考纲展示
考情汇总
备考指导
(1)和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
本章的重点是应用三角函数公式进行三角恒等变换，难点是三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用，解决本章问题，要熟练掌握相关的三角公式，熟悉其变形及应用，对三角函数式进行变形时，要从函数名和角两个方面去研究，沟通条件和结论.
(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
2017年1月T17
两角和与差公式的简单应用
[基础知识填充]
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β(C(α－β))；
cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β(C(α＋β))；
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β(S(α－β))；
sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β(S(α＋β))；
tan(α－β)＝(T(α－β))；
tan(α＋β)＝(T(α＋β))．
[最新模拟快练]
1．(2018·广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))sin
27°cos
18°＋cos
27°sin
18°的值为( )
A．
B．
C．
D．1
A [sin
27°cos
18°＋cos
27°sin
18°＝sin(27°＋18°)＝sin
45°＝.故选A．]
2．(2019·佛山市学考模拟)函数f(x)＝cos
x－cos的值域是
．
[－1,1] [f(x)＝cos
x－cos
x＋sin
x＝cos
x＋
sin
x＝sin∈[－1,1]．]
3．(2019·梅州市学考模拟)化简：＝
.
1 [原式＝
＝＝1.]
4．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知函数f(x)＝sin
2x＋cos
2x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最大值和最小正周期；
(3)若f＝，α是第二象限的角，求sin
2α.
[解] (1)f＝sin＋cos＝×－×＝0；
(2)∵f(x)＝2
＝2＝2sin，
∴f(x)的最大值为2，最小正周期为T＝＝π；
(3)由(2)知，f(x)＝2sin，
所以f＝2sin
α＝，即sin
α＝，
又α是第二象限角，
所以cos
α＝－＝－eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4))))＝－，
所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－.
5．(2019·蛇口高一期末检测)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin
2α的值．
[解] 因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<.又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝
＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13))))＝，
cos(α＋β)＝－＝－eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))))＝－.
所以sin
2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×＋×＝－.
三角函数公式的应用
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan
αtan
β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
二倍角公式的应用
[基础知识填充]
二倍角公式
sin
2α＝2sin
αcos
α.
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan
2α＝.
[最新模拟快练]
1．(2018·揭阳学考模拟题)如果α为锐角，sin
α＝，那么sin
2α的值等于( )
A．
B．
C．－
D．－
A [由题意知cos
α＝，则sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝.]
2．(2019·广州高一月考)已知cos
x＝，则cos
2x等于( )
A．－
B．
C．－
D．
D [cos
2x＝2cos2x－1＝2×－1＝.]
3．(2019·深圳市学考模拟)sin
15°sin
75°的值是( )
A．
B．
C．
D．
C [sin
15°sin
75°＝sin
15°cos
15°＝sin
30°＝.]
4．(2018·潮州市高一期中)若tan
α＝，则tan
2α的值为( )
A．1
B．－
C．
D．
D [tan
2α＝＝eq
\f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝.]
5．(2019·汕尾市学考模拟)sin4－cos4等于( )
A．－
B．－
C．
D．
B [原式＝·
＝－＝－cos＝－.]
6．(2019·中山高一月考)化简下列各式：
(1)－；
(2).
[解] (1)原式＝
＝＝tan
2θ.
(2)原式＝
＝
＝＝
＝＝1.
三角函数中的综合应用
[学考真题对练]
1．(2017·1月广东学考)函数f(x)＝sin
xcos(x＋1)＋sin(x＋1)cos
x的最小正周期是
．
π [∵f(x)＝sin
xcos(x＋1)＋cos
xsin(x＋1)＝sin(x＋x＋1)＝sin(2x＋1)，
∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝＝π.]
2．(2020·1月广东学考)已知函数f(x)＝sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)若θ满足f＝，求f的值．
[解] (1)函数f(x)＝sin2x，则f(x)的最小正周期是T＝＝π，f(x)的最大值是1.
(2)由f＝，得sinθ＝，
所以f＝sin＝cos2θ＝1－2sin2θ＝.
运用公式解决三角函数综合问题的思路
[最新模拟快练]
1．(2019·惠州市学考模拟)已知函数f(x)＝2sin
ωx·cos
ωx＋cos
2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
[解] (1)f(x)＝2sin
ωxcos
ωx＋cos
2ωx＝sin
2ωx＋cos
2ωx＝sin.
又f(x)的最小正周期为π，ω>0，∴T＝＝π，∴ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
函数y＝sin
x的单调递增区间为
，k∈Z，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
2．(2019·揭阳高一期末检测)已知函数f(x)＝sin＋2sin2
(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
[解] (1)∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin＋1－cos
＝2－cos＋1
＝2sin＋1＝2sin＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋
(k∈Z)，∴所求x的集合为.考纲展示
考情汇总
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(1)和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
本章的重点是应用三角函数公式进行三角恒等变换，难点是三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用，解决本章问题，要熟练掌握相关的三角公式，熟悉其变形及应用，对三角函数式进行变形时，要从函数名和角两个方面去研究，沟通条件和结论.
(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
2017年1月T17
两角和与差公式的简单应用
[基础知识填充]
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β(C(α－β))；
cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β(C(α＋β))；
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β(S(α－β))；
sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β(S(α＋β))；
tan(α－β)＝(T(α－β))；
tan(α＋β)＝(T(α＋β))．
[最新模拟快练]
1．(2018·广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))sin
27°cos
18°＋cos
27°sin
18°的值为( )
A．
B．
C．
D．1
2．(2019·佛山市学考模拟)函数f(x)＝cos
x－cos的值域是
．
3．(2019·梅州市学考模拟)化简：＝
.
4．(2018·广州市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知函数f(x)＝sin
2x＋cos
2x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最大值和最小正周期；
(3)若f＝，α是第二象限的角，求sin
2α.
5．(2019·蛇口高一期末检测)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin
2α的值．
三角函数公式的应用
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan
αtan
β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
二倍角公式的应用
[基础知识填充]
二倍角公式
sin
2α＝2sin
αcos
α.
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan
2α＝.
[最新模拟快练]
1．(2018·揭阳学考模拟题)如果α为锐角，sin
α＝，那么sin
2α的值等于( )
A．
B．
C．－
D．－
2．(2019·广州高一月考)已知cos
x＝，则cos
2x等于( )
A．－
B．
C．－
D．
3．(2019·深圳市学考模拟)sin
15°sin
75°的值是( )
A．
B．
C．
D．
4．(2018·潮州市高一期中)若tan
α＝，则tan
2α的值为( )
A．1
B．－
C．
D．
5．(2019·汕尾市学考模拟)sin4－cos4等于( )
A．－
B．－
C．
D．
6．(2019·中山高一月考)化简下列各式：
(1)－；
(2).
三角函数中的综合应用
[学考真题对练]
1．(2017·1月广东学考)函数f(x)＝sin
xcos(x＋1)＋sin(x＋1)cos
x的最小正周期是
．
2．(2020·1月广东学考)已知函数f(x)＝sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)若θ满足f＝，求f的值．
运用公式解决三角函数综合问题的思路
[最新模拟快练]
1．(2019·惠州市学考模拟)已知函数f(x)＝2sin
ωx·cos
ωx＋cos
2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
2．(2019·揭阳高一期末检测)已知函数f(x)＝sin＋2sin2
(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
