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)．
④若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件为事件A与事件B的并事件(和事件)．
⑤某事件的发生，当且仅当事件A发生且事件B发生，则称事件A与事件B的交事件(积事件)．
3．概率的基本性质
(1)任何事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，若A为必然事件，则P(A)＝1.若A为不可能事件，则P(A)＝0.
(2)若事件A和B互斥，则事件A＋B的概率满足加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．
推广：若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则事件A1＋A2＋…＋An的概率P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(3)若事件A和B对立，则事件A＋B的概率满足加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．
注意：若事件A与事件B为对立事件，则A，B必互斥．若事件A与事件B为互斥事件，则A，B不一定对立．
[最新模拟快练]
1．(2019·东莞学考模拟题)抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则与事件A互斥的事件为( )
A．恰有两件次品
B．恰有一件次品
C．恰有两件正品
D．至少有两件正品
B [事件“恰有一件次品”与事件A不会同时发生，故选B．]
2．(2018·梅州市高一月考)抛掷一颗骰子，事件M表示“向上一面的数是奇数”，事件N表示“向上一面的数不超过3”，事件P表示“向上一面的数是5”，则( )
A．M为必然事件
B．P为不可能事件
C．M与N为对立事件
D．P与N为互斥事件
D [由题意知P与N不能同时发生，故选D．]
3．(2019·深圳学考模拟题)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，且已知P(A)＝0.65，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7
B．0.65
C．0.35
D．0.3
C [设“抽到的不是一等品”为事件B，则A与B不能同时发生，且必有一个发生，则A与B是对立事件，故P(B)＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.]
4．(2019·潮州高二期中)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A．
B．
C．
D．1
C [易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为＋＝.]
5．(2018·佛山市学考模拟)袋内装有质地、大小完全相同的6个球，其中红球3个、白球2个、黑球1个，现从中任取两个球．对于下列各组中的事件A和事件B：
①事件A：至少一个白球，事件B：都是红球；
②事件A：至少一个白球，事件B：至少一个黑球；
③事件A：至少一个白球，事件B：红球、黑球各一个；
④事件A：至少一个白球，事件B：一个白球一个黑球．
是互斥事件的是
．(将正确答案的序号都填上)
①③ [①③中的事件A和B不可能同时发生，为互斥事件．]
6．(2018·肇庆市高一期中)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽的正品的概率为
．
0.96 [由对立事件概率公式，抽得正品概率为P＝1－0.03－0.01＝0.96.]
古典概型的概率
[基础知识填充]
1．古典概型
如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个且每个基本事件出现的可能性相等，则具有这两个特点的概率模型称为古典概型．
2．古典概型的概率公式
P(A)＝，
即P(A)＝.
[学考真题对练]
1．(2018·1月广东学考)笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为
．
[给3支签字笔编号分别为1,2,3，其1号和2号为黑色，3号为红色，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，所有的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种，其中两次使用的都是黑色笔的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个，则两次使用的都是黑色笔的概率为P＝.]
2．(2019·1月广东学考)袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是
．
[P＝＝＝＝.]
3．(2020·1月广东学考)从4张分别写有数字1,2,3,4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是
．
[从4张分别写有数字1,2,3,4的卡片中随机抽取2张共有6种情况，
则所取2张卡片上的数字之积为奇数共有(1,3)，1种情况，
故从4张分别写有数字1,2,3,4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率为.]
求古典概型概率的步骤
(1)先判断是否为古典概型；
(2)确定基本事件的总数n；
(3)确定事件A包含的基本事件个数m；
(4)计算事件A的概率，即P(A)＝.
[最新模拟快练]
1．(2018·广东省普通高中学业水平考试模拟题)甲班和乙班各有两名男羽毛球运动员，从这四人中任意选取两人配对参加双打比赛，则这对运动员来自不同班的概率是( )
A．
B．
C．
D．
C [设甲班两名运动员为a，b，乙班两名运动员为c，d，从中任选两人，则共有以下6种可能结果：ab，ac，ad，bc，bd，cd，其中这对运动员来自不同班的结果有4种，故所求的概率为P＝＝.]
2．(2019·广州学考模拟题)甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为( )
A．
B．
C．
D．
B [甲，乙，丙三名学生随机站成一排，共有6种结果：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的结果有4个，故所求的概率为＝.]
3．(2019·肇庆高一月考)从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )
A．
B．
C．
D．
B [从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字，一共能构成20个两位数：12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54，其中大于40的有8个，故所求的概率为＝.]
4．(2019·中山市学考模拟题)在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )
A．
B．
C．
D．
B [用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝＝.]
5．(2019·珠海市学考模拟题)袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为
．
[设两个红球分别为A，B，两个白球分别为C，D，从中任取两个球，有如下取法：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种情形，其中颜色相同的有(A，B)，(C，D)，共2种情形，故P＝＝.]
6．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是
．
[试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面的结果有3个，故所求的概率是.]
7．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试模拟)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．
(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
(2)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．
[解] 设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y，用(x，y)表示抽取结果，
则所有可能有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种．
(1)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6种．故所求概率P＝＝.
答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为.
(2)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，共5种．故所求概率为P＝.
答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为.
8．(2019·汕头市学考模拟题)某校从参加邵阳市数学竞赛的学生中随机抽取20名学生的数学成绩(均为整数)整理后分成六组：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，画出如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求这20名学生中分数在[70,80)内的人数；
(2)若从成绩大于或等于80分的学生中随机抽取2人，求恰有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率．
[解] (1)1－0.1－0.15－0.15－0.20－0.05＝1－0.65＝0.35，0.35×20＝7，
∴分数在[70,80)内的学生人数为7人．
(2)∵0.20＋0.05＝0.25,0.25×20＝5，
∴分数大于或等于80分的学生人数有5人，(其中[90,100]内的学生有1人)．
设这5人分别为a，b，c，d，e，则从中选2人有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种情形，其中恰有1名学生成绩在[90,100]内的有ae，be，ce，de
4种情形，
∴恰有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率为P＝＝.
几何概型的概率
[基础知识填充]
(1)如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，若每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
(2)几何概型的概率公式：P(A)＝.
[最新模拟快练]
1．(2019·河源学考模拟题)在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为( )
A．
B．
C．
D．
A [问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，所以P＝＝.]
2．(2018·梅州市高一期末)从区间(0,1)内任取一个数，则这个数小于的概率是( )
A．
B．
C．
D．
C [在区间(0,1)上任取一个数构成的区间长度为1，这个数小于的区间长度为，根据几何概型概率公式可得这个数小于的概率为，故选C．]
3.(2019·清远市高一月考)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积是( )
A．
B．
C．
D．无法计算
C [在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)＝＝＝，解得S＝.]
4．(2019·肇庆市学考模拟题)当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )
A．
B．
C．
D．
C [由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，由几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝＝.]
5．(2018·珠海市高一月考)如图，长方体ABCD?A1B1C1D1，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A?A1BD内的概率为
．
[设AB＝a，BC＝b，CC1＝c，则所求的概率为P＝＝＝.]
6．(2020·广东学考模拟)在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E.若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是
．
[已知如图所示：S△ABC＝×2×＝，
阴影部分的扇形面积，
S扇＝π·2＝，
则豆子落在扇形ADE内的概率P＝＝＝.]
7.(2019·广州市高一期末检测)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
．
[不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.]
求解与面积或体积有关的几何概型问题的步骤
