考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示.
本章的重点是平面向量的数量积及其应用，难点是平面向量的线性运算，平面向量基本定理及其应用，解决与向量有关的问题，要始终把握向量的两个根本特征：方向和大小，透彻地理解向量数量积的意义和相关公式的应用.
(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义.
2018年1月T102019年1月T13
(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2017年1月T72019年1月T42020年1月T16
(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2018年1月T6
(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
平面向量的线性运算
[基础知识填充]
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
[学考真题对练]
1.(2018·1月广东学考)如图，O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列等式正确的是( )
A．－＝
B．＋＝
C．－＋＝
D．＋＋＝
D [对于A项，－＝，错误；对于B项，＋＝2，错误；
对于C项，－＋＝＋＝，错误；
对于D项，＋＋＝＋＝，正确．故选D．]
2．(2019·1月广东学考)如图，△ABC中，＝a，＝b，＝4，用a，b表示，正确的是( )
A．＝a＋b
B．＝a＋b
C．＝a＋b
D．＝a－b
C [＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.]
3．(2020·1月广东月考)设向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若b∥a，则m＝
.
－6 [根据题意，向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，
若b∥a，则有1×m＝3×(－2)，即m＝－6.]
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略：
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．
[最新模拟快练]
1．(2019·珠海高一期中)化简＋－－＝( )
A．
B．
C．
D．0
D [＋－－＝(＋)－(＋)＝－＝0.]
2.(2019·佛山市学考模拟)如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )
A．－＋
B．－－
C．－
D．＋
A [＝＋＝－＋.]
3.(2018·珠海市高一期中)如图所示，在三角形ABC中，BD＝2CD．若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b
B．a＋b
C．a－b
D．a－b
A [∵＝－＝b－a，
∴＝＝b－a，
∴＝＋＝a＋b－a＝a＋b.]
4.(2019·汕头高一月考)如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
A [＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.]
5．(2019·东莞市学考模拟)平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形
B．平行四边形
C．矩形
D．菱形
B [因为＋＝＋，所以－＝－，即＝，所以AB綊CD，故四边形ABCD是平行四边形．]
6．(2020·广东学考模拟)若a＝(2,3)与b＝(－4，y)共线，则y＝
.
－6 [若a＝(2,3)与b＝(－4，y)共线，则2y－3×(－4)＝0.
解得y＝－6.]
平面向量的坐标运算
[基础知识填充]
1．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
2．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线?x1y2－x2y1＝0.
[学考真题对练]
1．(2019·1月广东学考)已知向量a＝(2，－2)，b＝(2，－1)，则|a＋b|＝( )
A．1
B．
C．5
D．25
C [a＋b＝(4，－3)，|a＋b|＝＝5.]
2．(2017·1月广东学考)已知三点A(－3,3)，B(0,1)，C(1,0)，则|＋|＝( )
A．5
B．4
C．＋
D．－
A [∵＝(3，－2)，＝(1，－1)，
∴＋＝(4，－3)，
∴|＋|＝＝5.]
平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三点共线问题，A，B，C三点共线等价于与共线．
[最新模拟快练]
1．(2018·佛山市高一月考)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(6,3)
B．(7,3)
C．(2,1)
D．(7,2)
B [a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．]
2．(2019·佛山高一期末)已知
＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为( )
A．(－2,3)
B．(2，－3)
C．(－2,1)
D．(2，－1)
D [设D(x，y)，则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，根据＝2得(x，y－1)＝(2，－2)，即解得D(2，－1)．]
3．(2019·东莞市学考模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则实数x的值为( )
A．8
B．2
C．－2
D．－8
B [∵a∥b，∴4－2x＝0，得x＝2.]
4．(2019·深圳市高一月考)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1
B．1，－2
C．2，－1
D．－1,2
D [由解得]
5．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)已知向量a＝(1，)，b＝(cos
θ，sin
θ)，若a∥b，则tan
θ＝( )
A．
B．
C．－
D．－
B [∵a∥b，∴sin
θ－cos
θ＝0，即sin
θ＝cos
θ.故tan
θ＝.]
6．(2019·惠州市学考模拟)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为
．
[∵＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，
∴与同方向的单位向量为＝.]
平面向量的数量积
[基础知识填充]
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos
θ叫作a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos
θ叫作向量a在b方向上的投影，|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos
θ.
(2)a⊥b?a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos
θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(3)cos
θ＝.
(4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
[学考真题对练]
(2018·1月广东学考)已知向量a＝(1,1)，b＝(0,2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥b
B．(2a－b)⊥b
C．|a|＝|b|
D．a·b＝3
B [对于A项，1×2－0×1≠0，错误；对于B项，2a－b＝(2,0)，b＝(0,2)，
则2×0＋0×2＝0?(2a－b)⊥b，正确；对于C项，|a|＝，|b|＝2，错误；
对于D项，a·b＝1×0＋1×2＝2，错误．故选B．]
求两个向量的数量积的三种方法
(1)利用定义，a·b＝|a||b|cos
θ.
(2)利用向量的坐标运算，a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义．
[最新模拟快练]
1．(2019·广州高一期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－1)，若a⊥b，则实数x的值为( )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
A [∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，解得x＝2.]
2．(2019·汕头市学考模拟)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，若(ka＋b)⊥(3a－b)，则实数k＝( )
A．－3
B．3
C．－
D．
D [因为a＝(1,0)，b＝(0,1)，(ka＋b)⊥(3a－b)，所以(ka＋b)(3a－b)＝0，即3k－1＝0，k＝.]
3．(2019·肇庆高一期末)已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
B [∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5.∴cos〈a，b〉＝＝＝.又∵a，b的夹角范围为[0，π]．∴a与b的夹角为.]
4．(2019·惠州市学考模拟)已知|a|＝3，|b|＝6，且a＋b与a垂直，则a与b的夹角是( )
A．30°
B．90°
C．45°
D．135°
D [设a与b的夹角为θ，则由题意可得a·b＝3×6cos
θ＝18cos
θ，又因为(a＋b)·a＝a2＋a·b＝18＋18cos
θ＝0，可得cos
θ＝－，∴θ＝135°.]
5．(2019·东莞高一月考)已知|a|＝，|b|＝，a·b＝，则向量a与b的夹角为( )
A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
A [由|a·b|＝|a||b|cos
θ＝×
cos
θ＝，得cos
θ＝，又θ∈[0°，180°]，∴向量a与b的夹角θ＝60°.]
6．(2018·韶关市高一期末)在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，则·＝( )
A．18
B．36
C．－18
D．－36
C [易得cos
B＝，则·＝||||cos(π－B)＝5×6×＝－18.]
7．(2018·茂名市学考模拟)已知向量a＝(，1)，b＝(m,1)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )
A．－
B．
C．－或0
D．2
A [cos
＝＝－，解得m＝－.]
8．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试模拟)已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|等于( )
A．
B．
C．
D．4
A [|a－3b|2＝|a|2＋9|b|2－6|a||b|cos
60°＝1＋9－6×1×1×＝7，故|a－3b|＝.]
9.(2018·揭阳学考模拟题)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，D在斜边BC上，且CD＝2DB，那么·的值为( )
A．3
B．5
C．6
D．9
C [·＝·(＋)＝·＝·＝·＝||2＝6.]
10．(2019·蛇口市学考模拟)已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，－2)，若a⊥b，则|a|＝
.
[由于a⊥b，故a·b＝－1－2x＝0，x＝－，故|a|＝＝.]考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示.
本章的重点是平面向量的数量积及其应用，难点是平面向量的线性运算，平面向量基本定理及其应用，解决与向量有关的问题，要始终把握向量的两个根本特征：方向和大小，透彻地理解向量数量积的意义和相关公式的应用.
(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义.
2018年1月T102019年1月T13
(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2017年1月T72019年1月T42020年1月T16
(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2018年1月T6
(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
平面向量的线性运算
[基础知识填充]
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
[学考真题对练]
1.(2018·1月广东学考)如图，O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列等式正确的是( )
A．－＝
B．＋＝
C．－＋＝
D．＋＋＝
2．(2019·1月广东学考)如图，△ABC中，＝a，＝b，＝4，用a，b表示，正确的是( )
A．＝a＋b
B．＝a＋b
C．＝a＋b
D．＝a－b
3．(2020·1月广东月考)设向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若b∥a，则m＝
.
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略：
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．
[最新模拟快练]
1．(2019·珠海高一期中)化简＋－－＝( )
A．
B．
C．
D．0
2.(2019·佛山市学考模拟)如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )
A．－＋
B．－－
C．－
D．＋
3.(2018·珠海市高一期中)如图所示，在三角形ABC中，BD＝2CD．若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b
B．a＋b
C．a－b
D．a－b
4.(2019·汕头高一月考)如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
5．(2019·东莞市学考模拟)平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形
B．平行四边形
C．矩形
D．菱形
6．(2020·广东学考模拟)若a＝(2,3)与b＝(－4，y)共线，则y＝
.
平面向量的坐标运算
[基础知识填充]
1．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
2．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线?x1y2－x2y1＝0.
[学考真题对练]
1．(2019·1月广东学考)已知向量a＝(2，－2)，b＝(2，－1)，则|a＋b|＝( )
A．1
B．
C．5
D．25
2．(2017·1月广东学考)已知三点A(－3,3)，B(0,1)，C(1,0)，则|＋|＝( )
A．5
B．4
C．＋
D．－
平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三点共线问题，A，B，C三点共线等价于与共线．
[最新模拟快练]
1．(2018·佛山市高一月考)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(6,3)
B．(7,3)
C．(2,1)
D．(7,2)
2．(2019·佛山高一期末)已知
＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为( )
A．(－2,3)
B．(2，－3)
C．(－2,1)
D．(2，－1)
3．(2019·东莞市学考模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则实数x的值为( )
A．8
B．2
C．－2
D．－8
4．(2019·深圳市高一月考)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1
B．1，－2
C．2，－1
D．－1,2
5．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)已知向量a＝(1，)，b＝(cos
θ，sin
θ)，若a∥b，则tan
θ＝( )
A．
B．
C．－
D．－
6．(2019·惠州市学考模拟)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为
．
平面向量的数量积
[基础知识填充]
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos
θ叫作a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos
θ叫作向量a在b方向上的投影，|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos
θ.
(2)a⊥b?a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos
θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(3)cos
θ＝.
(4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
[学考真题对练]
(2018·1月广东学考)已知向量a＝(1,1)，b＝(0,2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥b
B．(2a－b)⊥b
C．|a|＝|b|
D．a·b＝3
求两个向量的数量积的三种方法
(1)利用定义，a·b＝|a||b|cos
θ.
(2)利用向量的坐标运算，a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义．
[最新模拟快练]
1．(2019·广州高一期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－1)，若a⊥b，则实数x的值为( )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
2．(2019·汕头市学考模拟)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，若(ka＋b)⊥(3a－b)，则实数k＝( )
A．－3
B．3
C．－
D．
3．(2019·肇庆高一期末)已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
4．(2019·惠州市学考模拟)已知|a|＝3，|b|＝6，且a＋b与a垂直，则a与b的夹角是( )
A．30°
B．90°
C．45°
D．135°
5．(2019·东莞高一月考)已知|a|＝，|b|＝，a·b＝，则向量a与b的夹角为( )
A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
6．(2018·韶关市高一期末)在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，则·＝( )
A．18
B．36
C．－18
D．－36
7．(2018·茂名市学考模拟)已知向量a＝(，1)，b＝(m,1)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )
A．－
B．
C．－或0
D．2
8．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试模拟)已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|等于( )
A．
B．
C．
D．4
9.(2018·揭阳学考模拟题)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，D在斜边BC上，且CD＝2DB，那么·的值为( )
A．3
B．5
C．6
D．9
10．(2019·蛇口市学考模拟)已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，－2)，若a⊥b，则|a|＝
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